面向灰色区间的三支概念分析

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.06.014

面向灰色区间的三支概念分析

孟茜¹, 万仁霞^,¹^,³, 苗夺谦²^,³, 赵公杰¹

1.北方民族大学数学与信息科学学院，银川，750021

2.同济大学电子与信息工程学院，上海，201804

3.宁夏智能信息与大数据处理重点实验室，北方民族大学数学与信息科学学院，银川，750021

Three⁃way concept analysis for grey interval

Meng Xi¹, Wan Renxia^,¹^,³, Miao Duoqian²^,³, Zhao Gongjie¹

1.College of Mathematics and Information Science，North Minzu University，Yinchuan，750021，China

2.College of Electronic and Information Engineering，Tongji University，Shanghai，201804，China

3.Ningxia Key Laboratory of Intelligent Information and Big Data Processing，College of Mathematics and Information Science，North Minzu University，Yinchuan，750021，China

通讯作者: E⁃mail：wanrx1022@nmu.edu.cn

收稿日期: 2023-08-10

基金资助:

国家自然科学基金.  61662001.  61662001
中央高校基本科研业务费专项资金.  FWNX04
宁夏自然科学基金.  2021AAC03203

Received: 2023-08-10

摘要

近年来，三支概念分析已经成为知识表示和数据分析的有效工具，然而，其尚不能处理“范围已知，内部未知”的灰色区间信息.为了解决灰色区间数据在三支概念分析理论中的建格问题，研究了基于灰色数据背景的三支概念分析.利用灰集合的上、下隶属度来表示对象和属性之间的关系，结合灰色数学的相关理论，提出灰色三支概念分析及灰色三支概念格，并研究其性质、定理.最后借助实例验证其有效性和可行性.为三支概念分析理论在解决复杂、不确定性信息方面提供了可行性方案，有效解决了三支概念分析中无法处理区间灰色信息的局限性.

关键词： 灰数 ; 灰集合 ; 灰色区间 ; 三支概念分析 ; 灰色三支概念

Abstract

In recent years，three⁃way concept analysis has emerged as an effective tool for knowledge representation and data analysis. However，it currently struggles to handle "known scope，unknown interior" grey interval information. In order to solve the lattice problem of grey interval data in three⁃way concept analysis theory，this paper explores three⁃way concept analysis based on a grey data background by utilizing upper and lower membership degrees of grey sets to represent the relationship between objects and attributes. By incorporating the relevant theory of grey mathematics，we introduce grey three⁃way concept analysis and grey three⁃way concept lattice,and then investigate their properties and theorems. Through compelling examples，we demonstrate the efficacy and feasibility of the proposed approach. Our findings offer a practical solution for leveraging three⁃way concept analysis theory to handle complex and uncertain information，overcoming the constraints associated with interval grey information in three⁃way concept analysis.

Keywords： grey number ; grey set ; grey interval ; three⁃way concept analysis ; grey three⁃way concept

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本文引用格式

孟茜, 万仁霞, 苗夺谦, 赵公杰. 面向灰色区间的三支概念分析. 南京大学学报（自然科学）[J], 2023, 59(6): 1048-1058 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.06.014

Meng Xi, Wan Renxia, Miao Duoqian, Zhao Gongjie. Three⁃way concept analysis for grey interval. Journal of nanjing University[J], 2023, 59(6): 1048-1058 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.06.014

形式概念分析^［1］（Formal Concept Analysis，FCA）是1982年德国学者Wille提出的一种有效的知识表示与知识发现的工具，具有层次性和可视化的特点，已被广泛应用于知识工程、机器学习、信息检索、数据挖掘和语义Web等多个领域^［2-5］.在多学科多理论交叉融合的研究趋势下，形式概念分析与其他相关理论的交叉和互补研究使其进一步蓬勃发展，特别是与粗糙集、模糊集、三支决策理论的结合，有效地拓宽了形式概念分析的应用领域.Qi et al^［6］基于三支决策理论与经典概念分析提出三支概念分析理论（Three⁃way Concept Analysis，3WCA），将形式概念二支表达拓宽为三支表达.三支概念一经提出便引起众多学者的广泛关注^［7-10］.龙柄翰和徐伟华^［11］将三支概念分析融入模糊集合论，提出模糊三支概念分析与模糊三支概念格，对标处理模糊不确定信息，从而实现不确定对象的有效识别和分类.然而，三支概念理论及其推广理论可以处理“非此即彼”的布尔数据，又或是“亦此亦彼”的模糊数据，但对于“范围已知，内部未知”的灰色区间数据的处理却涉及较少，因此本文考虑将灰色系统理论中处理灰色区间信息的方法引入三支概念，以拓展三支概念分析研究的理论背景.

灰色系统理论^［12-14］最早由我国数学家邓聚龙提出，其主要理论包括灰色观念、灰色预测、灰色决策和灰色数学等，其中灰色数学是其核心理论之一.在灰色数学中，灰数是指“某个只知道大概范围而不知道确切值的数”，在此基础上，王清印^［15］分析并结合模糊集合的表示方法，基于灰数的概念给出灰集合与灰数的描象描述.2005年Yamaguchi et al^［16］将粗糙集理论与灰色数学理论相结合，提出基于灰格的分类提取与约简的决策规则，并定义了灰数运算.随后，Yamaguchi et al^［17］针对包含区间数据的信息系统，提出了一种基于灰色系统理论的粗糙集模型.2009年Wu and Liu^［18］在概念格约简的灰色粗集方法中将基于灰数包含关系的灰色粗糙集模型融入到经典形式概念分析中，提出了一种基于灰色粗糙集理论的区间数据形式概念分析方法，将灰色这一概念融入到形式概念分析中.

一方面，由于现实生活中的信息表示的复杂性、不确定性和不精确性等因素，许多观测值常以区间数据的形式存在，如电流、电压等，而灰色数学理论为这些区间数据的处理提供了理论基础；另一方面，三支概念分析突破了经典形式概念中只能表示“共同拥有”的特点，可以同时表示“共同拥有”和“共同不拥有”两个部分，基于三支决策的思想，通过全域、正域和负域的相关运算表达出边界域，使三支概念分析较经典形式概念分析更具有优越性.因此，本文考虑将灰色数学与三支概念分析相结合，基于包含区间值的灰色形式背景提出灰色三支概念，并为解决区间数据的建格问题提供一种可行性方案，拓宽三支概念分析研究的理论支持及实际应用范围.

1 预备知识

1.1　三支概念分析

用 $𝒫 (\cdot)$ 表示集合的幂集，用 $D P (\cdot)$ 表示 $𝒫 (\cdot) \times 𝒫 (\cdot)$ .

定义1^［6］

一个形式背景 $K = (U, V, I)$ 由两个集合 $U$ 和 $V$ 以及 $U$ 和 $V$ 之间的关系 $I$ 组成，其中 $U$ 为对象集， $V$ 为属性集.若 $(x, a) \in I$ （也写作 $x I a$ ），则表示对象 $x$ 具有属性 $a$ 或对象 $x$ 拥有属性 $a$ .

对于 $X \subseteq U$ 和 $A \subseteq V$ ，定义两对对偶算子分别如下：

正算子 $*$ ： $𝒫 (U)$ 到 $𝒫 (V)$ 上的映射和 $𝒫 (V)$ 到 $𝒫 (U)$ 的映射被定义为：

X^{*} = \{a \in V |\forall x \in X (x I a)\}

（1）

A^{*} = \{x \in U |\forall a \in A (x I a)\}

（2）

负算子 $\bar{*}$ ： $𝒫 (U)$ 到 $𝒫 (V)$ 上的映射和 $𝒫 (V)$ 到 $𝒫 (U)$ 的映射被定义为：

\begin{array}{l} X^{\bar{*}} = \{a \in V |\forall x \in X (\neg (x I a))\} = \\ \{a \in V |\forall x \in X (x I^{c} a)\} \end{array}

（3）

\begin{array}{l} A^{\bar{*}} = \{x \in U |\forall a \in A (\neg (x I a))\} = \\ \{x \in U |\forall a \in A (x I^{c} a)\} \end{array}

（4）

其中， $I^{c} = (U \times V) - I$ .

结合正算子 $*$ 和负算子 $\bar{*}$ ，可以得到以下两对三支算子.

定义2^［6］

给定一个形式背景 $K = (U, V, I)$ ，对于 $X, Y \subseteq U$ 和 $A \subseteq V$ ，一对由属性诱导的三支算子， $⊲ ∶ 𝒫 (V)$ 到 $D P (𝒰)$ 的映射及 $⊳ ∶ D P (𝒰)$ 到 $𝒫 (V)$ 的映射定义为：

A^{⊲} = (A^{*}, A^{\bar{*}})

（5）

{(X, Y)}^{⊳} = \{a \in V |a \in X^{*}, a \in Y^{\bar{*}}\} = X^{*} ⋂ Y^{\bar{*}}

(6)

它们简称为 $A E$ 算子.

定义3^［6］

给定一个形式背景 $K = (U, V, I)$ ，对于 $X \subseteq U$ 和 $A, B \subseteq V$ ，一对由对象诱导的三支算子， $⊲ ∶ 𝒫 (U)$ 到 $D P (V)$ 的映射及 $⊳ ∶ D P (V)$ 到 $𝒫 (U)$ 的映射定义为：

X^{⊲} = (X^{*}, X^{\bar{*}})

(7)

{(A, B)}^{⊳} = \{x \in U |x \in A^{*}, x \in B^{\bar{*}}\} = A^{*} ⋂ B^{\bar{*}}

(8)

它们简称为 $O E$ 算子.

定义4^［6］

给定一个形式背景 $K = (U, V, I)$ ，对于 $X, Y \subseteq U$ 和 $A \subseteq V$ ，若有 $A^{⊲} = (X, Y)$ 且 ${(X, Y)}^{⊳} =$ $A$ ，则称 $((X, Y), A)$ 为属性导出三支概念，简称 $A E$ 概念.其中， $(X, Y)$ 为 $A E$ 概念 $((X, Y), A)$ 的外延， $A$ 为 $A E$ 概念 $((X, Y), A)$ 的内涵.

设 $((X, Y), A)$ 和 $((Z, W), B)$ 是 $A E$ 概念，它们的偏序关系定义如下：

\begin{array}{l} ((X, Y), A) \leq ((Z, W), B) \Leftrightarrow \\ (X, Y) \subseteq (Z, W) \Leftrightarrow B \subseteq A \end{array}

(9)

若 $((X, Y), A) \leq ((Z, W), B)$ ，则 $((X, Y), A)$ 称为 $((Z, W), B)$ 的亚概念，同时 $((Z, W), B)$ 称为 $((X, Y), A)$ 的超概念.

所有 $A E$ 概念组成的集合记为 $A E L (U, V, I)$ ，称为属性导出三支概念格，简称为 $A E$ 概念格.对于 $A E$ 概念格，有以下结论.

定理1^［6］

一个形式背景 $K = (U, V, I)$ 的 $A E$ 概念格 $A E L (U, V, I)$ 是一个完备格，对于任意的 $((X, Y), A), ((Z, W), B) \in A E L (U, V, I)$ ，其上确界和下确界分别为：

\begin{array}{l} ((X, Y), A) ⋁ ((Z, W), B) = \\ ({((X, Y) ⋃ (Z, W))}^{⊳ ⊲}, A ⋂ B) \end{array}

(10)

\begin{array}{l} ((X, Y), A) ⋀ ((Z, W), B) = \\ ((X, Y) ⋂ (Z, W), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}) \end{array}

(11)

其中， $\lor$ 和 $\land$ 分别表示上确界和下确界符号，也经常称为并和交.

类似地，也可以定义对象导出三支概念（ $O E$ 概念）.

定义5^［6］

给定一个形式背景 $K = (U, V, I)$ ，对于 $X \subseteq U$ 和 $A, B \subseteq V$ ，若有 $X^{⊲} = (A, B)$ 且 ${(A, B)}^{⊳} = X$ ，则称 $(X, (A, B))$ 为对象导出三支概念，简称 $O E$ 概念.其中， $X$ 为 $O E$ 概念 $(X, (A, B))$ 的外延， $(A, B)$ 为 $O E$ 概念 $(X, (A, B))$ 的内涵.

设 $(X, (A, B))$ 和 $(Y, (C, D))$ 是 $O E$ 概念，它们的偏序关系定义如下：

\begin{array}{l} (X, (A, B)) \leq (Y, (C, D)) \Leftrightarrow \\ X \subseteq Y \Leftrightarrow (C, D) \subseteq (A, B) \end{array}

(12)

若 $(X, (A, B)) \leq (Y, (C, D))$ ， $(X, (A, B))$ 称为 $(Y, (C, D))$ 的亚概念，同时 $(Y, (C, D))$ 称为 $(X, (A, B))$ 的超概念.

由所有 $O E$ 概念组成的集合记为 $O E L (U, V, I)$ ，称为对象导出三支概念格，简称 $O E$ 概念格.对于 $O E$ 概念格，有以下结论.

定理2^［6］

一个形式背景 $K = (U, V, I)$ 的 $O E$ 概念格 $O E L (U, V, I)$ 是一个完备格，对于任意的 $(X, (A, B)), (Y, (C, D)) \in O E L (U, V, I)$ ，其上确界和下确界分别为：

\begin{array}{l} (X, (A, B)) ⋁ (Y, (C, D)) = \\ ({(X ⋃ Y)}^{⊲ ⊳}, (A, B) ⋂ (C, D)) \end{array}

(13)

\begin{array}{l} (X, (A, B)) ⋀ (Y, (C, D)) = \\ (X ⋂ Y, ((A, B) ⋃ {(C, D)}^{⊳ ⊲})) \end{array}

(14)

1.2　灰数

定义6^［17］

$G$ 是论域 $U$ 上的灰集合，由上隶属度函数 ${\bar{μ}}_{G} (x)$ 和下隶属度函数 ${\underset{̲}{μ}}_{G} (x)$ 两个映射共同定义，如下：

{\bar{μ}}_{G} (x) : U \to [0,1]

{\underset{̲}{μ}}_{G} (x) : U \to [0,1]

其中， $x \in U$ 且 ${\underset{̲}{μ}}_{G} (x) \leq {\bar{μ}}_{G} (x)$ .一般情况下，灰集合记为 $G |_{\underset{̲}{μ}}^{\bar{μ}}$ 或者 $G$ .

定义7^［17］

设 $X \subseteq R$ ， $\otimes x$ 是由两个值 $\underset{̲}{x}$ ， $\bar{x}$ （其中 $\underset{̲}{x} = i n f X$ ， $\bar{x} = s u p X$ ）确定的一个区间，即 $\otimes x = [\underset{̲}{x}, \bar{x}]$ ，称 $\otimes x$ 为灰数.

（1）当且仅当 $\underset{̲}{x}$ 趋于 $- \infty$ 且 $\bar{x}$ 趋于 $+ \infty$ ，称 $\otimes x$ 为黑数；

（2）当且仅当 $\underset{̲}{x} = \bar{x}$ 时，称 $\otimes x$ 为白数或白值，记为 $\tilde{\otimes} x$ .

定义8^［17］

用 $\mapsto$ 表示灰数的包含关系，灰数 $\otimes x$ 包含于灰数 $\otimes y$ 定义为 $\otimes x \mapsto \otimes y$ 当且仅当 $\underset{̲}{x} \geq \underset{̲}{y}$ ， $\bar{x} \leq \bar{y}$ ，其中， $\otimes x = [\underset{̲}{x}, \bar{x}]$ ， $\otimes y = [\underset{̲}{y}, \bar{y}]$ .

对于任意实数k包含于 $\otimes y$ ，即有 $k \mapsto \otimes y$ 当且仅当 $\underset{̲}{y} \leq k \leq \bar{y}$ .

任意白数 $\tilde{\otimes} x$ 包含于 $\otimes y$ ，即有 $\tilde{\otimes} x \mapsto \otimes y$ 当且仅当 $\underset{̲}{y} \leq \tilde{\otimes} x \leq \bar{y}$ .

下文用 $\mapsto$ 来表示不包含关系，即 $\otimes x \mapsto \otimes y$ 表示灰数 $\otimes x$ 不包含于灰数 $\otimes y$ .

定义9^［17］

用 $⇄$ 表示为两个灰数 $\otimes x$ 与 $\otimes y$ 相等，即 $\otimes x ⇄ \otimes y$ 当且仅当 $\underset{̲}{x} = \underset{̲}{y}$ ， $\bar{x} = \bar{y}$ .其中， $\otimes x = [\underset{̲}{x}, \bar{x}]$ 且 $\otimes y = [\underset{̲}{y}, \bar{y}]$ .

从以上定义可知，当两个灰数对应区间相同时灰数相等，为了统一，本文中灰数 $\otimes x$ 也用 $\otimes x ⇄ [\underset{̲}{x}, \bar{x}]$ 来代替 $\otimes x = [\underset{̲}{x}, \bar{x}]$ .

定义10^［17］

对 $\forall x, y \in R$ ，则其对应的灰数为 $\otimes x$ 和 $\otimes y$ ，灰数的基本运算定义如下：

（1）并运算

\otimes x \lor \otimes y ⇄ [m i n (\underset{̲}{x}, \underset{̲}{y}), m a x (\bar{x}, \bar{y})]

(15)

（2）交运算

\otimes x \land \otimes y ⇄ \{\begin{matrix} [\underset{̲}{x}, \bar{x}], i f \otimes x \mapsto \otimes y \\ [\underset{̲}{y}, \bar{y}], i f \otimes y \mapsto \otimes x \\ [\underset{̲}{x}, \bar{y}], i f \underset{̲}{x} \mapsto \otimes y a n d \bar{y} \mapsto \otimes x \\ [\underset{̲}{y}, \bar{x}], i f \underset{̲}{y} \mapsto \otimes x a n d \bar{x} \mapsto \otimes y \\ \emptyset, 其他 \end{matrix}

(16)

（3）补运算

\otimes x^{c} = \{x \in X^{c}| x < \underset{̲}{x}, \bar{x} < x\}

(17)

定义11^［19］

灰度设灰数 $\otimes x$ 产生的背景或论域为 $Ω$ ， $μ (\otimes x)$ 为灰数 $\otimes x$ 取数域的测度，则：

g^{\circ} (\otimes x) = \frac{μ (\otimes x)}{μ (Ω)}

(18)

称 $g^{\circ} (\otimes x)$ 为灰数 $\otimes x$ 的灰度.

2 基于灰色形式背景的三支概念分析

本节将灰数理论与三支概念分析结合，在灰色形式背景下构造灰色三支概念格，用来处理灰色区间数据.

以下用 $𝒢 (\cdot)$ 表示灰集合的幂集，用 $D G (\cdot)$ 表示 $𝒢 (\cdot) \times 𝒢 (\cdot)$ .

定义12

称 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 为一个灰色形式背景，其中 $U$ 为所有对象的集合， $V$ 为所有属性的集合， $\tilde{I}$ 是定义在 $U \times V$ 上的灰集合，对于 $\forall (x, a) \in U \times V$ ，有 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ .其中，

{\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) ⇄ [{\underset{̲}{I}}_{\otimes} (x, a), {\bar{\tilde{I}}}_{\otimes} (x, a)] \subseteq [0,1]

用 $g_{_{\tilde{I}}}^{\circ}$ 表示 $\tilde{I}$ 上的灰度，即 $\forall (x, a) \in U \times V$ ， ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 的灰度可以表示为 $g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)}}^{\circ}$ .

注

本文中 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 表示对象 $x$ 在 $a$ 属性上的值的上隶属度和下隶属度，即属性 $a$ 在对象 $x$ 上可能存在值的最小值和最大值； ${\tilde{I}}_{\otimes} (X, a)$ 表示对象子集 $X$ 在属性 $a$ 上的共同可能存在值的最小值和最大值； ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, A)$ 表示属性子集 $A$ 在对象 $x$ 上共同可能存在值的最小值和最大值； $g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)}}^{\circ}$ 表示 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 的灰度，即 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 的未知程度；灰数 $\otimes s$ 则表示某对象在某属性上的值的合格灰色区间.

基于灰色形式背景，定义正、负灰色算子如下.

定义13

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 以及灰数 $\otimes s$ ， $X \subseteq U$ ， $A \subseteq V$ ， $γ (X)$ 和 $γ (A)$ 分别为 $X$ 与 $A$ 上的灰度组成的集合，则灰色正算子 $\otimes *$ ： $𝒢 (U)$ 到 $𝒢 (V)$ 上的映射和 $𝒢 (V)$ 到 $𝒢 (U)$ 的映射定义为：

X^{\otimes *} = \{(a, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)}}^{\circ})| a \in V, \forall x \in X, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(19)

γ {(X)}^{\otimes *} = \{a |a \in V, \forall x \in X, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(20)

A^{\otimes *} = \{(x, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, A)}}^{\circ})| x \in U, \forall a \in A, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(21)

γ {(A)}^{\otimes *} = \{x |x \in U, \forall a \in A, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(22)

灰色负算子 $\bar{\otimes *}$ ： $𝒢 (U)$ 到 $𝒢 (V)$ 上的映射和 $𝒢 (V)$ 到 $𝒢 (U)$ 的映射定义为：

X^{\bar{\otimes *}} = \{(a, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (X, a)}}^{^{\circ}})| a \in V, \forall x \in X, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(23)

γ {(X)}^{\bar{\otimes *}} = \{a |a \in V, \forall x \in X, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(24)

A^{\bar{\otimes *}} = \{(x, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, A)}}^{^{\circ}})| x \in U, \forall a \in A, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(25)

γ {(A)}^{\bar{\otimes *}} = \{x |x \in U, \forall a \in A, {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s\}

(26)

结合正算子 $\otimes *$ 与负算子 $\bar{\otimes *}$ ，可以分别得到属性诱导和对象诱导的灰色三支算子.

定义14

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ ，对于 $X, Y \subseteq U$ 和 $A \subseteq V$ ，一对由属性诱导的三支算子， $⊲ ∶ 𝒢 (V)$ 到 $D G (U)$ 的映射及 $⊳ ∶ D G (U)$ 到 $𝒢 (V)$ 的映射定义为：

A^{⊲} = (A^{\otimes *}, A^{\bar{\otimes *}})

(27)

\begin{array}{l} {(γ (X), γ (Y))}^{⊳} = \\ \{a \in V |a \in γ {(X)}^{\otimes *}, a \in γ {(Y)}^{\bar{\otimes *}}\} = \\ γ {(X)}^{\otimes *} ⋂ γ {(Y)}^{\bar{\otimes *}} \end{array}

(28)

它们称为灰色 $A E$ 算子.

定义15

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ ，对于 $X \subseteq U$ 和 $A, B \subseteq V$ ，一对由对象诱导的三支算子， $⊲ ∶ 𝒢 (U)$ 到 $D G (V)$ 的映射及 $⊳ ∶ D G (V)$ 到 $𝒢 (U)$ 的映射定义为：

X^{⊲} = (X^{\otimes *}, X^{\bar{\otimes *}})

(29)

\begin{array}{l} {(γ (A), γ (B))}^{⊳} = \\ \{x \in U |x \in γ {(A)}^{\otimes *}, x \in γ {(B)}^{\bar{\otimes *}}\} = \\ γ {(A)}^{\otimes *} ⋂ γ {(B)}^{\bar{\otimes *}} \end{array}

(30)

它们称为灰色 $O E$ 算子.

下面为灰色 $A E$ 概念和灰色 $O E$ 概念的定义.

定义16

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 以及灰数 $\otimes s$ ， $X, Y \subseteq U$ ， $A \subseteq V$ ，记：

\begin{array}{l} γ (X) = \{(x_{1}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, A)}}^{^{\circ}}), (x_{2}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, A)}}^{^{\circ}}), \dots, (x_{n}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{n}, A)}}^{^{\circ}})\} \\ x_{i} \in X \end{array}

其中，

\begin{array}{l} {\tilde{I}}_{\otimes} (x, A) = {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a_{1}) ⋀ {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a_{2}) ⋀ \dots ⋀ {\tilde{I}}_{\otimes} (x, a_{n}), \\ x \in X, a_{i} \in A (i = 1,2, 3, \dots, n) \end{array}

若 $A^{⊲} = (γ (X), γ (Y))$ 且 ${(γ (X), γ (Y))}^{⊳} = A$ .则称 $((γ (X), γ (Y)), A)$ 为属性导出灰色三支概念，简称 $G Y A E$ 概念.其中， $(γ (X), γ (Y))$ 叫作 $G Y A E$ 概念的外延， $A$ 叫作 $G Y A E$ 概念的内涵.

定义17

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 以及灰数 $\otimes s$ ， $X \subseteq U$ ， $A, B \subseteq V$ ，记：

\begin{array}{l} γ (A) = \{(a_{1}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (X, a_{1})}}^{^{\circ}}), (a_{2}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (X, a_{2})}}^{^{\circ}}), \dots, (a_{n}, g_{_{{\tilde{I}}_{\otimes} (X, a_{n})}}^{^{\circ}})\} \\ a_{i} \in A \end{array}

其中，

\begin{array}{l} {\tilde{I}}_{\otimes} (X, a) = {\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, a) ⋀ {\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, a) ⋀ \dots ⋀ {\tilde{I}}_{\otimes} (x_{n}, a), \\ a \in A, x_{i} \in X (i = 1,2, 3, \dots, n) \end{array}

若 $X^{⊲} = (γ (A), γ (B))$ ，且 ${(γ (A), γ (B))}^{⊳} = X$ .则称 $(X, (γ (A), γ (B)))$ 为对象导出灰色三支概念，简称 $G Y O E$ 概念.其中， $X$ 叫作 $G Y O E$ 概念的外延， $(γ (A), γ (B))$ 叫作 $G Y O E$ 概念的内涵.

命题1

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 以及灰数 $\otimes s$ ， $X, X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4} \subseteq U$ 为对象子集， $A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} \subseteq V$ 为属性子集，则下列结论成立：

（1） $A_{1} \subseteq A_{2} \Rightarrow {A_{2}}^{⊲} \subseteq {A_{1}}^{⊲}$ ， $X_{1} \subseteq X_{2} \Rightarrow {X_{2}}^{⊲} \subseteq {X_{1}}^{⊲};$

（2） $A \subseteq A^{⊲ ⊳}, X \subseteq X^{⊲ ⊳};$

（3） $A^{⊲} = A^{⊲ ⊳ ⊲}, X^{⊲} = X^{⊲ ⊳ ⊲};$

（4） ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} = {A_{1}}^{⊲} ⋂ {A_{2}}^{⊲}, {(X_{1} ⋃ X_{2})}^{⊲} = {X_{1}}^{⊲} ⋂ {X_{2}}^{⊲};$

（5） $\begin{array}{l} (γ (X_{1}), γ (X_{2})) \subseteq (γ (X_{3}), γ (X_{4})) \Rightarrow \\ {(γ (X_{3}), γ (X_{4}))}^{⊳} \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳}; \end{array}$

$\begin{array}{l} (γ (A_{3}), γ (A_{4})) \Rightarrow {(γ (A_{3}), γ (A_{4}))}^{⊳} \subseteq \\ {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} \end{array}$ ；

（6） $(γ (X_{1}), γ (X_{2})) \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲};$

$(γ (A_{1}), γ (A_{2})) \subseteq {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳ ⊲}$ ；

(7) {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} = {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳};

${(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} = {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳}$ ；

$\begin{array}{l} (8) {((γ (X_{1}), γ (X_{2})) ⋃ (γ (X_{3}), γ (X_{4})))}^{⊳} = \\ {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} ⋂ {(γ (X_{3}), γ (X_{4}))}^{⊳} \end{array}$ ；

\begin{array}{l} {((γ (A_{1}), γ (A_{2})) ⋃ (γ (A_{3}), γ (A_{4})))}^{⊳} = \\ {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} ⋂ {(γ (A_{3}), γ (A_{4}))}^{⊳} . \end{array}

证明

（1）令 ${A_{2}}^{⊲} = ({A_{2}}^{\otimes *}, {A_{2}}^{\bar{\otimes *}})$ ，则对于任意 $x_{1} \in γ {(A_{2})}^{\otimes *}$ ， $x_{2} \in γ {(A_{2})}^{\bar{\otimes *}}$ ， $a \in A_{2}$ ，有：

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, a) \mapsto \otimes s, {\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, a) \mapsto \otimes s

因为 $A_{1} \subseteq A_{2}$ ，故对于任意 $b \in A_{1}$ 均有：

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, b) \mapsto \otimes s

，

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, b) \mapsto \otimes s

成立.

即：

x_{1} \in γ {(A_{1})}^{\otimes *}

，

x_{2} \in γ {(A_{1})}^{\bar{\otimes *}}

因此，

γ {(A_{2})}^{\otimes *} \subseteq γ {(A_{1})}^{\otimes *},

γ {(A_{2})}^{\bar{\otimes *}} \subseteq γ {(A_{1})}^{\bar{\otimes *}}

易得：

{A_{2}}^{\otimes *} \subseteq {A_{1}}^{\otimes *},

{A_{2}}^{\bar{\otimes *}} \subseteq {A_{1}}^{\bar{\otimes *}}

故得：

{A_{2}}^{⊲} \subseteq {A_{1}}^{⊲}

同理可证：

X_{1} \subseteq X_{2} \Rightarrow {X_{2}}^{⊲} \subseteq {X_{1}}^{⊲}

（2）令 $A^{⊲} = (A^{\otimes *}, A^{\bar{\otimes *}}) = (γ (X), γ (Y))$ ，若对于任意 $a \in A$ ， $x_{1} \in γ {(A)}^{\otimes *}$ ， $x_{2} \in γ {(A)}^{\bar{\otimes *}}$ ，有：

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, a) \mapsto \otimes s

，

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, a) \mapsto \otimes s

意味着对于任意的 $x_{1} \in γ {(A)}^{\otimes *}$ ， $x_{2} \in γ {(A)}^{\bar{\otimes *}}$ 有 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, a) \mapsto \otimes s$ ， ${\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, a) \mapsto \otimes s$ 成立.即对任意 $(x_{1}, g_{\tilde{I} (x_{1}, A)}^{\circ}) \in A^{\otimes *}$ ， $(x_{2}, g_{\tilde{I} (x_{2}, A)}^{\circ}) \in A^{\bar{\otimes *}}$ ，

有：

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{1}, a) \mapsto \otimes s

，

{\tilde{I}}_{\otimes} (x_{2}, a) \mapsto \otimes s

则有：

a \in γ {(X)}^{\otimes *}, a \in γ {(Y)}^{\bar{\otimes *}}

即：

a \in γ {(X)}^{\otimes *} ⋂ γ {(Y)}^{\bar{\otimes *}}

由定义14得：

a \in {(γ (X), γ (Y))}^{⊳} = A^{⊲ ⊳}

故：

A \subseteq A^{⊲ ⊳}

同理可证 $X \subseteq X^{⊲ ⊳}$ .

（3）由命题（2）可知 $A^{⊲} \subseteq A^{⊲ ⊳ ⊲}$ ，再由命题（1）知 $A \subseteq A^{⊲ ⊳}$ ，得 $A^{⊲ ⊳ ⊲} \subseteq A^{⊲}$ ，故 $A^{⊲} = A^{⊲ ⊳ ⊲}$ 得证.

同理可证 $X^{⊲} = X^{⊲ ⊳ ⊲}$ .

（4）因为有：

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} = ({(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}, {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\bar{\otimes *}})

\begin{array}{l} {A_{1}}^{⊲} ⋂ {A_{2}}^{⊲} = ({A_{1}}^{\otimes *}, {A_{1}}^{\bar{\otimes *}}) ⋂ ({A_{2}}^{\otimes *}, {A_{2}}^{\bar{\otimes *}}) = \\ ({A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}, {A_{1}}^{\bar{\otimes *}} ⋂ {A_{2}}^{\bar{\otimes *}}) \end{array}

故要证 ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} = {A_{1}}^{⊲} ⋂ {A_{2}}^{⊲}$ ，只需证明 ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} = {A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}$ 和 ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\bar{\otimes *}} = {A_{1}}^{\bar{\otimes *}} ⋂ {A_{2}}^{\bar{\otimes *}}$ .

下面证明 ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} = {A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}$ .

首先证明 ${(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} \subseteq {A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}$ .

任取 $x \in γ {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}$ ，对任意 $a \in (A_{1} ⋃ A_{2})$ 有 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s$ .

因为，

A_{1} \in (A_{1} ⋃ A_{2}), A_{2} \in (A_{1} ⋃ A_{2})

由命题（1）得：

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} \subseteq {A_{1}}^{⊲}, {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} \subseteq {A_{2}}^{⊲}

则有：

({(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}, {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\bar{\otimes *}}) \subseteq ({A_{2}}^{\otimes *}, {A_{2}}^{\bar{\otimes *}})

({(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}, {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\bar{\otimes *}}) \subseteq ({A_{1}}^{\otimes *}, {A_{1}}^{\bar{\otimes *}})

所以，

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} \subseteq {A_{1}}^{\otimes *}, {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} \subseteq {A_{2}}^{\otimes *}

故：

x \in γ {(A_{1})}^{\otimes *}, x \in γ {(A_{2})}^{\otimes *}

即：

x \in (γ {(A_{1})}^{\otimes *} ⋂ γ {(A_{2})}^{\otimes *})

则：

γ {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} \subseteq (γ {(A_{1})}^{\otimes *} ⋂ γ {(A_{2})}^{\otimes *})

易得：

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} \subseteq {A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}

再证明 $({A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}) \subseteq {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}$ .

任取 $x \in (γ {(A_{1})}^{\otimes *} ⋂ γ {(A_{2})}^{\otimes *})$ 有 $x \in γ {(A_{1})}^{\otimes *}$ ，

$x \in γ {(A_{2})}^{\otimes *}$ ，则对于任意 $a \in A_{1}$ ，且对于任意 $a \in A_{2}$ 有 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s$ ，故对任意 $a \in (A_{1} ⋃ A_{2})$ 均有 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a) \mapsto \otimes s$ .

因此，

x \in γ {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}

则：

(γ {(A_{1})}^{\otimes *} ⋂ γ {(A_{2})}^{\otimes *}) \subseteq γ {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}

易得：

({A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}) \subseteq {(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *}

因此，

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\otimes *} = {A_{1}}^{\otimes *} ⋂ {A_{2}}^{\otimes *}

同理可证：

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{\bar{\otimes *}} = {A_{1}}^{\bar{\otimes *}} ⋂ {A_{2}}^{\bar{\otimes *}}

故证得：

{(A_{1} ⋃ A_{2})}^{⊲} = {A_{1}}^{⊲} ⋂ {A_{2}}^{⊲}

同理可证：

{(X_{1} ⋃ X_{2})}^{⊲} = {X_{1}}^{⊲} ⋂ {X_{2}}^{⊲}

（5）令：

(γ (X_{1}), γ (X_{2})) = {A_{1}}^{⊲}, (γ (X_{3}), γ (X_{4})) = {A_{2}}^{⊲}

则：

(γ (X_{1}), γ (X_{2})) \subseteq (γ (X_{3}), γ (X_{4})) \Leftrightarrow {A_{1}}^{⊲} \subseteq {A_{2}}^{⊲}

由命题（1）得：

{A_{1}}^{⊲} \subseteq {A_{2}}^{⊲} \Rightarrow {A_{2}}^{⊲ ⊳} \subseteq {A_{1}}^{⊲ ⊳}

又因为：

\begin{array}{l} {A_{2}}^{⊲ ⊳} \subseteq {A_{1}}^{⊲ ⊳} \Leftrightarrow {(γ (X_{3}), γ (X_{4}))}^{⊳} \subseteq \\ {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} \end{array}

故命题（5）得证.

同理可证：

\begin{array}{l} (γ (A_{1}), γ (A_{2})) \subseteq (γ (A_{3}), γ (A_{4})) \Rightarrow \\ (γ (A_{3}), {γ (A_{4}))}^{⊳} \subseteq {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} \end{array}

（6）令 $(γ (X_{1}), γ (X_{2})) = A^{⊲}$ ，由命题（2）可知 $A^{⊲} \subseteq A^{⊲ ⊳ ⊲}$ .

又因为：

A^{⊲ ⊳ ⊲} \Leftrightarrow {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲}

故：

(γ (X_{1}), γ (X_{2})) \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲}

命题（6）可证.

同理可证：

(γ (A_{1}), γ (A_{2})) \subseteq {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳ ⊲}

（7）由命题（6）可知：

{(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳}

再由命题（5）可知：

(γ (X_{1}), γ (X_{2})) \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲}

得：

{(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳} \subseteq {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳}

故：

{(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} = {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳}

可证.

同理可证：

{(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} = {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳ ⊲ ⊳}

（8）令：

(γ (X_{1}), γ (X_{2})) = {A_{1}}^{⊲}, (γ (X_{3}), γ (X_{4})) = {A_{2}}^{⊲}

则：

{((γ (X_{1}), γ (X_{2})) ⋃ (γ (X_{3}), γ (X_{4})))}^{⊳} = {({A_{1}}^{⊲} ⋃ {A_{2}}^{⊲})}^{⊳}

由命题（4）知：

{({A_{1}}^{⊲} ⋃ {A_{2}}^{⊲})}^{⊳} = {A_{1}}^{⊲ ⊳} ⋂ {A_{2}}^{⊲ ⊳}

则：

{((γ (X_{1}), γ (X_{2})) ⋃ (γ (X_{3}), γ (X_{4})))}^{⊳} = {A_{1}}^{⊲ ⊳} ⋂ {A_{2}}^{⊲ ⊳}

又因为：

{A_{1}}^{⊲ ⊳} ⋂ {A_{2}}^{⊲ ⊳} = {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} ⋂ {(γ (X_{3}), γ (X_{4}))}^{⊳}

故：

{((γ (X_{1}), γ (X_{2})) ⋃ (γ (X_{3}), γ (X_{4})))}^{⊳} = {(γ (X_{1}), γ (X_{2}))}^{⊳} ⋂ {(γ (X_{3}), γ (X_{4}))}^{⊳}

同理可证：

\begin{array}{l} {((γ (A_{1}), γ (A_{2})) ⋃ (γ (A_{3}), γ (A_{4})))}^{⊳} = \\ {(γ (A_{1}), γ (A_{2}))}^{⊳} ⋂ {(γ (A_{3}), γ (A_{4}))}^{⊳} \end{array}

定义18

设 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 为灰色形式背景， $A E G L (U, V, \tilde{I})$ 表示由灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 生成的所有 $G Y A E$ 概念的集合.

对任意：

\begin{array}{l} ((γ (X), γ (Y)), A), ((γ (W), γ (Z)), B) \in \\ A E G L (U, V, \tilde{I}) \end{array}

定义其偏序关系如下：

\begin{array}{l} ((γ (X), γ (Y)), A) \leq ((γ (W), γ (Z)), B) \Leftrightarrow \\ (γ (X), γ (Y)) \subseteq (γ (W), γ (Z)) \Leftrightarrow B \subseteq A \end{array}

(31)

其中， $((γ (X), γ (Y)), A)$ 为 $((γ (W), γ (Z)), B)$ 的

亚概念， $((γ (W), γ (Z)), B)$ 为 $((γ (X), γ (Y)), A)$ 的超概念.

定理3

设 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 为灰色形式背景， $A E G L (U, V, \tilde{I})$ 表示由灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 生成的所有 $G Y A E$ 概念的集合，则 $A E G L (U, V, \tilde{I})$ 在偏序关系 $\leq$ 下是一个完备格，称灰色 $A E$ 概念格，简称 $G Y A E$ 概念格.

对任意：

\begin{array}{l} ((γ (X), γ (Y)), A), ((γ (W), γ (Z)), B) \in \\ A E G L (U, V, \tilde{I}) \end{array}

其下确界和上确界分别为：

((γ (X), γ (Y)), A) ⋀ ((γ (W), γ (Z)), B) = (γ (X), γ (Y)) ⋂ ((γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})

(32)

\begin{array}{l} ((γ (X), γ (Y)), A) ⋁ ((γ (W), γ (Z)), B) = \\ ({((γ (X), γ (Y)) ⋃ (γ (W), γ (Z)))}^{⊳ ⊲}, A ⋂ B) \end{array}

(33)

证明

由于上确界与下确界证明类似，这里只证明下确界.

因为，

{(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳ ⊲} = {(A ⋃ B)}^{⊲} = A^{⊲} ⋂ B^{⊲} = ((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)))

\begin{array}{l} {((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)))}^{⊳} = \\ {(A^{⊲} ⋂ B^{⊲})}^{⊳} = {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳} \end{array}

故 $((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})$ 是一个 $G Y A E$ 概念.

下面证明 $((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)),$

${(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})$ 为下确界，首先证明其为下界，因为：

((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z))) \subseteq (γ (X), γ (Y))

((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z))) \subseteq (γ (W), γ (Z))

由命题（3）得：

A \subseteq (A ⋃ B) \subseteq {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}, B \subseteq (A ⋃ B) \subseteq {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}

再由定义18得：

((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}) \leq ((γ (X), γ (Y)), A)

((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}) \leq ((γ (W), γ (Z)), B)

所以 $((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})$ 为一个下界.

再证明其为最大下界.

若 $((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})$

不是最大下界，则设最大下界为 $((γ (X^{'}), γ (Y^{'})), A^{'})$ ，则有：

((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)), {(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳}) \leq ((γ (X^{'}), γ (Y^{'})), A^{'})

故：

(γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)) \subseteq (γ (X^{'}), γ (Y^{'}))

又因为 $((γ (X^{'}), γ (Y^{'})), A^{'})$ 为最大下界，故对于 $G Y A E$ 概念 $((γ (X), γ (Y)), A), ((γ (W)$ ，

$γ (Z)), B)$ 有：

(γ (X^{'}), γ (Y^{'})) \subseteq (γ (X), γ (Y))

(γ (X^{'}), γ (Y^{'})) \subseteq (γ (W), γ (Z))

则：

(γ (X^{'}), γ (Y^{'})) \subseteq (γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z))

与 $(γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)) \subseteq (γ (X^{'}), γ (Y^{'}))$

矛盾，故 $((γ (X), γ (Y)) ⋂ (γ (W), γ (Z)),$

${(A ⋃ B)}^{⊲ ⊳})$ 为下确界.

定义19

设 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 为灰色形式背景， $O E G L (U, V, \tilde{I})$ 表示由灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 生成的所有 $G Y O E$ 概念的集合.

对任意：

\begin{array}{l} (X, (γ (A), γ (B))), (Y, (γ (C), γ (D))) \in \\ O E G L (U, V, \tilde{I}) \end{array}

定义其偏序关系如下：

\begin{array}{l} (X, (γ (A), γ (B))) \leq (Y, (γ (C), γ (D))) \Leftrightarrow \\ X \subseteq Y \Leftrightarrow (γ (C), γ (D)) \subseteq (γ (A), γ (B)) \end{array}

(34)

其中， $(X, (γ (A), γ (B)))$ 叫作 $(Y, (γ (C), γ (D)))$ 的亚概念， $(Y, (γ (C), γ (D)))$ 叫作 $(X, (γ (A),$

$γ (B)))$ 的超概念.

定理4

设 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 为灰色形式背景， $O E G L (U, V, \tilde{I})$ 表示由灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ 生成的所有 $G Y O E$ 概念的集合，则 $O E G L (U, V, \tilde{I})$ 在偏序关系 $\leq$ 下是一个完备格，称灰色 $O E$ 概念格，简称 $G Y O E$ 概念格.

对任意：

\begin{array}{l} (X, (γ (A), γ (B))), (Y, (γ (C), γ (D))) \in \\ O E G L (U, V, \tilde{I}) \end{array}

其下确界和上确界分别为：

\begin{array}{l} (X, (γ (A), γ (B))) ⋀ (Y, (γ (C), γ (D))) = \\ (X ⋂ Y, ({(γ (A), γ (B) ⋃ (γ (C), γ (D)))}^{⊳ ⊲})) \end{array}

(35)

\begin{array}{l} (X, (γ (A), γ (B))) ⋁ (Y, (γ (C), γ (D))) = \\ ({(X ⋂ Y)}^{⊲ ⊳}, (γ (A), γ (B)) ⋂ (γ (C), γ (D))) \end{array}

(36)

其证明同定理3类似.

3 实例分析

例1

给定一个灰色形式背景 $\tilde{K} = (U, V, \tilde{I})$ ，其中， $U = \{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\}$ 表示供货商备选集合， $V = \{a, b, c\}$ 表示供应商的产品质量、产品价格及运送时间三个属性， ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 表示某个供应商某个属性的普遍评价区间，且 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 区间在 $[0,1]$ 范围之内，如表1所示，取 $\otimes s = [0.6,1]$ 为合格区间.

表1 灰色形式背景

Table 1 A grey context

	$a$	$b$	$c$
$x_{1}$	$[0.65,0.95]$	$[0.55,0.63]$	$[0.75,0.81]$
$x_{2}$	$[0.80,0.83]$	$[0.94,0.99]$	$[0.28,0.55]$
$x_{3}$	$[0.45,0.61]$	$[0.26,0.58]$	$[0.66,0.78]$
$x_{4}$	$[0.55,0.66]$	$[0.88,0.93]$	$[0.45,0.68]$

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对于 $\forall (x, a) \in U \times V$ ， ${\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)$ 在 $[0,1]$ ，根据定义11，此时 $μ (Ω) = 1$ ，则本示例分析中灰度计算如下：

\begin{array}{l} g_{{\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)}^{^{\circ}} = \frac{μ ({\tilde{I}}_{\otimes} (x, a))}{1} = \\ μ ({\tilde{I}}_{\otimes} (x, a)) = {\bar{\tilde{I}}}_{\otimes} (x, a) - {\underset{̲}{I}}_{\otimes} (x, a) \end{array}

(37)

由表1可得属性导出灰色三支概念的外延与内涵（表2）以及对应的GYAE概念格（图1）.从 $A E_{5}$ 可以看出，同时具备 $a$ 和 $b$ 属性合格的是 $x_{2}$ ，且合格的共同评价区间为 $\emptyset$ ，故灰度为0，而 $a$ 和 $b$ 属性同时不合格的是 $x_{3}$ ，且未能合格的共同评价区间为 $[0.45,0.58]$ ，则灰度为0.13，表明供应商2号在产品质量和产品价格方面评价较好，且并未有重合部分，供应商3号在这两方面普遍评价较差，未能合格，且重合部分的灰度为0.13.

表2 属性导出灰色三支概念的外延与内涵

Table 2 The extension and intension of grey three⁃way concept induced by attributes

	外延	内涵
$A E_{1}$	$(U, U)$	$\emptyset$
$A E_{2}$	$((\{x_{1}, 0.3\}, \{x_{2}, 0.03\}), (\{x_{3}, 0.15\}, \{x_{4}, 0.11\}))$	$a$
$A E_{3}$	$((\{x_{2}, 0.05\}, \{x_{4}, 0.05\}), (\{x_{1}, 0.08\}, \{x_{3}, 0.32\}))$	$b$
$A E_{4}$	$((\{x_{1}, 0.06\}, \{x_{3}, 0.12\}), (\{x_{2}, 0.27\}, \{x_{4}, 0.23\}))$	$c$
$A E_{5}$	$((\{x_{2}, 0\}), (\{x_{3}, 0.13\}))$	$\{a, b\}$
$A E_{6}$	$((\{x_{1}, 0.06\}), (\{x_{4}, 0.11\}))$	$\{a, c\}$
$A E_{7}$	$(\emptyset, \emptyset)$	$V$

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图1

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图1 GYAE概念格

Fig.1 GYAE concept lattice

对偶地，根据表1可得对象导出灰色三支概念的外延与内涵（表3）以及对应的GYOE概念格（图2）.其中，从 $O E_{8}$ 可以看出 $x_{2}$ 和 $x_{4}$ 的 $b$ 属性同时合格，且合格共同评价区间为 $\emptyset$ ，因此灰度为0； $x_{2}$ 和 $x_{4}$ 的 $c$ 属性同时不合格，且评价区间为 $[0.45,0.55]$ ，则此时灰度为0.1.因此，表示供应商2号和供应商3号在产品价格方面评价较好，且评价区间并未重合，在运送时间方面评价较差，未能合格，且重合部分的评价灰度为0.1.

表3 对象导出灰色三支概念的外延与内涵

Table 3 The extension and intension of grey three⁃way concept induced by objects

	内涵	外延
$O E_{1}$	$(V, V)$	$\emptyset$
$O E_{2}$	$((\{a, 0.3\}, \{c, 0.06\}), (b, 0.08))$	$x_{1}$
$O E_{3}$	$((\{a, 0.3\}, \{b, 0.05\}), ({c, 0.27}))$	$x_{2}$
$O E_{4}$	$((\{c, 0.07\}), (\{a, 0.16\}, \{b, 0.32\}))$	$x_{3}$
$O E_{5}$	$((\{b, 0.05\}), (\{a, 0.11\}, \{c, 0.23\}))$	$x_{4}$
$O E_{6}$	$((\{a, 0.03\}), \emptyset)$	$\{x_{1}, x_{2}\}$
$O E_{7}$	$((\{c, 0.03\}), (\{b, 0.03\}))$	$\{x_{1}, x_{3}\}$
$O E_{8}$	$((\{b, 0\}), (\{c, 0.1\}))$	$\{x_{2}, x_{4}\}$
$O E_{9}$	$(\emptyset, (\{a, 0.06\}))$	$\{x_{3}, x_{4}\}$
$O E_{10}$	$(\emptyset, \emptyset)$	$U$

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图2

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图2 GYOE概念格

Fig.2 GYOE concept lattice

通过上述实例的概念格图，可以直观地看出各供应商所具备的属性、评价区间以及各概念的结构关系.

4 结论

在现实生活的信息系统中，数据的类型不仅包括“非此即彼”的布尔数据、“亦此亦彼”的模糊数据，还包括一些“范围已知，内部未知”的灰色区间数据，而以往的概念格信息处理中鲜有涉及这类数据.本文将灰度和灰格运算融入三支概念分析，提出灰色三支概念及灰色三支概念格，给出了灰色三支的正负算子、灰色三支概念的相关定义、定理及其性质，并通过实例说明灰色三支概念和灰色三支概念格的实用性.一方面可以将得出的结论清晰地表示在图中，另一方面也通过灰度展示灰色信息的未知程度，为分析灰色区间数据提供一种合理的方法.

本文实例中的 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x_{4}, a) = [0.55.0 . 66]$ ，故 ${\tilde{I}}_{\otimes} (x_{4}, a)$ 属于合格区间 $\otimes s = [0.6,1]$ 的可能性较大，实例则将其直接归入不合格区间，虽然杜绝了所有不合格数据归入合格区间，但还需进一步考虑将这些“中间数据”进行更合理地分类.下一步将考虑结合变精度的相关概念，进一步优化灰色三支概念分析理论.

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An axiomatic definition of degree of greyness of grey number

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[本文引用: 1]

Restructuring lattice theory：An approach based on hierarchies of concepts

1982

... 形式概念分析^［1］（Formal Concept Analysis，FCA）是1982年德国学者Wille提出的一种有效的知识表示与知识发现的工具，具有层次性和可视化的特点，已被广泛应用于知识工程、机器学习、信息检索、数据挖掘和语义Web等多个领域^［2-5］.在多学科多理论交叉融合的研究趋势下，形式概念分析与其他相关理论的交叉和互补研究使其进一步蓬勃发展，特别是与粗糙集、模糊集、三支决策理论的结合，有效地拓宽了形式概念分析的应用领域.Qi et al^［6］基于三支决策理论与经典概念分析提出三支概念分析理论（Three⁃way Concept Analysis，3WCA），将形式概念二支表达拓宽为三支表达.三支概念一经提出便引起众多学者的广泛关注^［7-10］.龙柄翰和徐伟华^［11］将三支概念分析融入模糊集合论，提出模糊三支概念分析与模糊三支概念格，对标处理模糊不确定信息，从而实现不确定对象的有效识别和分类.然而，三支概念理论及其推广理论可以处理“非此即彼”的布尔数据，又或是“亦此亦彼”的模糊数据，但对于“范围已知，内部未知”的灰色区间数据的处理却涉及较少，因此本文考虑将灰色系统理论中处理灰色区间信息的方法引入三支概念，以拓展三支概念分析研究的理论背景. ...

2005

Using covering reduction to identify reducts for object?oriented concept lattices

2022

A heuristic concept construction approach to collaborative recom?mendation

2022

Co?clustering neighborhood?based collaborative filtering framework using formal concept analysis

2022

The connections between three?way and classical concept lattices

2016

... 定义1^［6］ ...

... 定义2^［6］ ...

... 定义3^［6］ ...

... 定义4^［6］ ...

... 定理1^［6］ ...

... 定义5^［6］ ...

... 定理2^［6］ ...

Incremental construction of three?way concept lattice for know?ledge discovery in social networks

2021

Knowledge discovery and updating under the evolution of network formal contexts based on three?way decision

2022

Three?way dual concept analysis

2019

L?fuzzy concept analysis for three?way decisions：Basic definitions and fuzzy inference mechanisms

2018

模糊三支概念分析与模糊三支概念格

2019

Fuzzy three?way concept analysis and fuzzy three?way concept lattice

2019

灰色系统综述

1983

... 灰色系统理论^［12-14］最早由我国数学家邓聚龙提出，其主要理论包括灰色观念、灰色预测、灰色决策和灰色数学等，其中灰色数学是其核心理论之一.在灰色数学中，灰数是指“某个只知道大概范围而不知道确切值的数”，在此基础上，王清印^［15］分析并结合模糊集合的表示方法，基于灰数的概念给出灰集合与灰数的描象描述.2005年Yamaguchi et al^［16］将粗糙集理论与灰色数学理论相结合，提出基于灰格的分类提取与约简的决策规则，并定义了灰数运算.随后，Yamaguchi et al^［17］针对包含区间数据的信息系统，提出了一种基于灰色系统理论的粗糙集模型.2009年Wu and Liu^［18］在概念格约简的灰色粗集方法中将基于灰数包含关系的灰色粗糙集模型融入到经典形式概念分析中，提出了一种基于灰色粗糙集理论的区间数据形式概念分析方法，将灰色这一概念融入到形式概念分析中. ...

Control problems of grey systems

1982

2005

1996

Decision rule extraction and reduction based on grey lattice classification

2005

A grey?based rough approximation model for interval data processing

2007

... 定义6^［17］ ...

... 定义7^［17］ ...

... 定义8^［17］ ...

... 定义9^［17］ ...

... 定义10^［17］ ...

Real formal concept analysis based on grey?rough set theory

2009

灰数灰度的一种公理化定义

2004

... 定义11^［19］ ...

An axiomatic definition of degree of greyness of grey number

2004

... 定义11^［19］ ...

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