基于随机梯度下降算法实现对环上量子游走的动态完全控制

图1 环上离散时间量子游走过程的示意图

对量子游走系统的位置按顺时针编号.其中，红色的“0”和蓝色的“1”组合表示每一步的硬币算符作用在两能级的量子系统上.绿色的箭头表示硬币叠加态随硬币算符的作用而改变.而红色与蓝色的箭头表示当硬币态不同时，游走态分别保持不动，或者顺时针平移一步

Fig.1 A schematic representation of the discrete time quantum walk on a cycle

2 低维量子游走系统实现通用量子门集合与量子傅里叶变换的构造解

探究推广这样一个环上的量子游走模型，一个重要的研究推动力是想要实现对整个量子游走幺正过程的完全控制.具体而言，利用这样一个环上的离散时间量子游走模型，我们想要完成的任务是对于任意作用在 $ℋ = ℋ_{c} \otimes ℋ_{p}$ 空间的幺正操作 $\hat{V}$ ， $T$ 步环上的离散时间量子游走都能对应实现，即 ${\hat{U}}_{T, 0} = \hat{V}$ .对于通常的硬币算符为Hadamard环上的离散时间量子游走，这样的任务是无法实现的.例如，任何含复数的幺正变化，均无法通过通常意义上的环上的离散时间量子游走模型实现.

当环上的节点数取两个时 $ℋ_{c}$ 与 $ℋ_{p}$ 都是二维，因此整个量子游走系统可以看作是一个两量子比特的系统.对于这样一个系统，我们给出了实现通用量子门集合与量子傅里叶变换的构造解.

2.1　通用量子门集合

一组通用量子门指任何其他幺正演化操作都可以用该组门集合的有限序列形式进行模拟，例如 ${\{C N O T, R_{\frac{π}{8}}, P h a s e, H\}}^{[14]}$ .在我们推广引入的新模型中，对于两量子比特的系统，仅需要有限的步数即可实现任意的通用量子门操作.

2.1.1　 $C N O T = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$ 的构造解

由于偏移算符 $\hat{S} = \sum_{x = 0}^{n - 1} |0, x (m o d n) > < 0, x| + \sum_{x = 0}^{n - 1} |1, x + 1 (m o d n)〉〈1, x|$ 在 $n = 2$ 时，恰为 $C N O T$ 门.因此，仅需一步量子游走即可实现 $C N O T$ 门.表1给出了每步游走时单位置硬币算子的构造解.

表1 一步量子游走实现CNOT门的构造解

Table 1 The empirical solution of realizing CNOT gate based on 1 step quantum random walk

{\hat{I}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

2.1.2　 $R_{\frac{π}{8}} = [\begin{matrix} c o s \frac{π}{8} & - s i n \frac{π}{8} \\ s i n \frac{π}{8} & c o s \frac{π}{8} \end{matrix}]$ ， $H = \frac{1}{\sqrt[]{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]$ 以及 $P h a s e = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]$ 的构造解

对于任意作用在两量子比特的系统上单粒子量子门，至多仅需要四步（ $T = 4$ ）游走即可实现.下面给出构造解形式.

首先记任意单粒子量子门 $\hat{U} = [\begin{matrix} u_{00} & u_{01} \\ u_{10} & u_{11} \end{matrix}]$ ，如单粒子量子门作用在硬币系统上，即 $\hat{V} = {\hat{U}}_{c} \otimes {\hat{I}}_{p}$ ，则仅需两步量子游走即可实现，表2给出了构造解.其中 ${\hat{U}}_{c}$ 记为作用在硬币空间的单粒子量子门 $\hat{U}$ .

表2 两步量子游走实现 $\hat{V} = {\hat{U}}_{c} \otimes {\hat{I}}_{p}$ 的构造解

Table 2 The empirical solution of realizing $\hat{V} = {\hat{U}}_{c} \otimes {\hat{I}}_{p}$ based on 2 step quantum random walk

{\hat{U}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

{\hat{U}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

如单粒子量子门作用在行走者系统上，即 $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$ ，则仅需四步量子游走即可实现，表3给出了构造解： ${\hat{X}}_{c} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ .

表3 四步量子游走实现 $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$ 的构造解

Table 3 The empirical solution of realizing $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$ based on 4 step quantum random walk

{\hat{I}}_{c}

[\begin{matrix} u_{00} & u_{01} \\ u_{01}^{†} & - u_{00}^{†} \end{matrix}]

{\hat{I}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

{\hat{X}}_{c}

[\begin{matrix} u_{00}^{†} & - u_{01}^{†} \\ u_{01} & u_{00} \end{matrix}]

(u_{00} u_{11} - u_{01} u_{10}) [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

{\hat{I}}_{c}

特别地，当单粒子量子门为对角阵，即 $\hat{U} = [\begin{matrix} u_{00} & 0 \\ 0 & u_{11} \end{matrix}]$ ， $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$ 仅需要两步游走即可实现，表4给出了构造解.

表4 当单粒子量子门为对角阵时，仅需两步量子游走即可实现 $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$

Table 4 When the single⁃particle quantum gate is diagonal,only two steps are required

u_{00} {\hat{I}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

u_{11} {\hat{I}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

例如，对于相位门 $P h a s e = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]$ 来说，仅需两步量子游走即可实现.构造解的形式见表5.

表5 两步量子游走实现相位门的构造解

Table 5 The empirical solution of realizing phase gate based on 2 step quantum random walk

$\hat{V} = {\hat{U}}_{c} \otimes {\hat{I}}_{p}$	t=0	t=1	$\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$	t=0	t=1
x=0	$P h a s e$	${\hat{I}}_{c}$	x=0	${\hat{I}}_{c}$	${\hat{I}}_{c}$
x=1	$P h a s e$	${\hat{I}}_{c}$	x=1	$i {\hat{I}}_{c}$	${\hat{I}}_{c}$

因此，由索洛维·基塔耶夫定理（Solovay⁃Kitaev Theorem）^［15］可知，对于任意作用在 $ℋ = ℋ_{c} \otimes ℋ_{p}$ 空间的幺正操作，通过一套通用量子门分解模拟的方法，在有限步的量子游走模拟实现任意的幺正操作.这意味着这样一个特殊的环上的离散时间量子游走模型在两个量子比特情况下，可以实现对整个量子游走幺正过程的完全控制.

2.2　量子傅里叶变换

量子傅里叶变换是量子质数分解和很多其他量子算法的基础，在量子计算领域有着重要的应用^［16-17］.对于基态 $|x〉$ ，量子傅里叶变换为如下形式映射：

Q F T : |x〉 a \frac{1}{\sqrt[]{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} ω_{N}^{x k} |k〉

(6)

图2

图2 量子傅里叶变换的线路示意图

Fig.2 Schematic diagram of quantum Fourier transform

实际上，和传统量子线路实现量子傅里叶变换比较，利用我们的环上时间的量子游走模型，不需要分解成单个门的形式去完成，仅需要三步的量子游走，即可完成两量子比特游走系统上的量子傅里叶变换.

记四维量子傅里叶变换为 $Q F T_{4} = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & - 1 & - i \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - i & - 1 & i \end{matrix}]$ .表6给出了三步游走实现两量子比特游走系统上量子傅里叶变换的构造解.

表6 三步量子游走实现量子傅里叶变换的构造解

Table 6 The empirical solution of realizing quantum Fourier transform based on 3 step quantum random walk

{\hat{H}}_{c}

{\hat{H}}_{c}

{\hat{I}}_{c}

\frac{1}{\sqrt[]{2}} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

\frac{1}{\sqrt[]{2}} [\begin{matrix} i & 1 \\ - i & 1 \end{matrix}]

{\hat{I}}_{c}

3 通过随机梯度下降算法实现对高维量子游走系统的动态完全控制

前面，对推广引入的新模型在低维情况下实现对整个量子游走幺正过程的完全控制的有效性进行了讨论.对于两量子比特的环上的量子游走模型，只需要有限步游走，即可实现任意的幺正操作 $\hat{V}$ .但对于高维情况，即环上的节点n取更大值，完全精确的给出幺正过程所需要的一组单位置硬币算子 $\{{\hat{c}}_{x}^{(t)}\}$ 是较为困难的.针对这个问题，引入了机器学习中常用的随机梯度下降算法，从而在高维情况下实现对整个量子游走系统的动态完全控制.

3.1　在全空间实现幺正量子操作

随机梯度下降算法是机器学习领域中用于寻找最优解的常用算法.对于传统的神经网络，参数的数目一般较为复杂，因此需要优化的目标函数通常是一个包含多个参量的非线性函数.一般而言，我们采用随机梯度下降算法对参数进行迭代更新，具体步骤如下：

Step 1：对网络参数 $\vec{θ}$ 进行初始化，对给定的神经网络参数随机初始化赋值.

Step 2：根据学习任务设定合适的损失函数 $L (\vec{θ})$ .

Step 3：随机从训练集中输入单个样本，根据初始化参数计算给定目标下对应的损失函数值.

Step 4：根据损失函数值，计算出参数的梯度，从而确定梯度下降的方向.

Step 5：设置合理的学习率 $η$ ，沿梯度相反方向更新参数 $\vec{θ}$ ，即：

{\vec{θ}}_{n e w} = {\vec{θ}}_{o l d} - η \cdot \frac{\partial L (\vec{θ} {}_{o l d})}{\vec{θ} {}_{o l d}}

(7)

Step 6：重复迭代Step 3至Step 5，直至损失函数收敛到一个合理的精度.

随机梯度下降算法每次从训练集中随机地取出一个训练样本，而不是使用全部训练样本.因此，并不是每次迭代都往全局最优的方向，但另一方面也有着收敛速度更快等优势.

对于环上的离散时间量子游走模型寻找实现任意想要实现的幺正量子操作 $\hat{V}$ ，类比经典机器学习，我们也尝试引入应用随机梯度下降算法.首先，需要对环上的离散时间量子游走进行参数设置，引入四维实向量 ${\vec{α}}^{(x, t)}$ 来参数化单位置硬币算子 ${\hat{c}}_{x}^{(t)}$ ，有：

{\hat{c}}_{x}^{(t)} = e^{i α_{3}^{(x, t)} {\hat{σ}}_{3}} e^{i α_{2}^{(x, t)} {\hat{σ}}_{2}} e^{i α_{1}^{(x, t)} {\hat{σ}}_{1}} e^{i α_{0}^{(x, t)} {\hat{σ}}_{0}}

(8)

其中， ${\hat{σ}}_{1}$ ， ${\hat{σ}}_{2}$ ， ${\hat{σ}}_{3}$ 为泡利矩阵， ${\hat{σ}}_{0} = \hat{I}$ .

与经典机器学习类似，每次从总的希尔伯特空间 $ℋ$ 中随机抽取任意初始态 $|Ψ〉$ 作为训练优化的样本.因此，需要定义对应 $|Ψ〉$ 的损失函数：

L_{|Ψ〉} = 1 - {|〈Φ^{(T)} | Ψ^{(T)}〉|}^{2}

(9)

其中 $|Ψ^{(T)}〉 = {\hat{U}}_{T, 0} |Ψ〉$ ，表示量子游走的最终态.而 $|Φ^{(T)}〉 = \hat{V} |Ψ〉$ ，表示想要实现的量子游走过程的最终态.

实际的计算任务为在给定环上的节点数量 $n$ 与游走步数 $T$ 的基础下，找到合适的近似参数 $\{{\vec{α}}^{(x, t)} : 0 \leq x < n a n d 0 \leq t < T\}$ ，使得损失函数达到合理精度，从而意味着整个量子游走的过程 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 越来越接近于我们想要实现的 $\hat{V}$ .

在参数的更新迭代过程中，损失函数的梯度 $\frac{\partial L_{|Ψ〉}}{\partial α_{j}^{(x, t)}}$ 的计算殊为关键，有：

\frac{\partial L_{|Ψ〉}}{\partial α_{j}^{(x, t)}} = 2 I m (〈Φ^{(t)}| {\hat{Σ}}_{j}^{(x, t)} |Ψ^{(t)}〉 〈Ψ^{(T)} | Φ^{(T)}〉)

(10)

其中 $|Ψ^{(t)}〉$ $= {\hat{U}}_{t, 0} |Ψ〉$ 与 $|Φ^{(t)}〉 =$ ${\hat{U}}_{T, t}^{†} |Φ^{(T)}〉$ 分别是向前传播态与反向传播态.此外，

\begin{array}{l} {\hat{Σ}}_{j}^{(x, t)} = ({\hat{n}}_{j}^{(x, t)} \cdot \hat{\vec{σ}}) \otimes |x〉 〈x| + \sum_{ξ \neq x} {\hat{I}}_{c} \otimes |ξ〉 〈ξ| \\ \hat{\vec{σ}} = \sum_{j = 0}^{3} {\hat{σ}}_{j} {\vec{e}}_{j} \\ {\hat{n}}_{0}^{(x, t)} = [\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], {\hat{n}}_{1}^{(x, t)} = [\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], {\hat{n}}_{2}^{(x, t)} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ c o s 2 α_{1}^{(x, t)} \\ s i n 2 α_{1}^{(x, t)} \end{matrix}] \\ {\hat{n}}_{3}^{(x, t)} = [\begin{matrix} 0 \\ s i n 2 α_{2}^{(x, t)} \\ - c o s 2 α_{2}^{(x, t)} s i n 2 α_{1}^{(x, t)} \\ c o s 2 α_{2}^{(x, t)} c o s 2 α_{1}^{(x, t)} \end{matrix}] \end{array}

实际上我们精心设计的损失函数使得偏导数的计算在实际算法应用时非常地高效.与经典反向传播算法类似，态 $|Ψ^{(t)}〉$ 与态 $|Φ^{(t)}〉$ 可以分别通过向前传播与向后传播快速得到.

3.1.1　数值模拟结果

在环上的离散量子游走实现的量子操作 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 和我们想要实现的量子傅里叶变换操作 $\hat{V}$ 距离随迭代次数的增加逐渐下降.对于每次更新迭代后， ${\hat{U}}_{T, 0}$ 与 $\hat{V}$ 的实际距离，从超算子（superoperator）距离出发定义.对于任意的算符 $\hat{U}$ 和 $\hat{V}$ ，超算子距离为：

\begin{array}{l} d (\hat{U}, \hat{V}) = \\ \sqrt[]{t r [(\hat{U} \otimes {\hat{U}}^{*} - \hat{V} \otimes {\hat{V}}^{*}) {(\hat{U} \otimes {\hat{U}}^{*} - \hat{V} \otimes {\hat{V}}^{*})}^{†}]} = \\ \sqrt[]{t r^{2} (U U^{†}) + t r^{2} (V V^{†}) - 2 {|t r (U V^{†})|}^{2}} (11) \end{array}

带入并归一化后定义 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 与 $\hat{V}$ 的实际距离为：

d ({\hat{U}}_{T, 0}, \hat{V}) = \sqrt[]{1 - {|\frac{t r ({\hat{U}}_{T, 0} {\hat{V}}^{†})}{2 n}|}^{2}}

.(12)

像图3揭示的那样，通过随机梯度下降在更高维度实现需要的幺正变换是可行的.对于不同的 $n$ ，我们想要实现的幺正变换为量子傅里叶变换.其中，不同维度游走的步数取 $T = 2 n^{2}$ ，学习率取 $η = 0.05$ .由于每次训练时初始化的参数不同，对于每一个 $n$ ，分别初始化取样训练多次.对于 $n = 2,3$ ，有200个训练样本；对于 $n = 4,5$ ，有50个训练样本.

图3

图3 在高维系统实现量子傅里叶变换

横轴和纵轴分别对应于更新次数和距离.绘制的每条线都是平行取样训练的多个样本在同一更新次数下，距离（所需实现的量子操作 $\hat{V}$ 和 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 之间）的最差值（左图）或平均值（右图）.对于不同的 $n$ ，我们想要实现的量子操作为 $\hat{V} = Q F T$ .通过随机梯度下降在更高维度实现需要的幺正变换是非常可行的.

Fig.3 Realizing quantum Fourier transform in high⁃dimensional system

3.2　通过环上的量子游走实现小系统对大系统的控制

3.2.1　位置空间实现幺正量子操作

利用环上的量子游走模型，当节点数 $n$ 较大时，可以通过控制两能级的硬币系统去控制位置空间上大型系统，从而实现小系统对大系统的间接控制.这种情形下，有 $\hat{V} = {\hat{I}}_{c} \otimes {\hat{U}}_{p}$ .从图4可知，当对位置系统想要实现量子操作是幺正过程时，算法过程是可行的.总计在哈尔（Harr）测度上从 $U (4)$ 中随机抽样训练实现了150个不同的样本 ${\hat{U}}_{p}$ .其中，环上的节点数量为 $n = 4$ ，学习率 $η = 0.01$ ，游走步数 $T$ 取为20步.

图4

图4 利用随机梯度下降算法可以在位置空间实现任意的幺正过程

左图，横轴和纵轴分别对应于更新次数和距离.绘制的每条线都是平行取样训练的多个样本在同一更新次数下，距离（所需实现的量子操作 $\hat{V}$ 和 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 之间）的最差值或平均值.右图，横轴和纵轴分别对应训练完成后的距离以及百分比情况.直方图显示了样本训练完成后的距离分布，红线则显示训练后距离大于横轴对应值的样本分布情况.上图表明，环上的量子游走模型可以在很好的精度上模拟实现位置空间上任意的幺正演化过程.

Fig.4 Using stochastic gradient descent algorithm can realize arbitrary unitary operation in position space

3.2.2　位置空间实现半正定算子测量

这种小系统对大系统的间接控制，不仅可以实现位置空间上的幺正量子操作，实质上，更通用的量子运算操作如半正定算子测量（POVM）等也可以实现.半正定算子测量是比正交投影测量更一般的测量.设测量算符集合为 ${\{{\hat{M}}_{i}\}}_{i = 0}^{N_{o u t c o m e}}$ ，其中每个算符测量系统初态后都对应一个结果.如果量子系统的初态为 $ρ$ ，则得到第 $i$ 个测量结果的概率为 $p_{i} = T r ({\hat{M}}_{i} ρ {\hat{M}}_{i}^{†})$ .设半正定算子 ${\hat{E}}_{i} = {\hat{M}}_{i}^{†} {\hat{M}}_{i}$ ，即有 $p_{i} = T r ({\hat{E}}_{i} ρ)$ .根据测量假设半正定算符满足 $\sum_{i} {\hat{E}}_{i} = I$ .而量子系统被测量后所处的状态为 $ρ^{'} = \sum_{i} {\hat{M}}_{i} ρ {\hat{M}}_{i}^{†}$ .

对于环上的量子游走模型，我们任意输入的任意初态 $|ψ〉$ ，经过 $T$ 步量子游走后，对末态 $|ψ_{}^{(T)}〉$ 在硬币空间上进行正交投影测量，这实际上构成对位置空间态的半正定算子测量 ${\{{\hat{M}}_{i}\}}_{i = 0}^{N_{o u t c o m e}}$ .由于硬币空间 $ℋ_{c}$ 是一个二维空间，所以这一个半正定算子测量也只能是两个结果的，即 $N_{o u t c o m} = 2$ .对于这样位置空间上的两结果半正定算子测量，也可以通过随机梯度下降算法任意实现.

对于这样的间接控制任务，需要对之前提到的算法进行微调.我们重新定义损失函数为：

L_{{|Ψ〉}_{p}} = 1 - {|\sum_{j = 0}^{1} 〈ϕ_{j}^{(T)} | ψ_{j}^{(T)}〉|}^{2}

(13)

其中，

\begin{array}{l} {|ψ_{j}^{(T)}〉}_{p} =_{c} 〈j| {\hat{U}}_{t, 0} {|0〉}_{c} {|ψ〉}_{p} \\ {|ϕ_{j}^{(T)}〉}_{p} = {\hat{M}}_{j} {|ψ〉}_{p} \end{array}

我们精心选取的损失函数使得偏导数形式与式（10）基本一致：

\frac{\partial L_{|Ψ〉}}{\partial α_{j}^{(x, t)}} = 2 I m (〈Φ^{(t)} | {\hat{Σ}}_{j}^{(x, t)} | Ψ^{(t)}〉 〈Ψ^{(T)} | Φ^{(T)}〉)

(14)

其中，

\begin{array}{l} |Ψ^{(t)}〉 = {\hat{U}}_{t, 0} {|0〉}_{c} {|ψ〉}_{p} \\ |Φ^{(t)}〉 = {\hat{U}}_{t, 0}^{†} |Φ^{(T)}〉 \\ |Φ^{(T)}〉 = {\sum_{j = 0}^{1} |j〉}_{c} {|ϕ_{j}^{(T)}〉}_{p} \end{array}

对于 ${\{{\hat{N}}_{j} =_{c} {〈j |{\hat{U}}_{t, 0}| 0〉}_{c}\}}_{j = 0}^{1}$ 与 ${\{{\hat{M}}_{j}\}}_{j = 0}^{1}$ 的距离，同样从超算子距离出发，带入式（11）并归一化定义为：

\begin{array}{l} d ({\{{\hat{N}}_{j}\}}_{j = 0}^{1}, {\{{\hat{M}}_{j}\}}_{j = 0}^{1}) = \\ \frac{1}{2 n \sqrt[]{2}} \sum_{j = 0}^{1} \sqrt[]{t r^{2} ({\hat{M}}_{j}^{†} {\hat{M}}_{j}) + t r^{2} ({\hat{N}}_{j}^{†} {\hat{N}}_{j}) - 2 {|t r ({\hat{N}}_{j}^{†} {\hat{M}}_{j})|}^{2}} \end{array}

(15)

数值模拟结果见图5，算法对两结果半正定算子测量进行控制是可行的.在哈尔（Harr）测度上随机抽取了150对要实现的两结果半正定算子测量.其中环上的节点数为 $n = 4$ ，游走步数为 $T = 20$ ，学习率为 $η = 0.01$ .

图5

图5 利用随机梯度下降算法可以在位置空间实现任意两结果半正定算子测量

左图，横轴和纵轴分别对应于更新次数和距离.绘制的每条线都是平行取样训练的多个样本在同一更新次数下，距离（所需实现的量子操作 $\hat{V}$ 和 ${\hat{U}}_{T, 0}$ 之间）的最差值或平均值.右图，横轴和纵轴分别对应训练完成后的距离以及百分比情况.其中直方显示了样本训练完成后的距离分布，红线则显示训练后距离大于横轴对应值的样本分布情况.对于随机取样的150对要实现的两结果半正定算子测量，都可以通过随机梯度下降算法动态控制实现.

Fig.5 Using stochastic gradient descent algorithm can realize arbitrary 2⁃outcome POVMs

4 结论

为了探究通过环上的离散时间量子游走实现任意量子操作的可能，首先推广引入特殊的环上的离散时间量子游走模型.相较一般而言环上的离散时间量子游走，修改偏移算符并引入了单位置硬币算子.接着，对模型实现任意量子操作的有效性进行了探讨.对于两量子比特的量子系统，给出了通用量子门集合与量子傅里叶变换的构造解.而任意幺正量子操作都可以由有限个通用量子门操作模拟实现.因而，在低维情况下，可以有效实现对整个量子游走幺正过程的完全控制.

由于高维情况构造解较难精确给出，我们引入了机器学习中常用的随机梯度下降算法，对硬币算符进行了参数化，得以在高维系统近似实现需要的幺正量子操作.此外，随着节点数目的增加，实质上可以通过控制两能级的硬币系统去控制位置空间上大型系统，从而实现小系统对大系统的间接控制.对于这样的任务，我们对损失函数进行了调整.借助随机梯度下降算法对参数的动态控制，我们在位置空间上实现了任意的幺正量子操作以及两结果半正定算子测量.总体而言，通过引入随机梯度下降算法，实现了对整个环上量子游走过程的动态完全控制.

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