独立式开口边框有源降噪系统设计

图1 墙体上矩形开口及声场分布示意图

(a)墙体上矩形开口示意图；(b)声源位于开口外时声场分布；(c)声源位于开口内时声场分布

Fig.1 The schematic diagram of a rectangular opening in the wall and the sound distribution near the opening

1.1　声场模型与代价函数

当点声源位于开口外部时，空间声场可分为三个区域，分别是入射侧声场p_I、开口内部声场p_O和透射侧声场p_T（图1b）所示.入射侧声场p_I为入射波p_i、反射波p_r与散射波p_s的叠加：

p_{I} (r) = p_{i} (r) + p_{r} (r) + p_{s} (r)

(1)

开口内部声场p_O可用模态展开法表示为^［16］：

p_{O} (r) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} [A_{m n} e^{- j k_{m n} (z - d)} + B_{m n} e^{j k_{m n} (z - d)}] φ_{m n}

(2)

其中，A_mn 和B_mn 分别为开口内部沿z轴正向和反向传播的高次波幅度，j为虚数单位， $k_{m n} = \sqrt[]{k^{2} - {(\frac{m π}{h})}^{2} - {(\frac{n π}{w})}^{2}}$ 为z轴方向的波数，k为角波数， $φ_{m n} = c o s [\frac{m π}{h} (x + \frac{h}{2})] c o s [\frac{n π}{w} (y + \frac{w}{2})]$ 为（m，n）阶高次波对应的本征函数.

透射侧声场p_T是由于开口对点声源的散射引起的，具有Rayleigh积分形式：

p_{T} (r) = \int_{Σ_{o u t}} g (r, r_{2}) \frac{\partial p_{T} (r_{2})}{\partial n_{o u t}} d Σ

(3)

其中， Σ_out为开口在透射侧的端面（即z=d平面上的开口部分）， n_out为 Σ_out的外法向矢量， r₂为积分变元，范围遍及整个 Σ_out， $g (r, r_{2}) = \frac{e^{- j k |r - r_{2}|}}{2 π |r - r_{2}|}$ 为半无限大空间格林函数.

利用z=0和z=d处声压与质点法向速度的连续^［17］的边界条件，结合方程（1）至方程（3）即可求解开口内外声场，具体参见文献［5］.

当点声源位于开口内部时，空间声场可分为两个区域，即开口内部声场p_O和开口外部声场p_s（图1c）.开口外部的声场仅有散射声，表达式同式（3）.开口内部的声场仍可用模态展开法表示，考虑到开口内部有声源，需要在式（2）的右侧加上声源项，具体形式为^［18］：

\begin{array}{l} p_{O} (r) = \int_{V} j k ρ_{0} c_{0} q_{0} G_{A} (r, r_{s}) d V + \\ \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} (A_{m n} e^{- j k_{m n} z} + B_{m n} e^{j k_{m n} z}) φ_{m n} \end{array}

(4)

其中，c₀为空气中的声速，ρ₀为空气密度，q₀为点声源的源强， $G_{A} (r, r_{s})$ 为矩形刚性波导管中的格林函数，表达式为^［18］：

\begin{array}{l} G_{A} (r, r_{s}) = \\ - \frac{j}{2 h w} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{φ_{m n} (x, y) φ_{m n} (x_{s}, y_{s})}{N_{m n}^{2} k_{m n}} e^{- j k_{m n} |z - z_{s}|} \end{array}

(5)

同样利用边界条件可解得声源在开口内部时的声场.

对于建筑开口，下游的透射声功率（例如图2中z=d平面的透射声功率）是评价控制效果的一个重要指标^［18］.开口透射侧端面的透射声功率为 $W_{o u t} = \int_{Σ_{o u t}} I_{o u t, z} (r) d Σ$ ，其中 $I_{o u t, z} (r) = \frac{1}{2} R e [p (r) u_{z}^{*} (r)]$ 为开口透射侧端面 Σ_out上任一点 r 处声强的z分量. $R e []$ 表示取实部，上标“*”表示取复共轭， $p (r)$ 为 r 处总声压， $u_{z} (r)$ 为 r 处质点振速的z分量.

图2

图2 次级源的两种布放方式及其对降噪量的影响

（a）位于四边中点；（b）位于四个顶点；（c）不同入射角度下两种布放方式的降噪量

Fig.2 Two layouts of secondary source and their influence on noise reduction

实施有源噪声控制时，单个初级源位于开口外，若干个次级源位于开口内，次级源源强向量为 $q = {[q_{1}, q_{2}, \dots, q_{N}]}^{T}$ ，常见的代价函数是各误差点声压平方和，其形式为：

\begin{array}{l} J_{1} = e^{H} e + β q^{H} q = \\ q_{}^{H} (Z^{H} Z + β I) q + q_{}^{H} Z^{H} d + d^{H} Z q + d^{H} d \end{array}

(6)

若以开口透射声功率为优化目标，则其形式为^［5］：

\begin{array}{l} J_{2} = W_{o u t} + β q_{}^{H} q = \\ q_{}^{H} (C + β I) q_{} + q_{}^{H} b + b^{H} q_{} + W_{1} \end{array}

(7)

其中， $e = {[e_{1}, e_{2}, \dots, e_{N}]}^{T}$ 为误差向量， Z 为次级源到误差传声器的次级通路传递函数矩阵，其矩阵元z_ij 表示第i个次级源到第j个误差传声器的次级路径的传递函数，上标“H”表示取共轭转置， $d = {[d_{1}, d_{2}, \dots, d_{N}]}^{T}$ 为初级声压向量，W₁为初级源在开口透射侧端面的透射声功率， C， b 为与次级路径传递函数相关的矩阵和向量^［5］，β为约束次级源源强的正则化因子.当J₁和J₂对 q 的偏导数为0时，可分别得到两种代价函数下的最优次级源源强向量：

q_{1}^{o p t} = a r g \underset{q}{m i n} (J_{1}) = - {(Z^{H} Z + β I)}^{- 1} Z^{H} d

(8)

q_{2}^{o p t} = a r g \underset{q}{m i n} (J_{2}) = - {(C + β I)}^{- 1} b

(9)

定义降噪量为有源噪声控制前后开口透射侧端面的透射声功率级之差：

N R = Δ S W L = - 10 l g \frac{W_{o u t}}{W_{1}}

(10)

1.2　独立式控制收敛性与改善方案

如前所述，独立式控制虽能降低对存储和计算的要求，但存在无法收敛的风险，这可从其迭代过程看出.耦合式控制和独立式控制的迭代公式分别为：

\begin{array}{l} q_{C} (k + 1) - q_{C \infty} = \\ [I - α_{C} (Z^{H} Z + β_{C} I)] (q_{C} (k) - q_{C \infty}) \end{array}

(11a)

\begin{array}{l} q (k + 1) - q_{\infty} = \\ [I - α (Z_{d}^{H} Z + β I)] (q (k) - q_{\infty}) \end{array}

(11b)

其中下标C代表耦合式控制， $Z_{d}^{H}$ 为对角阵 Z_d = diag（z₁₁，z₂₂，…，z_NN ）的共轭转置， I 为与 Z 同阶的单位矩阵，k为迭代指标，α和α_C为迭代所用步长，是大于0的实常数.对于式（11a），无论β_C取何值，只要步长α_C适当，迭代总能收敛，对于式（11b）， Z^HZ +β_CI 的特征值实部最小值需大于0才能保证迭代收敛^［11］.

骆耀东等^［19］在一维有源声屏障的研究中，为了改善独立控制系统的收敛性，提出将矩阵 $Z_{d}^{H}$ 乘一旋转因子e^j^θ 得到一新矩阵 $C (θ)$ ，其中θ称为相位修正因子.在β=0时，从 $Z_{d}^{H} Z$ 的任意一个特征值出发逆时针遍历其余所有特征值并停止在最后一个特征值，此时的旋转角度记为ΔΦ，所有ΔΦ中最小值定义为最小旋转相位差ΔΦ_min，取值范围为 $[0,360 °]$ ，取得ΔΦ_min时的第一个和最后一个特征值分别为首位特征值Λ1和末位特征值Λ2.定义首位特征值Λ1的相位为特征值相位偏置Φ₀，则θ为：

θ = - (Φ_{0} + \frac{Δ Φ_{m i n}}{2})

(12)

θ的取值范围为 $[- 180 °, 180 °]$ .θ>0表示逆时针旋转，反之则表示顺时针旋转.当ΔΦ_min<180°时，将 $Z_{d}^{H} Z$ 的特征值按式（12）旋转后，所有特征值实部均大于0，无论β取何值，系统都能够收敛至最优解.本文将这一思路推广到二维的开口有源噪声控制情形.

2 仿真

2.1　次级源与误差传声器位置优化

研究使用四通道ANC系统对0.5 m×0.5 m×0.39 m的矩形开口（截止频率为340 Hz）的降噪性能，Lam et al^［10］已指出，当次级源深度为开口深度一半时，降噪性能最好，此时四个次级源可采用如图2a和图2b所示的两种布放方式，分别是布放于开口四边中点和布放于开口四个顶点.

图2c给出了初级源在远场（距坐标原点10 m）以不同角度入射时两种布放方式的降噪量对比，可见在400 Hz以下顶点布放的降噪量要高于中点布放，但二者差异不明显，在400 Hz以上中点布放的降噪量则要显著高于顶点布放，因此后续仿真与实验次级源均采用中点布放，深度取为d/2.

误差传声器同样也可采用如图2所示的两种布放方式，此外误差传声器深度也会影响降噪量.图3a给出了初级源以30°入射时误差传声器在不同深度和布放方式下系统的降噪量，可见各深度下中点布放的降噪量都要高于顶点布放，且降噪量随误差传声器深度的增加而增加，图3b为初级源分别以60°和90°入射，误差传声器采用中点布放时系统的降噪量，同样随着误差传声器深度的增加而增加，因此后续仿真与实验误差传声器均采用中点布放，深度取为7d/8.图3中高频时出现了降噪量为负的情况，主要是由于仿真时以误差点声压平方和为代价函数，而计算降噪量时比较的是控制前后的透射声功率，四个误差点处的声压平方和最小并不能保证降噪后透射声功率一定下降.

图3

图3 误差传声器位置对降噪量的影响

(a)误差传声器深度和布放方式对降噪量的影响；

(b)不同入射角下误差传声器采用中点布放时系统的降噪量

Fig.3 Influence of the location of error microphones on noise reduction

2.2　独立式控制系统的收敛性及其改进

图4为开口中的四通道独立式系统的示意图，四个次级源S1至S4位于z=0.195平面上的四边中点，四个误差传声器e1至e4位于z=0.34平面上的四边中点.图5a给出了β=0时各频率处矩阵 $Z_{d}^{H} Z + β I$ 的特征值实部最小值及其符号，可发现在300 Hz以上绝大多数频率处矩阵 $Z_{d}^{H} Z + β I$ 的特征值实部最小值均为负数，意味着系统无法收敛.图5b给出了200 Hz和475 Hz的初级源在远场以30°入射时误差传声器1处的声压级收敛曲线，由图可见，即使步长μ取很小的值（μ=1×10^-9），475 Hz初级噪声在多次迭代后也不能收敛，说明独立式系统确如理论所预测存在收敛性问题.

图4

图4 开口中的四通道独立式系统

Fig.4 A four channel independent system in opening

图5

图5 独立式系统的收敛特性

(a) β=0，l=0.145 m时矩阵 $Z_{d}^{H} + β I$ 的特征值实部最小值及符号；(b)不同步长下200 Hz和475 Hz初级噪声的声压级收敛曲线

Fig.5 Convergence performance of independent system

图6a为475 Hz处矩阵 $Z_{d}^{H} Z$ 的特征值，形状相同的点在旋转前后是一一对应关系.由于次级源和误差传声器布放的高度对称性，四个特征值中有两个是一样的，因此图中有两个点是重合的.修正后所有特征值的实部都大于0，系统可以收敛.图6b为475 Hz初级噪声在修正前后的收敛曲线，可见修正后系统在475 Hz能够收敛.

图6

图6 修正前后独立式系统在475 Hz的收敛特性

(a) 475 Hz处矩阵 $Z_{d}^{H} Z$ 的特征值在相位修正前后的分布；

(b) 475 Hz初级噪声在修正前后的收敛曲线

Fig.6 Convergence performance of independent system at 475 Hz before and after correction

3 实验

实验场所为南京大学消声室，实验对象为0.5 m×0.5 m×0.39 m的矩形开口.为逼近解析模型中开口两侧的半无限大自由空间，将开口置于消声箱上，并在两个端面设置1.1 m×1.1 m的障板.消声箱尺寸为1.2 m×1.1 m×1.1 m（长×宽×高），如图7a所示.四个次级源安装在开口四面的中心，深度为0.195 m.四个传声器分别安装在四个次级源正下方，如图7b所示.控制器为Antysound的Tiger ANC WIFI系列，可支持六通道输入和四通道输出，算法为标准的FxLMS算法，参考信号为PULSE输出给初级源的电信号，控制信号经一体机反馈给次级源.次级源为定制的闭箱扬声器，采用的单元是惠威S5N，谐振频率49 Hz，箱体尺寸为21 cm×19 cm×12 cm（长×宽×高）.

图7

图7 实验装置

（a）实验装置侧视图；（b）实验装置俯视图

Fig.7 Experiment setup

骆耀东等^［19］的改善方案针对单频噪声在频域进行特征值修正，针对宽带噪声进行控制时，可将矩阵 C （θ）在各频率处的元素组成序列，并实施逆Fourier变换，代替FxLMS算法中次级路径建模的结果实施有源噪声控制.

为了便于比较系统的降噪效果，选取透射侧评价点（0，0，0.5） m处的声压级作为评价标准.图8给出了初级源以30°入射的条件下，误差传声器位于不同深度时仿真得到的降噪前后评价点的声压级和透射声功率级.由图可见，随着误差传声器深度的增加，降噪后透射声功率和评价点声压级都降低.误差点平面分别位于z为0.265，0.33和0.385 m时，评价点声压级的有效控制频率上限依次为283，424和549 Hz；声功率有效控制频率上限分别为283，461和560 Hz，差异不大.

图8

图8 耦合式控制下降噪前后评价点声压级与透射声功率级

（a）降噪前后评价点声压级；（b）降噪前后透射声功率级

Fig.8 Sound pressure level of evaluate point and transmitted sound power before and after control under coupled scheme

图9为实验测得的误差传声器在不同深度时评价点在降噪前后的声压级.由图可见，系统的降噪效果随误差传声器深度的增加而提高，50 Hz以下声压级降噪差异不明显的原因是扬声器低频辐射性能有限.

图9

图9 实验测得的耦合式控制下降噪前后评价点声压级

Fig.9 Measured sound pressure level of evaluate point before and after control under coupled scheme

图10为采用修正后的独立式控制策略时，对单频和宽带初级噪声，评价点在降噪前后的声压级.由图可见，无论初级噪声是单频还是宽带的，修正后的独立式控制在评价点的声压级都与耦合式控制接近，高频时差异稍大，最大的差值在5 dB左右，可能是由于高频时步长上界很小，系统难以收敛至最优解.

图10

图10 实验测得的降噪前后评价点在修正后独立式与耦合式控制下的声压级

（a）初级噪声为单频；（b）初级噪声为宽带

Fig.10 Measured sound pressure level of evaluate point before and after control under corrected independent scheme and coupled scheme

4 结论

本文研究了独立式开口边框有源降噪系统的降噪性能和收敛性能.首先建立开口声场的解析模型，然后以四通道边框式有源控制系统为例，优化次级源与误差传声器的布放，并对次级路径传递函数特征值进行修正，改善实施独立式控制时的收敛性.对于本文提出的0.5 m×0.5 m×0.39 m开口，仿真与实验均表明：

（1）次级源和误差传声器均采用中点布放，次级源位于开口深度方向中央，误差传声器离次级源尽可能远，降噪效果最好.

（2）采用特征值的修正方法可将独立式控制系统的收敛频率上限由300 Hz提高至550 Hz左右.

需要指出，本文的仿真和实验都是针对0.5 m×0.5 m的开口进行的，对其他不同尺寸开口的仿真显示，系统的收敛频率上限随着开口尺寸的减小而增大.

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