基于区间二型模糊多粒度证据融合方法的钢铁行业耗能决策

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.04.007

基于区间二型模糊多粒度证据融合方法的钢铁行业耗能决策

王冰洁¹, 张超^,¹^,², 李德玉¹^,², 马瑾男³, 王渊³

1.山西大学计算机与信息技术学院，太原，030006

2.计算智能与中文信息处理教育部重点实验室，山西大学，太原，030006

3.山西省信息产业技术研究院有限公司，太原，030012

Energy consumption decision⁃making of steel industry based on the interval type⁃2 fuzzy multi⁃granularity evidence fusion method

Wang Bingjie¹, Zhang Chao^,¹^,², Li Deyu¹^,², Ma Jinnan³, Wang Yuan³

1.School of Computer and Information Technology，Shanxi University，Taiyuan，030006，China

2.Key Laboratory of Computational Intelligence and Chinese Information Processing of Ministry of Education，Shanxi University，Taiyuan，030006，China

3.Shanxi Information Industry Technology Research Institute Co. , Ltd，Taiyuan，030012，China

通讯作者: E⁃mail：czhang@sxu.edu.cn

收稿日期: 2023-06-13

基金资助:

国家自然科学基金.  62272284.  62072294.  61972238
山西省科技创新青年人才团队项目.  202204051001015
山西省筹资金资助回国留学人员科研项目.  2022⁃007
山西省高等学校青年科研人员培育计划，山西省高等学校优秀成果培育项目.  2019SK036
2023年度山西省研究生教育创新项目“基于大群体多粒度证据融合的钢铁行业耗能评估方法研究”.  2023KY137

Received: 2023-06-13

摘要

为了探索区间二型模糊背景下的多属性群决策方法，以多粒度概率粗糙集为基础，结合MULTIMOORA（Multi⁃Objective Optimization by Ratio Analysis Plus the Full Multi⁃Plicative Form）与证据融合理论，发展了一种基于区间二型模糊信息的多粒度证据融合决策模型.首先，提出多粒度区间二型模糊概率粗糙集模型；然后，通过离差最大化法和熵权法计算决策者权重和属性权重，依据多粒度概率粗糙集和MULTIMOORA法建立区间二型模糊多属性群决策模型，通过源自D⁃S证据理论的证据融合方法融合得出决策结果.通过钢铁行业耗能的实例，证明提出方法的可行性与有效性，总体上，提出的决策模型具备一定的容错力，有助于获得强解释力的稳健型决策结果.

关键词： 多粒度粗糙集 ; 概率粗糙集 ; 证据融合 ; 区间二型模糊集 ; 耗能决策

Abstract

In order to explore multi⁃attribute group decision⁃making methods in the background of interval type⁃2 fuzziness，the paper starts with multigranulation probabilistic rough sets and develops a multi⁃granularity evidence fusion decision⁃making model based on interval type⁃2 fuzzy information via with MULTIMOORA (Multi⁃Objective Optimization by Ratio Analysis Plus the Full Multi⁃Plicative Form) method and the evidence fusion theory. First，a multi⁃granularity interval type⁃2 fuzzy probabilistic rough set model is put forward. Then，the decision⁃maker weight and the attribute weight are calculated by the dispersion maximization method and the entropy weight method. Furthermore，in light of multigranulation probabilistic rough sets and the MULTIMOORA method，an interval type⁃2 fuzzy multi⁃attribute group decision⁃making model is established. The decision results are eventually acquired via the evidence fusion method from the D⁃S evidence theory. At last，the feasibility and effectiveness of the proposed method are verified by a case of energy consumption in steel industry. All in all，the established decision⁃making model in the paper owns a certain degree of fault tolerance and is conducive to acquiring stable decision results with strong interpretability.

Keywords： multigranulation rough set ; probabilistic rough set ; evidence fusion ; interval type⁃2 fuzzy set ; energy consuming decision⁃making

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本文引用格式

王冰洁, 张超, 李德玉, 马瑾男, 王渊. 基于区间二型模糊多粒度证据融合方法的钢铁行业耗能决策. 南京大学学报（自然科学）[J], 2023, 59(4): 600-609 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.04.007

Wang Bingjie, Zhang Chao, Li Deyu, Ma Jinnan, Wang Yuan. Energy consumption decision⁃making of steel industry based on the interval type⁃2 fuzzy multi⁃granularity evidence fusion method. Journal of nanjing University[J], 2023, 59(4): 600-609 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2023.04.007

当前，气候变化对人类的生产和生活产生了前所未有的影响，改善环境问题刻不容缓.“碳达峰”和“碳中和”是关系我国可持续发展的重要决策，要实现“碳达峰”和“碳中和”，调整产业结构是不可或缺的行动举措^［1］，通过对工业项目的耗能进行智能决策可判断该项目耗能的高低.具体地，本文聚焦钢铁行业耗能决策问题，由于该问题包含具有一定联系的多个耗能指标，因此决策者需要对问题的不同角度进行评价，并从多个备选方案中选出最佳方案.此外，在许多重大决策问题中，单一决策者给出的评价往往有一定片面性，而一个团队可通过协商来对复杂问题作出评价，体现决策过程的科学性和客观性，这种由多个决策者从多个角度对复杂问题进行评价的方式即为多属性群决策^［2-4］.多属性群决策问题的建模框架有助于钢铁行业耗能决策问题的合理求解^［5］.

1975年控制论专家Zadeh提出二型模糊集^［6］，其本质是将模糊集进一步模糊化，将模糊集的隶属度函数拓展为一型模糊集，使其能够高效地表示问题的不确定性.区间二型模糊集是二型模糊集的一个特例，可对不确定信息进行更精确的表示.近年来，区间二型模糊集已成为二型模糊集研究中的热点，引起众多学者的关注，广泛用于多属性群决策问题的求解^［7-11］.

在多属性群决策问题的研究中，学者们提出多种决策方法.比利时学者Brauers^［12］提出MOORA （Multi⁃Objective Optimization by Ratio Analysis），其中包括了比率系统方法和参考点方法，又将全乘法引入MOORA来构建MULTIMOORA.MULTIMOORA最终可给出三种结果，运算相对简单，同时具备一定的稳健性^［13］，适合处理多属性群决策问题^［14-17］.然而，通过该方法计算得出的三类决策结果可能存在差异，需使用信息融合的手段将其融合.具体地，信息融合是将不同的信息通过一定的技术手段融合到一起，可对信息进行有效的处理.其中，D⁃S证据理论^［18］是一种经典的信息融合方法，通过信任函数和似然函数来表示证据的不确定值，包含多种证据合成的方法，可有效解决信息融合问题.近年来，学者们开展了诸多关于D⁃S证据理论的研究^［19-22］.

本文探索区间二型模糊信息系统中的稳健型多属性群决策方法，并依据MULTIMOORA进行决策.但由于MULTIMOORA包含三种子方法，可得到三种结果，因此本文考虑使用D⁃S证据理论的证据合成方法对三种结果进行合成，得到最终决策结果.具体地，在区间二型模糊背景下，将MULTIMOORA与D⁃S证据理论结合，提出一种较稳健的决策模型并为其提供理论支撑.最后，通过UCI数据集中的钢铁行业耗能数据进行实例分析与对比性分析.未来将继续在区间二型模糊背景下探索新的决策模型，如加入决策者的一致性分析，收集决策者的评价后使各决策者的评价基本达成一致，在此基础上进行决策分析.

本文的主要贡献：（1）提出多粒度区间二型模糊概率粗糙集模型；（2）发展将实数转换为区间二型模糊数的方法；（3）建立基于多粒度区间二型模糊集与MULTIMOORA的区间二型模糊多属性群决策方法；（4）通过钢铁行业耗能实例和对比性分析，验证构建的模型的有效性与可行性.

1 基础知识

1.1　区间二型模糊集

由于个体认知的差异，不同决策者对不确定信息的评价结果不同，和二型模糊集相比，区间二型模糊集可以更好地应对此类情形.例如，不同决策者对炎热的感知不同，决策者1认为气温33 ℃属于炎热，而决策者2认为气温33 ℃不属于炎热，此时使用区间二型模糊集可以较好地表现不同决策者对炎热的评价结果的区间，33 ℃属于炎热的隶属度可能为 $[0.85,1]$ .

定义1^［7］

假定 $U$ 为论域，在论域 $U$ 上的一个二型模糊集 $A$ 可表示为：

\begin{array}{l} A = \{(x, u), u_{A} (x, u)| \forall x \in U, u \in J_{x} \subseteq [0,1], \\ 0 \leq u_{A} (x, u) \leq 1\} \end{array}

（1）

其中， $x$ 为主要变量， $u$ 为次要变量， $J_{x} \subseteq [0,1]$ 是 $x$ 的主隶属度函数.式（1）也可表示为：

A = \int_{x \in U} \int_{u \in J_{x}} u_{A} (x, u) / (x, u)

（2）

其中， $\int_{x \in U} \int_{u \in J_{x}}$ 表示遍历模糊集中所有符合条件的 $x$ 和 $u$ ，当 $u_{A} (x, u) = 1$ 时， $A$ 为区间二型模糊集.

定义2^［7］

假定 $U$ 为论域，在论域 $U$ 上的一个区间二型模糊集 $A$ 可表示为：

A = \int_{x \in U} \int_{u \in J_{x}} 1 / (x, u)

（3）

其中， $x$ 为主要变量， $u$ 为次要变量， $J_{x} \subseteq [0,1]$ 是 $x$ 的主隶属度函数.显然，区间二型模糊集是二型模糊集的一种特例.

定义3^［7］

假定 ${\tilde{A}}^{1}$ 和 ${\tilde{A}}^{2}$ 为两个广义二型模糊数， $\tilde{A} = ({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2})$ 为一个区间二型模糊数.那么，定义在论域 $U$ 上的区间二型模糊数 $\tilde{A}$ 可表示为：

\begin{array}{l} \tilde{A} = ({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2}) = \\ ((a^{1}, b^{1}, c^{1}, d^{1}; s^{1}, t^{1}), (a^{2}, b^{2}, c^{2}, d^{2}; s^{2}, t^{2})) \end{array}

（4）

式（4）满足条件 $a^{1} \leq b^{1} \leq c^{1} \leq d^{1}$ ， $a^{2} \leq b^{2} \leq c^{2} \leq d^{2}$ ， $0 \leq s^{2} \leq s^{1} \leq 1$ ， $0 \leq t^{2} \leq t^{1} \leq 1$ .其中， $s^{1}$ 和 $t^{1}$ 分别代表元素 $b^{1}$ 和 $c^{1}$ 的隶属度， $s^{2}$ 和 $t^{2}$ 分别代表元素 $b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的隶属度.为了方便后续操作，对区间二型模糊数的运算规则进行说明.

定义4^［7］

假定 ${\tilde{A}}_{1}$ 和 ${\tilde{A}}_{2}$ 为两个区间二型模糊数，其运算规则如下：

（1） $\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{1} \oplus {\tilde{A}}_{2} = ({\tilde{A}}_{1}^{1}, {\tilde{A}}_{1}^{2}) \oplus ({\tilde{A}}_{2}^{1}, {\tilde{A}}_{2}^{2}) = \\ (\begin{matrix} (a_{1}^{1} + a_{2}^{1}, b_{1}^{1} + b_{2}^{1}, c_{1}^{1} + c_{2}^{1}, d_{1}^{1} + d_{2}^{1}; \\ m i n \{s_{1}^{1}, s_{2}^{1}\}, m i n \{t_{1}^{1}, t_{2}^{1}\}), \\ (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}, b_{1}^{2} + b_{2}^{2}, c_{1}^{2} + c_{2}^{2}, d_{1}^{2} + d_{2}^{2}; \\ m i n \{s_{1}^{2}, s_{2}^{2}\}, m i n \{t_{1}^{2}, t_{2}^{2}\}) \end{matrix}) \end{array}$

（2） $\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{1} \otimes {\tilde{A}}_{2} = ({\tilde{A}}_{1}^{1}, {\tilde{A}}_{1}^{2}) \otimes ({\tilde{A}}_{2}^{1}, {\tilde{A}}_{2}^{2}) = \\ (\begin{matrix} (a_{1}^{1} \times a_{2}^{1}, b_{1}^{1} \times b_{2}^{1}, c_{1}^{1} \times c_{2}^{1}, d_{1}^{1} \times d_{2}^{1}; \\ m i n \{s_{1}^{1}, s_{2}^{1}\}, m i n \{t_{1}^{1}, t_{2}^{1}\}), \\ (a_{1}^{2} \times a_{2}^{2}, b_{1}^{2} \times b_{2}^{2}, c_{1}^{2} \times c_{2}^{2}, d_{1}^{2} \times d_{2}^{2}; \\ m i n \{s_{1}^{2}, s_{2}^{2}\}, m i n \{t_{1}^{2}, t_{2}^{2}\}) \end{matrix}) \end{array}$

（3） $\begin{array}{l} k \tilde{A} = k ({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2}) = \\ (\begin{matrix} (k a^{1}, k b^{1}, k c^{1}, k d^{1}; s^{1}, t^{1}), \\ (k a^{2}, k b^{2}, k c^{2}, k d^{2}; s^{2}, t^{2}) \end{matrix}), k \geq 0 \end{array}$

\begin{array}{l} k \tilde{A} = k ({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2}) = \\ (\begin{matrix} (k d^{1}, k c^{1}, k b^{1}, k a^{1}; s^{1}, t^{1}), \\ (k d^{2}, k c^{2}, k b^{2}, k a^{2}; s^{2}, t^{2}) \end{matrix}), k < 0 \end{array}

（4） $\begin{array}{l} {\tilde{A}}^{k} = {({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2})}^{k} = \\ (\begin{matrix} ({(a^{1})}^{k}, {(b^{1})}^{k}, {(c^{1})}^{k}, {(d^{1})}^{k}; s^{1}, t^{1}), \\ ({(a^{2})}^{k}, {(b^{2})}^{k}, {(c^{2})}^{k}, {(d^{2})}^{k}; s^{2}, t^{2}) \end{matrix}), k \geq 0 \end{array}$

（5） $\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{1} ⊖ {\tilde{A}}_{2} = ({\tilde{A}}_{1}^{1}, {\tilde{A}}_{1}^{2}) ⊖ ({\tilde{A}}_{2}^{1}, {\tilde{A}}_{2}^{2}) = \\ (\begin{matrix} (a_{1}^{1} - d_{2}^{1}, b_{1}^{1} - c_{2}^{1}, c_{1}^{1} - b_{2}^{1}, d_{1}^{1} - a_{2}^{1}; \\ m i n \{s_{1}^{1}, s_{2}^{1}\}, m i n \{t_{1}^{1}, t_{2}^{1}\}), \\ (a_{1}^{2} - d_{2}^{2}, b_{1}^{2} - c_{2}^{2}, c_{1}^{2} - b_{2}^{2}, d_{1}^{2} - a_{2}^{2}; \\ m i n \{s_{1}^{2}, s_{2}^{2}\}, m i n \{t_{1}^{2}, t_{2}^{2}\}) \end{matrix}) \end{array}$

（6） $\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{1} ⊘ {\tilde{A}}_{2} = ({\tilde{A}}_{1}^{1}, {\tilde{A}}_{1}^{2}) ⊘ ({\tilde{A}}_{2}^{1}, {\tilde{A}}_{2}^{2}) = \\ (\begin{matrix} a_{1}^{1} / d_{2}^{1}, b_{1}^{1} / c_{2}^{1}, c_{1}^{1} / b_{2}^{1}, d_{1}^{1} / a_{2}^{1}; \\ m i n (s_{1}^{1}, s_{2}^{1}), m i n (t_{1}^{1}, t_{2}^{1}) \\ a_{1}^{2} / d_{2}^{2}, b_{1}^{2} / c_{2}^{2}, c_{1}^{2} / b_{2}^{2}, d_{1}^{2} / a_{2}^{2}; \\ m i n (s_{1}^{2}, s_{2}^{2}), m i n (t_{1}^{2}, t_{2}^{2}) \end{matrix}) \end{array}$

例如，两个区间二型模糊数 ${\tilde{A}}_{1}$ 和 ${\tilde{A}}_{2}$ 分别为：

{\tilde{A}}_{1} = ((5,7, 8,9; 1,0.9), (6,7, 7,8; 0.8, 0.8))

{\tilde{A}}_{2} = ((1,3, 5,6; 0.8,0.9), (2,3, 4,5; 0.7,0.6))

则：

\begin{array}{l} {\tilde{A}}_{1} \oplus {\tilde{A}}_{2} = \\ ((6,10,13,15; 0.8, 0.9), (8,10,11,13; 0.7,0.6)) \end{array}

{\tilde{A}}_{1} ⊖ {\tilde{A}}_{2} = ((- 1,2, 5, 8; 0.8,0.9), (1,3, 4,6; 0.7,0.6))

在区间二型模糊多属性群决策中，两个模糊数之间的比较至关重要，因此，对于区间二型模糊数的得分函数有如下定义.

定义5^［7］假定

\begin{array}{l} \tilde{A} = ({\tilde{A}}^{1}, {\tilde{A}}^{2}) = \\ ((a^{1}, b^{1}, c^{1}, d^{1}; s^{1}, t^{1}), (a^{2}, b^{2}, c^{2}, d^{2}; s^{2}, t^{2})) \end{array}

为一个区间二型模糊数，则 $\tilde{A}$ 的得分函数可定义为：

\begin{array}{l} s (\tilde{A}) = \\ \frac{1}{8} (a^{1} + a^{2} + b^{1} + b^{2} + c^{1} + c^{2} + d^{1} + d^{2}) \times \\ \frac{1}{4} (s^{1} + t^{1} + s^{2} + t^{2}) \end{array}

（5）

结合上述定义，对于任意两个区间二型模糊数 ${\tilde{A}}_{1}, {\tilde{A}}_{2}$ ，当 $s ({\tilde{A}}_{1}) > s ({\tilde{A}}_{2})$ 时，有 ${\tilde{A}}_{1} ≻ {\tilde{A}}_{2}$ ；反之，当 $s ({\tilde{A}}_{1}) < s ({\tilde{A}}_{2})$ 时，有 ${\tilde{A}}_{1} ≺ {\tilde{A}}_{2}$ .

为了方便计算决策者权重和属性权重，给出如下的区间二型模糊距离公式.

定义6^［23］

假定 ${\tilde{A}}_{1}$ 和 ${\tilde{A}}_{2}$ 为两个区间二型模糊数，其距离公式为：

D ({\tilde{A}}_{1}, {\tilde{A}}_{2}) = \sqrt[]{D_{1} + D_{2}}

（6）

\begin{array}{l} D_{1} = {(a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2} + {(b_{1}^{2} \cdot s_{1}^{2} - b_{2}^{2} \cdot s_{2}^{2})}^{2} + \\ {(c_{1}^{2} \cdot t_{1}^{2} - c_{2}^{2} \cdot t_{2}^{2})}^{2} + {(d_{1}^{2} - d_{2}^{2})}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} D_{2} = {(a_{1}^{1} - a_{2}^{1})}^{2} + {(b_{1}^{1} \cdot s_{1}^{1} - b_{2}^{1} \cdot s_{2}^{1})}^{2} + \\ {(c_{1}^{1} \cdot t_{1}^{1} - c_{2}^{1} \cdot t_{2}^{1})}^{2} + {(d_{1}^{1} - d_{2}^{1})}^{2} \end{array}

1.2　MULTIMOORA

在进行多属性群决策时，在多种方法中进行选择较为困难，Brauers^［12］的MULTIMOORA能有效地解决这一问题，并提供稳健型的决策结果.通过对不同目标的不同备选方案来开展研究，包含比率系统、参考点和全乘法的形式.

在比率系统中，一个备选方案对一个目标的每个响应都与一个分母进行比较，这个分母代表与该目标相关的所有备选方案，其中， $x_{i j}$ 代表备选方案 $j (j = 1,2, \dots, n)$ 对每一个目标 $i (i = 1,2, \dots, m)$ 的响应值.把分子设置为一个目标对每一个备选方案的对应值，把分母设置为所有备选方案的平方和的平方根，可表示为：

x_{i j}^{*} = \frac{x_{i j}}{\sqrt[]{\sum_{j = 1}^{n} x_{i j}^{2}}}

（7）

其中， $x_{i j}^{*} \in [0,1]$ ，是一个无量纲数，表示备选方案 $j$ 对目标 $i$ 的归一化值，然而，在一些情况下， $x_{i j}^{*}$ 的取值范围会变为 $[- 1,1]$ .为了对其进行优化，需要在最大化的情况下增加对应的值，在最小化的情况下减去对应的值，可表示为：

y_{j}^{*} = \sum_{i = 1}^{i = g} x_{i j}^{*} - \sum_{i = g + 1}^{i = n} x_{i j}^{*}

（8）

其中， $i = 1,2, \dots, g$ 为待最大化目标， $i = g + 1,$

$g + 2, \dots, n$ 为待最小化的目标， $y_{j}^{*}$ 是备选方案 $j$ 对所有目标的规范化评估，它的排序结果即可展示出最终偏好.

通过下式求出参考点与对应点的最大最小度量：

\underset{(j)}{m i n} \{\underset{(i)}{m a x} |r_{i} - x_{i j}^{*}|\}

（9）

此外，也可通过全乘法的形式对备选方案进行评价. $U_{j}^{'}$ 表示对备选方案的评价值，即：

U_{j}^{'} = \frac{\prod_{g = 1}^{i} x_{g i}}{\prod_{k = i + 1}^{n} x_{k j}}

（10）

其中， $i$ 表示要最大化目标的数量， $n - i$ 表示要最小化目标的数量.

1.3　D⁃S证据理论

D⁃S证据理论^［18］提供了一种高效的处理不确定信息的能力，根据已知的信息，可给出信息的不确定度量.假定 $U$ 为一个有限论域，若下列条件成立：

M (\emptyset) = 0

，

\sum_{A \subseteq U} M (A) = 1

（11）

称 $M : 2^{U} \to [0,1]$ 为 $2^{U}$ 上的基本概率分配函数（BPA）， $M (A)$ 为 $A$ 的基本概率函数， $2^{U}$ 表示 $U$ 中所有子集所组成的集合.基于以上描述，进一步假设 $B e l (A) = \sum_{B \subseteq A} M (B), \forall A \subseteq U$ ，则 $B e l$ 称为信任函数.假定 $P l (A) = \sum_{B ⋂ A \neq \emptyset} M (B)$ ，则 $P l$ 称为似然函数.通常使用区间 $[B e l (A), P l (A)]$ 来表示子集 $A$ 的不确定值.

使用D⁃S证据理论对证据进行合成时，若证据冲突，则合成公式^［24］如下：

\{\begin{matrix} m_{s} (\emptyset) = \sum_{\begin{matrix} X, Y \in 2^{Θ} \\ X ⋂ Y = \emptyset \end{matrix}} m_{1} (X) m_{2} (Y) \\ m_{s} (A) = \sum_{\begin{matrix} X, Y \in 2^{Θ} \\ X ⋂ Y = A \end{matrix}} m_{1} (X) m_{2} (Y) \end{matrix}

（12）

若证据不冲突，则合成公式如下：

m (A) = \frac{\sum_{A_{1} ⋂ A_{2} ⋂ \dots ⋂ A_{n} = A} m_{1} (A_{1}) \dots m_{n} (A_{n})}{1 - \sum_{A_{1} ⋂ A_{2} ⋂ \dots ⋂ A_{n} = \emptyset} m_{1} (A_{1}) \dots m_{n} (A_{n})}

（13）

2 区间二型模糊多粒度概率粗糙集模型

在区间二型多属性群决策的框架下，将 $U$ 设为备选方案集，将 $V$ 设为属性集，将 $μ$ 设为属性权重集.假定决策者有 $l$ 个，则决策者权重集可表示为 $w = {\{w_{1}, w_{2}, \dots, w_{l}\}}^{T}$ ，其中，将第 $i$ 个决策者的权重表示为 $w_{i}$ ， $w_{i}$ 满足 $w_{i} \in [0,1]$ 且 $\sum_{i = 1}^{i} w_{i} = 1$ .假定关系集为 $R = \{R_{1}, R_{2}, \dots, R_{l}\}$ ，其中，将 $U \times V$ 中的区间二型模糊关系表示为 $R_{i}$ ，将 $V$ 上的一个标准指标集表示为 $S$ .根据以上信息描述，可构建多粒度区间二型模糊信息系统 $(U, V, R_{i}, S)$ .

定义7

假定 $(U, V, R_{i}, S)$ 为一个多粒度区间二型模糊信息系统.对于符合条件的 $x_{j} \in U$ 和 $y_{k} \in V$ ，用 $θ_{S}^{R_{i}} (x_{j})$ 来表示 $x_{j}$ 关于 $R_{i}$ 的多粒度区间二型模糊隶属度，则：

θ_{S}^{R_{i}} (x_{j}) = (\frac{\sum_{y_{k} \in V} u_{k} R_{i} (x_{j}, y_{k}) S (y_{k})}{\sum_{y_{k} \in V} u_{k} R_{i} (x_{j}, y_{k})})

（14）

使用升序的方式对 $m$ 个 $θ_{S}^{R_{i}} (x_{j})$ 进行排列，可得排在第 $i$ 个位置的 $θ_{S}^{R_{i}} (x_{j})$ ，即第 $i$ 个多粒度区间二型模糊隶属度的值，将其表示为 $θ_{S}^{R_{τ (i)}} (x_{j})$ ，并称之为 $x_{j}$ 关于 $R$ 的可调多粒度区间二型模糊隶属度.依据可调多粒度区间二型模糊隶属度 $θ_{S}^{R_{τ (i)}} (x_{j})$ ，对可调多粒度区间二型模糊概率粗糙集模型进行构建.

定义8

假定 $(U, V, R_{i}, S)$ 为一个多粒度区间二型模糊信息系统，两个阈值分别为 $α$ 和 $β$ .对于任意的 $x_{j} \in U$ 且 $0 \leq β < α \leq 1$ ，可调多粒度区间二型模糊概率粗糙上、下近似可定义如下：

{\underset{̲}{\sum_{i = 1}^{l} R_{i}}}^{α, η} (S) = \{θ_{S}^{R_{τ (i)}} (x_{j}) \geq α| x_{j} \in U\}

（15）

{\bar{\sum_{i = 1}^{l} R_{i}}}^{β, η} (S) = \{θ_{S}^{R_{τ (i)}} (x_{j}) > β| x_{j} \in U\}

（16）

其中， $η = \frac{i}{l}$ 且 $η \in [\frac{1}{l}, 1]$ ，表示决策者的风险系数.当决策者倾向于完全规避风险时， $η = \frac{1}{l}$ ；反之，当决策者倾向于完全追求风险时， $η = 1$ .称 $({\underset{̲}{\sum_{i = 1}^{l} R_{i}}}^{α, η} (S),$ ${\bar{\sum_{i = 1}^{l} R_{i}}}^{β, η} (S))$ 为 $(U, V, R_{i}, S)$ 上的可调多粒度区间二型模糊概率粗糙集.

3 区间二型模糊多属性群决策方法

3.1　模型建立

给定一个区间二型模糊信息系统 $(U, V, R_{i}, S)$ ，为了便于后续计算，首先将各属性值转换为区间二型模糊数.假定属性集 $V = \{y_{1}, \dots, y_{k}, \dots, y_{m}\}$ ，对属性值进行归一化操作：

y_{k}^{'} = \frac{y_{k} - y_{m i n}}{y_{m a x} - y_{m i n}}

（17）

其中， $y_{m a x}$ 表示各属性值中的最大值， $y_{m i n}$ 表示各属性值中的最小值.通过表1的形式，将各属性值转换为相应的语言标度，再通过表2的形式将语言标度转换为对应的区间二型模糊数.表1中的对比关系通过计算二型模糊数的得分函数，再将其进行标准化得出.

表1 归一化值转换的语言体系

Table 1 The linguistic system of normalized value conversions

归一化数值	语言体系
0.0	Very Low (VL)
$(0.0,0.103896]$	Low (L)
$(0.103896,0.292208]$	Medium Low (ML)
$(0.292208,0.5]$	Medium (M)
$(0.5,70.707792]$	Medium High (MH)
$(0.707792,0.896104]$	High (H)
$(0.896104,1]$	Very High (VH)

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表2 语言体系转换的区间二型模糊集

Table 2 The linguistic system conversion for interval type⁃2 fuzzy sets

语言体系	区间二型模糊集
VL	$((0,0, 0,0.1; 1,1), (0,0, 0,0.05; 0.9,0.9))$
L	$((0,0.1,0.1,0.3; 1,1), (0.05,0.1,0.1,0.2; 0.9,0.9))$
ML	$((0.1,0.3,0.3,0.5; 1,1), (0.2,0.3,0.3,0.4; 0.9,0.9))$
M	$((0.3,0.5,0.5,0.7; 1,1), (0.4,0.5,0.5,0.6; 0.9,0.9))$
MH	$((0.5,0.7,0.7,0.9; 1,1), (0.6,0.7,0.7,0.8; 0.9,0.9))$
H	$((0.7,0.9,0.9,1; 1,1), (0.8,0.9,0.9,0.95; 0.9,0.9))$
VH	$((0.9,1, 1,1; 1,1), (0.95,1, 1,1; 0.9,0.9))$

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接下来，通过离差最大化法^［25］和熵权法^［5］分别求出决策者权重 $w_{i}$ 和属性权重 $μ_{k}$ .当个体决策与群体决策的差距更小时，该决策者的权重更大；反之，该决策者权重更小.假定决策者 $e_{i}$ 关于备选方案 $x_{j}$ 对属性 $y_{k}$ 作出的评价结果为 $R_{a} (x_{j}, y_{k})$ ，那么该决策者的权重 $w_{i}$ 表示为：

w_{i} = \frac{\frac{1}{\sum_{h = 1, h \neq i}^{l} \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} d (R_{i} (x_{j}, y_{k}), R_{h} (x_{j}, y_{k}))}}{\sum_{i = 1}^{l} \frac{1}{\sum_{h = 1, h \neq i}^{l} \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} d (R_{i} (x_{j}, y_{k}), R_{h} (x_{j}, y_{k}))}}

（18）

此时，各决策矩阵中的属性权重 $μ_{k}$ 可表示为：

μ_{k} = \frac{1 - E_{j}}{\sum_{k = 1}^{m} (1 - E_{j})}

（19）

\begin{array}{l} E_{j} = - \frac{1}{l n n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d (R (x_{j}, y_{k}), C_{k})}{\sum_{j = 1}^{n} d (R (x_{j}, y_{k}), C_{k})} \cdot \\ l n \frac{d (R (x_{j}, y_{k}), C_{k})}{\sum_{j = 1}^{n} d (R (x_{j}, y_{k}), C_{k})} \end{array}

C_{k} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} R (x_{j}, y_{k})

此后，通过MULTIMOORA的三种方法得到各个备选方案的评价值，即 $a s 1_{j}$ ， $a s 2_{j}$ 和 $a s 3_{j}$ ，其中， $a s 1_{j}$ 和 $a s 3_{j}$ 越高，代表方案 $j$ 越优， $a s 2_{j}$ 越低，代表方案 $j$ 越优.对评价值进行排序，得到三种排序结果.三种评价值的计算方法如下所示：

a s 1_{j} = \sum_{i = 1}^{l} w_{i} (\sum_{k = 1}^{g} μ_{k} R (x_{j}, y_{k}) - \sum_{k = g + 1}^{m} μ_{k} R (x_{j}, y_{k}))

（20）

a s 2_{j} = \sum_{i = 1}^{l} w_{i} \underset{k}{m a x} \{d (μ_{k} R (x_{j}, y_{k}), μ_{k} R' (x_{j}, y_{k}))\}

（21）

a s 3_{j} = \sum_{i = 1}^{l} w_{i} \frac{\prod_{k = 1}^{g} {(R (x_{j}, y_{k}))}^{μ_{k}}}{\prod_{k = g + 1}^{m} {(R (x_{j}, y_{k}))}^{μ_{k}}}

（22）

对上述三种排序值进行排序，可得到三种从小到大的排序结果，分别为 $s o r t 1_{j}$ ， $s o r t 2_{j}$ 和 $s o r t 3_{j}$ .其中， $s o r t 1_{j}$ 表示方案 $x_{j}$ 在所有方案中通过第一种方法计算得出的排序结果.例如， $s o r t 1_{j} = 2$ 表示方案 $x_{j}$ 通过第一种方法得出的排序结果为第2.

最后，通过D⁃S证据理论中的证据合成方法对上述三种评价结果进行合成，得到最终的评价结果 $a s_{j}$ .证据冲突时的计算如下所示：

a s_{j} = a s 1_{j} a s 2_{j} a s 3_{j}

（23）

证据不冲突时的计算如下所示：

a s_{j} = \frac{a s 1_{j} a s 2_{j} a s 3_{j}}{1 - a s 1_{j} a s 2_{j} a s 3_{j}}

（24）

3.2　算法流程

输入：多粒度区间二型模糊信息系统；

输出：最优方案 $x^{*}$ .

步骤1.对输入的数据进行归一化处理.

步骤2.将步骤1处理后的数据转换为区间二型模糊数 $R_{i} (x_{j}, y_{k})$ ，将信息系统转换为区间二型模糊信息系统 $(U, V, R_{i}, S)$ .

步骤3.确定各属性权重 $μ_{k}$ 和决策者权重 $w_{i}$ .

步骤4.依据MULTIMOORA法计算各个备选方案的三种评价值 $a s 1_{j}$ ， $a s 2_{j}$ 和 $a s 3_{j}$ .

步骤5.使用D⁃S证据理论中的合成公式对三种评价值进行融合，融合结果为 $a s_{j}$ .

步骤6.对上一步得到的评价结果进行排序，得到最终排序结果 $s o r t_{j}$ 和最优备选方案 $x^{*}$ .

综上，可得每一具体步骤的时间复杂度，分别为 $O (m n l)$ ， $O (m n l)$ ， $O (m n l^{2})$ ， $O (m n l)$ ， $O (n l)$ ， $O (n)$ 和 $O (n l g n)$ .因此，算法的总体时间复杂度为 $O (m n l^{2})$ ，

根据上述算法流程得出该决策模型的算法流程图，如图1所示.

图1

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图1 区间二型模糊决策算法流程图

Fig.1 The flow chart of the interval type⁃2 fuzzy decision⁃making algorithm

4 实例分析

使用UCI数据库中的钢铁产业能耗数据集对多粒度区间二型模糊决策模型进行验证，给出具体决策步骤，并进行灵敏度分析和对比性分析.

4.1　实例描述

使用的数据集取自某钢铁企业每天间隔15 min检测到的耗能数据.选取2018年1月1日到2018年1月15日，每日7：00，12：00和19：00的数据来进行实验分析.

首先，假设 $U = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{15}\}$ 为备选日期集， $V = \{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{6}\}$ 为属性集，其中， $y_{1}$ 为工业耗能， $y_{2}$ 为滞后电流无功功率， $y_{3}$ 为超前电流无功功率， $y_{4}$ 为二氧化碳排量， $y_{5}$ 为滞后功率因数， $y_{6}$ 为超前功率因数，将该数据集应用到第3节提出的决策模型中进行决策.具体步骤如下：

步骤1.根据式（17），对各属性的初始值进行归一化处理，得到归一化的决策矩阵.

步骤2.根据表1和表2，将归一化后的数据转换为相对应的语言体系，再将语言体系转换为相对应的区间二型模糊数.

步骤3.根据式（18）和式（19），分别求出各个时间点的权重和各个属性的权重.

步骤4.根据式（20）~（22），取参数 $g = 3$ ，分别对选取的15个备选日期计算MULTIMOORA对应的三种评价值，计算结果如图2~4所示.

图2

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图2 MULTIMOORA方法1的计算结果

Fig.2 Caculation result of MULTIMOORA method 1

图3

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图3 MULTIMOORA方法2的计算结果

Fig.3 Caculation result of MULTIMOORA method 2

图4

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图4 MULTIMOORA方法3的计算结果

Fig.4 Caculation result of MULTIMOORA method 3

步骤5.根据式（23）和式（24），对步骤4得到的三种评价值进行合成，得到15个日期的最终评价值.

步骤6.对15个备选日期的最终评价值进行排序，得到15个备选日期最终的排序结果，排序结果为：

\begin{array}{l} x_{1} ≻ x_{10} ≻ x_{13} ≻ x_{14} ≻ x_{7} ≻ x_{6} ≻ x_{15} ≻ \\ x_{3} ≻ x_{9} ≻ x_{11} ≻ x_{2} ≻ x_{4} ≻ x_{5} ≻ x_{12} ≻ x_{8} \end{array}

由此得出2018年1月1日到2018年1月15日中的最优日期，即钢铁耗能最低的日期，为1月1日，如图5所示.

图5

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图5 本文方法的最终评价值

Fig.5 The final evaluation value of our method

4.2　灵敏度分析

为了测试提出的决策方法的稳健性，对决策过程中涉及的参数 $g$ 进行灵敏度分析.4.1中取 $g = \frac{m}{2} = 3$ ，本节中分别设定 $g = \frac{m}{3} = 2, g = \frac{2 m}{3} = 4$ .图6和表3给出了参数 $g$ 取不同值时的排序结果.

图6

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图6 不同 $g$ 值的图排序结果

Fig.6 Figure sorting results with different $g$

表3 不同 $g$ 值的表排序结果

Table 3 Table sorting results with different $g$

	排序结果
$g$ =2	$\begin{array}{l} x_{1} ≻ x_{10} ≻ x_{13} ≻ x_{14} ≻ x_{7} ≻ x_{6} ≻ x_{15} ≻ \\ x_{3} ≻ x_{9} ≻ x_{11} ≻ x_{2} ≻ x_{4} ≻ x_{5} ≻ x_{12} ≻ x_{8} \end{array}$
$g$ =3	$\begin{array}{l} x_{1} ≻ x_{10} ≻ x_{13} ≻ x_{14} ≻ x_{7} ≻ x_{6} ≻ x_{15} ≻ \\ x_{3} ≻ x_{9} ≻ x_{11} ≻ x_{2} ≻ x_{4} ≻ x_{5} ≻ x_{12} ≻ x_{8} \end{array}$
$g$ =4	$\begin{array}{l} x_{1} ≻ x_{10} ≻ x_{13} ≻ x_{14} ≻ x_{7} ≻ x_{6} ≻ x_{15} ≻ \\ x_{3} ≻ x_{9} ≻ x_{11} ≻ x_{2} ≻ x_{4} ≻ x_{5} ≻ x_{12} ≻ x_{8} \end{array}$

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综上，改变参数 $g$ 的值不会影响备选方案的排序，最优方案都为 $x_{1}$ ，即钢铁耗能最低的日期为1月1日.因此，本文提出的决策方法是稳健的.

4.3　对比分析

将本文方法与其他决策方法进行对比分析，包括区间二型模糊经典TOPSIS、区间二型模糊经典VIKOR、区间二型模糊D⁃S证据理论和区间二型模糊MULTIMOORA⁃TOPSIS.

4.3.1　和区间二型模糊经典方法的对比

将本文方法与区间二型模糊经典方法TOPSIS和VIKOR^［26］进行对比，结果如图7和图8所示.由图7可知，本文方法和TOPSIS存在一些差异，两种方法计算得到的最优方案相同，总体决策趋于一致，但本文方法结果的区分度更好.由图8可以看出，两种方法选择的最优方案是一致的.

图7

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图7 本文方法与TOPSIS的对比结果

Fig.7 Comparison results of our method and TOPSIS

图8

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图8 本文方法与VIKOR的对比结果

Fig.8 Comparison results of our method and VIKOR

4.3.2　和D⁃S证据理论的对比

将本文方法与D⁃S证据理论进行对比，结果如图9所示.由图可见，两种方法得出的最优方案的结果是一致的，但D⁃S证据理论计算的结果趋于水平，而本文方法的结果则具有更好的区分度.

图9

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图9 本文方法与D⁃S证据理论的对比结果

Fig.9 Comparison results of our method and D⁃S evidence theory

4.3.3　与MULTIMOORA⁃TOPSIS的对比

将本文方法与MULTIMOORA⁃TOPSIS进行对比，结果如图10所示.

图10

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图10 本文方法与MULTIMOORA⁃TOPSIS的对比结果

Fig.10 Comparison results of our method and MULTIMOORA⁃TOPSIS

由于使用区间二型模糊MULTIMOORA⁃TOPSIS计算得到的评价值较大，本文方法的评价值则趋于平缓.与图5进行对比可见，两种方法计算出的评价值变化趋势较为一致.

通过在钢铁行业耗能数据集上的实验，验证了多粒度区间二型模糊决策模型的有效性与可行性；综合灵敏度分析和对比分析，验证了本文模型的稳健性.

5 结论

本文结合区间二型模糊集和多粒度概率粗糙集，建立了区间二型模糊多粒度概率粗糙集模型；然后，结合多粒度概率粗糙集与MULTIMOORA，再使用D⁃S证据理论对结果进行融合，建立了基于区间二型模糊多粒度证据融合的多属性群决策方法.最后，通过钢铁行业耗能实例验证了本文方法的有效性及可行性.

未来的工作：（1）将本文方法应用到更多实际背景中并进行验证；（2）探索不完备环境下的区间二型模糊多粒度证据融合模型；（3）探索大规模群决策背景下的区间二型模糊多粒度证据融合模型.

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关于备选方案

x_{j}

对属性

y_{k}

作出的评价结果为

R_{a} (x_{j}, y_{k})

，那么该决策者的权重

w_{i}

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... 在进行多属性群决策时，在多种方法中进行选择较为困难，Brauers^［12］的MULTIMOORA能有效地解决这一问题，并提供稳健型的决策结果.通过对不同目标的不同备选方案来开展研究，包含比率系统、参考点和全乘法的形式. ...

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... 使用D⁃S证据理论对证据进行合成时，若证据冲突，则合成公式^［24］如下： ...

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... 接下来，通过离差最大化法^［25］和熵权法^［5］分别求出决策者权重

w_{i}

和属性权重

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.当个体决策与群体决策的差距更小时，该决策者的权重更大；反之，该决策者权重更小.假定决策者

e_{i}

关于备选方案

x_{j}

对属性

y_{k}

作出的评价结果为

R_{a} (x_{j}, y_{k})

，那么该决策者的权重

w_{i}

表示为： ...

Probabilistic hesitant fuzzy multi?attribute decision?making method considering risk preference

2020

... 接下来，通过离差最大化法^［25］和熵权法^［5］分别求出决策者权重

w_{i}

和属性权重

μ_{k}

.当个体决策与群体决策的差距更小时，该决策者的权重更大；反之，该决策者权重更小.假定决策者

e_{i}

关于备选方案

x_{j}

对属性

y_{k}

作出的评价结果为

R_{a} (x_{j}, y_{k})

，那么该决策者的权重

w_{i}

表示为： ...

Two interval type 2 fuzzy TOPSIS material selection methods

2015

... 将本文方法与区间二型模糊经典方法TOPSIS和VIKOR^［26］进行对比，结果如图7和图8所示.由图7可知，本文方法和TOPSIS存在一些差异，两种方法计算得到的最优方案相同，总体决策趋于一致，但本文方法结果的区分度更好.由图8可以看出，两种方法选择的最优方案是一致的. ...

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