用证据理论刻画协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.008

用证据理论刻画协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择

于子淳¹, 吴伟志^,¹^,²

1.浙江海洋大学信息工程学院, 舟山, 316022

2.浙江省海洋大数据挖掘与应用重点实验室(浙江海洋大学), 舟山, 316022

Using evidence theory to characterize optimal scale selections in consistent information systems with multi⁃scale decisions

Yu Zichun¹, Wu Weizhi^,¹^,²

1.School of Information Engineering，Zhejiang Ocean University，Zhoushan，316022，China

2.Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining and Application of Zhejiang Province，Zhejiang Ocean University，Zhoushan，316022，China

通讯作者: E⁃mail：wuwz@zjou.edu.cn

收稿日期: 2021-07-12

基金资助:

国家自然科学基金. 61976194. 41631179. 62076221

Received: 2021-07-12

摘要

作为人工智能领域的一个重要方向，粒计算在数据挖掘和知识发现方面的研究呈现较大优势.针对具有多尺度决策的信息系统的知识获取问题，提出用证据理论研究具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择问题.首先介绍具有多尺度决策的信息系统及其尺度选择的概念，阐明尺度选择的全体构成一个格结构；其次，给出具有多尺度决策的信息系统在不同尺度选择下信息粒的表示及其相互关系；最后，定义协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择概念，并用证据理论中的信任函数和似然函数刻画最优尺度选择的特征.

关键词： 粒计算 ; 具有多尺度决策的信息系统 ; 粗糙集 ; 证据理论

Abstract

As an important direction in research fields of artificial intelligence，granular computing has great advantages in data mining and knowledge discovery. To solve the problem of knowledge acquisition in information systems with multi⁃scale decisions，the optimal scale selection problem of information systems with multi⁃scale decisions is discussed from the perspective of Dempster⁃Shafer theory of evidence. The concepts of information systems with multi⁃scale decisions and their scale selections are first introduced. It is shown that the set of all scale selections constitutes a lattice structure. Information granules under different scale selections in information systems with multi⁃scale decisions are then described and their relationships are presented. Finally，the notion of optimal scale selections in consistent information systems with multi⁃scale decisions is defined. It is proved that belief and plausibility functions in the Dempster⁃Shafer theory of evidence can be used to characterize optimal scale selections in consistent information systems with multi⁃scale decisions.

Keywords： granular computing ; information systems with multi⁃scale decisions ; rough sets ; theory of evidence

PDF (482KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

于子淳, 吴伟志. 用证据理论刻画协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择. 南京大学学报（自然科学）[J], 2022, 58(1): 71-81 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.008

Yu Zichun, Wu Weizhi. Using evidence theory to characterize optimal scale selections in consistent information systems with multi⁃scale decisions. Journal of nanjing University[J], 2022, 58(1): 71-81 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.008

粒计算是数据挖掘和知识表示的重要研究领域之一，它模拟人的思维，在不同的粒度层次上观察、分析和解决同一个问题.1979年Zadeh^［1］首次提出信息粒化（Information Granulation）的概念，认为人类认知能力可以概括为粒化、组织和因果三个主要特征.1985年Hobbs^［2］提出粒度（Granularity）的概念，描述了粒计算原型的一些基本特征.粒计算这个概念最早于1997年由Lin^［3］提出，之后Lin^［4］和Yao^［5］阐述了粒计算研究的一些基本问题.

迄今为止，已经有许多涉及具体应用背景的粒计算模型和方法被提出，而在众多粒计算模型中，粗糙集对粒计算研究的推动和发展发挥了重要的作用^［6-17］.粗糙集数据分析中的数据描述结构称为信息系统（Information System）^［18］，又称为信息表或对象⁃属性值表.原始的Pawlak粗糙集理论利用样本集上的等价类来描述“粒”，用等价关系诱导的划分来粒化数据的样本空间.在传统的粗糙集数据分析中，信息系统或决策表中的每一个对象只能取唯一的属性值，这样的信息系统描述的是固定尺度下的对象信息，称为单尺度信息系统.但事实上，单一尺度框架下的知识表示以及数据处理方法远远不能满足实际应用的需求，所以“多粒度”成为粒计算研究的重要方向.在粗糙集数据分析方面，Qian et al^［19］首次提出多粒度粗糙集模型，其主要思想是通过属性的选择进行交运算或并运算来对数据进行处理.以此为基础，许多针对不同数据背景的多粒度粗糙集模型被相继提出^［20-21］.2011年，Wu and Leung^［22］首次提出基于多粒度划分的粗糙集数据分析模型，在这种多粒度数据模型下，同一批数据可以被标记为不同的粒度层次，对应的数据描述结构称为多尺度信息系统或多粒度标记信息系统，人们可以根据需求在不同的粒度标记上处理和分析数据.吴伟志等^［23-27］还进一步研究了多粒度框架下的其他数据类型的信息粒表示和最优粒度的选择问题.She et al^［28］提出多尺度决策系统的局部最优粒度选择和规则提取方法.Gu and Wu^［29-30］给出了协调的和不协调的多尺度决策系统中知识获取的算法.Wu et al^［31］又进一步提出不完备多尺度决策系统的知识获取方法.Li and Hu^［32］提出一种推广的多尺度数据分析模型，研究不同属性具有不同粒度标记的多尺度决策系统的最优尺度选择问题，给出两种最优尺度选择方法.最近，Wu and Leung^［33］给出了广义多尺度决策系统中各种最优尺度组合选择的比较研究.郑嘉文等^［34］用熵刻画多尺度决策系统的最优尺度选择.Li et al^［35］提出用矩阵来表示广义多尺度决策系统的最优尺度.然而，以上多尺度信息系统都基于一个共同的假设，即系统中的决策属性只有一个尺度，而实际生活中，人们可能面对决策属性具有多个尺度的数据处理问题.针对这种情形，Huang et al^［36］首次研究了协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择问题，并给出两种最优尺度选择算法.

证据理论^［37］是另一种处理不确定性问题的重要方法，该理论的最基本结构是由mass函数生成的信任结构，由信任结构可以导出一对对偶的数值型测度——信任函数和似然函数.已经证实，证据理论与粗糙集理论之间有密切的关系，Yao and Lingras^［38］对有限论域中由非等价关系产生的粗糙集近似与证据理论中的信任函数之间的关系做了系统的讨论，证明有限论域中的任何一个信任函数一定存在一个粗糙近似空间，使得由该近似空间导出的信任函数恰好就是给定的信任函数.Wu et al^［39］给出了有限论域中模糊环境下粗糙集理论与证据理论之间的关系.吴伟志等^［40-41］进一步给出了无限论域中基于模糊蕴含算子的信任结构及其导出的信任函数与似然函数的定义，并得到信任函数与似然函数的一些重要性质，阐明了证据理论中各种信任结构及其导出的信任函数与似然函数一定可以表示为某个粗糙近似空间中的下概率函数与上概率函数.因此，粗糙集理论中集合的下近似与上近似可以看成是对该集合表示的概念在近似空间中的定性描述，而证据理论中集合的信任度与似然度可以看成是对该集合表示的概念在信任结构中的定量描述.因此，证据理论可以用来分析信息系统中的知识获取问题.例如，吴伟志等^［42］用证据理论刻画了不协调广义多尺度决策系统中的最优尺度组合的特征.吴伟志等^［43］还用证据理论刻画了广义不完备多粒度标记决策系统中的最优粒度选择特征.

本文结合文献［36，42-43］的思路，研究用证据理论中的信任函数与似然函数刻画协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择特征.

1 基础知识

设 $U$ 是非空论域， $U$ 的子集全体记为 $P (U)$ .对于 $A \in P (U)$ ， $A$ 在 $U$ 中的补集记为 $~ A$ ，即 $~ A = \{x \in U| x \notin A\}$ .本节简单介绍后面用到的一些基本概念与知识.

1.1　信息系统

一个信息系统为一个二元组 $(U, A)$ ，其中， $U = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 为一个非空有限对象集，称为论域； $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}\}$ 为一个非空有限属性集，使得 $\forall a \in A$ ，满足 $a : U \to V_{a}$ ，即 $a (x) \in V_{a}, x \in U$ ，其中 $V_{a} = \{a (x)| x \in U\}$ 称为 $a$ 的值域.

对任意非空子集 $B \subseteq A$ ，记：

R_{B} = \{(x, y) \in U \times U| a (x) = a (y), \forall a \in B\}

$R_{B}$ 称为由属性集 $B$ 导出的不可分辨关系，它将 $U$ 粒化为不可区分集合 $U / R_{B} = \{{[x]}_{B}| x \in U\}$ ，其中 ${[x]}_{B}$ 是对象 $x$ 关于属性集 $B$ 的等价类，即 ${[x]}_{B} = \{y \in U |(x, y) \in R_{B}\}$ .

从粒计算的角度来看，等价类 ${[x]}_{B}$ 是由属性集 $B$ 确定的不可分辨元素组成的粒，属性集 $B$ 将 $U$ 粒化为不相交的粒族 $U / R_{B}$ ，它们是近似 $U$ 的任意子集的基本元素.

集合 $X \subseteq U$ 关于属性集 $B \subseteq A$ 的上近似与下近似分别定义如下：

\begin{array}{l} \bar{R_{B}} (X) = \{x \in U |{[x]}_{B} ⋂ X \neq \emptyset\} = \\ ⋃ \{{[x]}_{B}| {[x]}_{B} ⋂ X \neq \emptyset\} \end{array}

（1）

\underset{̲}{R_{B}} (X) = \{x \in U |{[x]}_{B} \subseteq X\} = ⋃ \{{[x]}_{B}| {[x]}_{B} \subseteq X\}

（2）

决策系统，也称为决策信息系统，是一个二元组 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ ，其中， $(U, C)$ 是一个信息系统， $C$ 称为条件属性集， $d \notin C$ 是一个特殊的属性，称为决策属性，它可以看作是映射 $d : U \to V_{d}$ .不失一般性，假设 $V_{d} = \{1,2, \dots, r\}$ .由决策属性 $d$ 确定 $U$ 上的等价关系：

R_{d} = \{(x, y) \in U \times U| d (x) = d (y)\}

（3）

它将 $U$ 划分成不相交的决策类：

U / R_{d} = \{D_{1}, D_{2}, \dots, D_{r}\}

（4）

其中 $D_{j} = \{x \in U |d (x) = j\}$ ， $j \in V_{d} = \{1,2, \dots, r\}$ .

如果 $R_{C} \subseteq R_{d}$ ，那么称决策系统 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ 是协调的，否则称 $S$ 是不协调的.

1.2　信任函数与似然函数

定义1^［37］

令 $U$ 是一个非空有限论域，一个集函数 $m : P (U) \to [0,1]$ 称为 $U$ 上的mass函数（基本概率指派），若它满足以下性质：

（1） $m (\emptyset) = 0$ ；

（2） $\sum_{A \subseteq U} m (A) = 1$ .

若 $m (A) > 0$ ，则称 $A \in P (U)$ 是 $m$ 的焦元，记 $ℳ$ 为 $m$ 的所有焦元所构成的集合，则序对 $(ℳ, m)$ 称为 $U$ 上的一个信任结构.

定义2^［37］

设 $(ℳ, m)$ 是 $U$ 上的一个信任结构，集函数 $B e l : P (U) \to [0,1]$ 称为 $U$ 上的一个信任函数，若

B e l (X) = \sum_{A \subseteq X} m (A), \forall X \in P (U)

（5）

集函数 $P l : P (U) \to [0,1]$ 称为 $U$ 上的一个似然函数，若

P l (X) = \sum_{A ⋂ X \neq \emptyset} m (A), \forall X \in P (U)

（6）

由同一信任结构导出的信任函数与似然函数是对偶的，即：

\forall X \in P (U), P l (X) = 1 - B e l (~ X)

（7）

且

B e l (X) \leq P l (X)

（8）

信任结构中的mass函数可以利用Möbius变换用信任函数来表示，即：

\forall X \in P (U), m (X) = \sum_{Y \subseteq X} {(- 1)}^{|X \ Y|} B e l (Y)

（9）

其中， $|X|$ 表示集合 $X$ 的基数.

信任函数和似然函数还可以等价地用公理定义，即集函数 $B e l : P (U) \to [0,1]$ 是 $U$ 上的一个信任函数当且仅当它满足以下性质：

（1） $B e l (\emptyset) = 0$ ；

（2） $B e l (U) = 1$ ；

（3）对于任意 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{l} \subseteq U$ ，有：

B e l (\cup_{i = 1}^{l} X_{i}) \geq \sum_{\emptyset \neq J \subseteq \{1,2, \dots, l\}} {(- 1)}^{|J| + 1} B e l (\underset{i \in J}{\cap} X_{i})

（10）

同样地， $P l : P (U) \to [0,1]$ 是 $U$ 上的一个似然函数当且仅当它满足以下性质：

（1） $P l (\emptyset) = 0$ ；

（2） $P l (U) = 1$ ；

（3）对于任意 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{l} \subseteq U$ ，有：

P l (\cap_{i = 1}^{l} X_{i}) \leq \sum_{\emptyset \neq J \subseteq \{1,2, \dots, l\}} {(- 1)}^{|J| + 1} P l (\cup_{i \in J}^{} X_{i})

（11）

定理1^［44］

设 $(U, A)$ 是一个信息系统， $B \subseteq A$ ，对于 $X \subseteq U$ ，记：

B e l_{B} (X) = P (\underset{̲}{R_{B}} (X)) = \frac{|\underset{̲}{R_{B}} (X)|}{|U|}

（12）

P l_{B} (X) = P (\bar{R_{B}} (X)) = \frac{|\bar{R_{B}} (X)|}{|U|}

（13）

则 $B e l_{B}$ 和 $P l_{B}$ 是 $U$ 上的一对对偶的信任函数和似然函数，其对应的mass函数为：

m_{B} (X) = \{\begin{matrix} P (X) = \frac{|X|}{|U|}, X \in U / R_{B} \\ 0, X \notin U / R_{B} \end{matrix}

（14）

2 具有多尺度决策的信息系统

定义3^［36］

一个具有多尺度决策的信息系统是一个二元组 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ ，其中 $(U, C) = (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\})$ 是一个多尺度信息系统， $d (d \notin C)$ 是决策属性，具有 $N$ 个尺度.这样一个具有多尺度决策的信息系统可以表示成一个表：

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

(15)

其中， $a_{j}^{k} : U \to V_{j}^{k}$ 是一个满射， $V_{j}^{k}$ 是属性 $a_{j}$ 在第 $k$ 个尺度下的值域，对于 $j = 1,2, \dots, m$ ， $1 \leq k \leq I_{j} - 1$ ，存在一个满射 $g_{j}^{k, k + 1} : V_{j}^{k} \to V_{j}^{k + 1}$ 使得 $a_{j}^{k + 1} = g_{j}^{k, k + 1} \circ a_{j}^{k}$ ，即：

a_{j}^{k + 1} (x) = g_{j}^{k, k + 1} (a_{j}^{k} (x)), x \in U

(16)

称 $g_{j}^{k, k + 1}$ 是条件属性的信息尺度变换. $d^{t} : U \to V_{d}^{t}$ 是一个满射， $V_{d}^{t}$ 是决策属性 $d$ 在第 $t$ 个尺度下的值域.对于 $1 \leq t \leq N - 1$ ，存在一个满射 $h^{t, t + 1} : V_{d}^{t} \to V_{d}^{t + 1}$ 使得 $d^{t + 1} = h^{t, t + 1} \circ d^{t}$ ，即：

d^{t + 1} (x) = h^{t, t + 1} (d^{t} (x)), x \in U

(17)

称 $h^{t, t + 1}$ 是决策属性的信息尺度变换.

定义4 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个具有多尺度决策的信息系统，若属性 $a_{j}$ 取第 $l_{j}$ 个尺度 $(1 \leq l_{j} \leq I_{j})$ ，并记 $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m})$ ，则称 $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m})$ 是条件属性集的一个尺度组合.若决策属性 $d$ 取第 $t$ 个尺度 $(1 \leq t \leq N)$ ，则称 $Q = (K, t) = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}, t)$ 是系统 $S$ 的一个尺度选择.记 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ 的条件属性集的尺度组合全体为 $ℒ$ ，记 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ 的尺度选择全体为 $𝒬$ ，则系统 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ 的每一个尺度选择 $Q = (K, t) = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}, t) \in 𝒬$ 对应一个单尺度决策表 $S^{K, t} = (U, C^{K} \cup {d^{t}})$ ，其中 $C^{K} = \{a_{1}^{l_{1}}, a_{2}^{l_{2}}, \dots, a_{m}^{l_{m}}\}$ .

定义5

设 $K_{1} = (l_{1}^{1}, l_{2}^{1}, \dots, l_{m}^{1})$ ， $K_{2} = (l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{2}) \in ℒ$ ，若对任意 $j \in \{1,2, \dots, m\}$ 有 $l_{j}^{1} \leq l_{j}^{2}$ ，则称尺度组合 $K_{1}$ 细于 $K_{2}$ ，或称 $K_{2}$ 粗于 $K_{1}$ ，记作 $K_{1} ≼ K_{2}$ .如果 $K_{1} ≼ K_{2}$ ，且存在 $j \in \{1,2, \dots, m\}$ 使得 $l_{j}^{1} < l_{j}^{2}$ ，那么称尺度组合 $K_{1}$ 严格细于 $K_{2}$ ，或称 $K_{2}$ 严格粗于 $K_{1}$ ，记作 $K_{1} ≺ K_{2}$ .

可以验证， $(ℒ, ≼)$ 是一个偏序集，即 $≼$ 是 $ℒ$ 上的一个偏序关系.

定义6

设 $Q_{1} = (l_{1}^{1}, l_{2}^{1}, \dots, l_{m}^{1}, t^{1})$ ， $Q_{2} = (l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{2}, t^{2}) \in 𝒬$ ，若对任意 $j \in \{1,2, \dots, m\}$ 有 $l_{j}^{1} \leq l_{j}^{2}$ 且 $t^{1} \geq t^{2}$ ，则称尺度选择 $Q_{1}$ 细于 $Q_{2}$ ，或称 $Q_{2}$ 粗于 $Q_{1}$ ，记作 $Q_{1} ≼ Q_{2}$ .如果 $Q_{1} ≼ Q_{2}$ ，且存在 $j \in \{1,2, \dots, m\}$ 使得 $l_{j}^{1} < l_{j}^{2}$ 或 $t^{1} > t^{2}$ ，那么称尺度选择 $Q_{1}$ 严格细于 $Q_{2}$ ，或称 $Q_{2}$ 严格粗于 $Q_{1}$ ，记作 $Q_{1} ≺ Q_{2}$ .

可以验证 $(𝒬, ≼)$ 也是一个偏序集，即 $≼$ 是 $𝒬$ 上的一个偏序关系，进一步可以验证以下命题成立.

命题1 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个具有多尺度决策的信息系统， $𝒬$ 是 $S$ 的尺度选择全体.对于 $Q_{1} = (l_{1}^{1}, l_{2}^{1}, \dots, l_{m}^{1}, t^{1})$ ， $Q_{2} = (l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{2}, t^{2}) \in 𝒬$ ，定义：

Q_{1} \land Q_{2} = (l_{1}^{1} \land l_{1}^{2}, l_{2}^{1} \land l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{1} \land l_{m}^{2}, t^{1} \lor t^{2})

(18)

Q_{1} \lor Q_{2} = (l_{1}^{1} \lor l_{1}^{2}, l_{2}^{1} \lor l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{1} \lor l_{m}^{2}, t^{1} \land t^{2})

(19)

其中， $l_{j}^{1} \land l_{j}^{2} = m i n \{l_{j}^{1}, l_{j}^{2}\}$ ， $l_{j}^{1} \lor l_{j}^{2} = m a x \{l_{j}^{1}, l_{j}^{2}\}$ ， $j \in \{1,2, \dots, m\}$ ，且 $t^{1} \land t^{2} = m i n \{t^{1}, t^{2}\}$ ， $t^{1} \lor t^{2} = m a x \{t^{1}, t^{2}\}$ ，则：

Q_{1} ≼ Q_{2} \Leftrightarrow Q_{1} \land Q_{2} = Q_{1} \Leftrightarrow Q_{1} \lor Q_{2} = Q_{2}

(20)

且 $(𝒬, ≼, \land, \lor)$ 是一个有界格，其中 $(1,1, \dots, 1, N)$

是最小元， $(I_{1}, I_{2}, \dots, I_{m}, 1)$ 是最大元.

例1表1是一个具有多尺度决策的信息系统：

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{1}^{1}, a_{1}^{2}, a_{2}^{1}, a_{2}^{2}, a_{3}^{1}, a_{3}^{2}\} ⋃ \{d^{1}, d^{2}\}) \end{array}

其中， $U = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{12}\}$ 代表12名学生，条件属性集代表三门课程的成绩，每个属性有两个尺度，第一个尺度表示十分制下的成绩，第二个尺度表示五分制下的成绩.决策属性代表奖学金：第一个尺度表示奖学金的级别，其中“n”“u”“c”“o”分别表示“国家级”“校级”“院级”“没有奖学金”；第二个尺度表示是否有奖学金，“1”和“0”分别表示“有”和“无”.因此系统 $S$ 有16个尺度选择，这些尺度选择形成的格结构如图1所示.

表1 一个具有多尺度决策的信息系统

Table 1 An information system with multi⁃scale decisions

$U$	$a_{1}^{1}$	$a_{1}^{2}$	$a_{2}^{1}$	$a_{2}^{2}$	$a_{3}^{1}$	$a_{3}^{2}$	$d^{1}$	$d^{2}$
$x_{1}$	9	E	9	E	8	G	n	1
$x_{2}$	9	E	9	E	7	G	n	1
$x_{3}$	7	G	8	G	7	G	c	1
$x_{4}$	8	G	6	M	8	G	u	1
$x_{5}$	8	G	6	M	5	B	u	1
$x_{6}$	6	M	6	M	2	U	o	0
$x_{7}$	6	M	5	B	5	B	c	1
$x_{8}$	6	M	2	U	4	B	o	0
$x_{9}$	9	E	6	M	5	B	u	1
$x_{10}$	9	E	6	M	4	B	c	1
$x_{11}$	8	G	6	M	8	G	u	1
$x_{12}$	6	M	5	B	5	B	c	1

新窗口打开| 下载CSV

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1 尺度选择的格结构

Fig.1 The lattice structure of scale selections

定理2 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个具有多尺度决策的信息系统， $K_{1} = (l_{1}^{1}, l_{2}^{1}, \dots, l_{m}^{1})$ ， $K_{2} = (l_{1}^{2}, l_{2}^{2}, \dots, l_{m}^{2}) \in ℒ$ ， $t^{1}, t^{2} \in$

\{1,2, \dots, N\}

，则：

（1） $K_{1} ≼ K_{2} \Rightarrow R_{C^{K_{1}}} \subseteq R_{C^{K_{2}}}$ ；

（2） $K_{1} ≼ K_{2} \Rightarrow U / R_{C^{K_{1}}} ⊑ U / R_{C^{K_{2}}}$ ，其中 $U / R_{C^{K_{1}}} ⊑ U / R_{C^{K_{2}}}$

指 $\forall X \in U / R_{C^{K_{1}}}, \exists Y \in U / R_{C^{K_{2}}}$ 使得 $X \subseteq Y$ ；

（3） $K_{1} ≼ K_{2} \Rightarrow {[x]}_{C^{K_{1}}} \subseteq {[x]}_{C^{K_{2}}}, \forall x \in U$ ；

（4） $t^{1} < t^{2} \Rightarrow R_{d^{t^{1}}} \subseteq R_{d^{t^{2}}}$ ；

（5） $t^{1} < t^{2} \Rightarrow U / R_{d^{t^{1}}} ⊑ U / R_{d^{t^{2}}}$ ；

（6） $t^{1} < t^{2} \Rightarrow {[x]}_{d^{t^{1}}} \subseteq {[x]}_{d^{t^{2}}}, \forall x \in U$ .

证明直接验证即得.

定理3 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个具有多尺度决策的信息系统， $K \in ℒ$ ， $\forall X \subseteq U$ ，记：

B e l_{C^{K}} (X) = P (\underset{̲}{R_{C^{K}}} (X)) = \frac{|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (X)|}{|U|}

(21)

P l_{C^{K}} (X) = P (\bar{R_{C^{K}}} (X)) = \frac{|\bar{R_{C^{K}}} (X)|}{|U|}

(22)

则 $B e l_{C^{K}}$ 和 $P l_{C^{K}}$ 是 $U$ 上的一对对偶的信任函数和似然函数，其对应的mass函数为：

m_{C^{K}} (X) = \{\begin{matrix} P (X) = \frac{|X|}{|U|}, X \in U / R_{C^{K}} \\ 0, X \notin U / R_{C^{K}} \end{matrix}

(23)

并且信任函数和似然函数满足下列性质：

（1）对于 $K_{1}, K_{2} \in ℒ, 若 K_{1} ≼ K_{2} 则$ ：

$B e l_{C^{K_{2}}} (X) \leq B e l_{C^{K_{1}}} (X) \leq P (X)$ ；

（2） $对于 K_{1}, K_{2} \in ℒ, 若 K_{1} ≼ K_{2}, 则$ ：

$P (X) \leq P l_{C^{K_{1}}} (X) \leq P l_{C^{K_{2}}} (X)$ ；

（3）若 $B \subseteq C$ ，则：

B e l_{B^{K}} (X) \leq B e l_{C^{K}} (X) \leq P (X) \leq P l_{C^{K}} (X) \leq P l_{B^{K}} (X)

3 协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择

定义7 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个具有多尺度决策的信息系统， $K_{0} = (1,1, \dots, 1) \in ℒ$ 是条件属性集的最细尺度组合，如果 $R_{C^{K_{0}}} \subseteq R_{d^{N}}$ ，那么称系统 $S$ 是协调的，否则，称 $S$ 是不协调的.

定义8 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个协调的具有多尺度决策的信息系统， $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}) \in ℒ$ ， $t \in \{1,2, \dots, N\}$ ， $Q = (K, t) \in 𝒬$ .若 $S^{K, t} = (U, C^{K} ⋃ \{d^{t}\})$ 是协调的，但是对任意的 $H = (h_{1}, h_{2}, \dots, h_{m}) \in ℒ$ ， $t^{'} \in \{1,2, \dots, N\}$ ， $Q^{'} = (H, t^{'}) \in 𝒬$ ，满足 $Q ≺ Q^{'}$ ， $S^{H, t^{'}}$ 是不协调的，则称 $Q = (K, t)$ 是系统 $S$ 的一个最优尺度选择.

下面用证据理论中的信任函数和似然函数来刻画最优尺度选择的特征.

定理4 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个协调的具有多尺度决策的信息系统， $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}) \in ℒ$ ， $t \in \{1,2, \dots, N\}$ .若 $S^{K, t} = (U, C^{K} ⋃ \{d^{t}\})$ 是协调的，则：

（1） $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) = D, \forall D \in U / R_{d^{t}}$ ；

（2） $\bar{R_{C^{K}}} (D) = D, \forall D \in U / R_{d^{t}}$ .

证明

（1）对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ，由下近似的性质知 $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) \subseteq D$ .另一方面，对于任意 $x \in D$ ，显然 ${[x]}_{d^{t}} = D$ .由于 $S^{K, t}$ 是协调的，从而 ${[x]}_{C^{K}} \subseteq {[x]}_{d^{t}} =$

$D$ ，由下近似的定义知， $x \in \underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)$ ，于是 $D \subseteq \underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)$ ，因此， $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) = D$ .

（2）对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ，由上近似的性质知 $D \subseteq \bar{R_{C^{K}}} (D)$ .另一方面，对于任意 $x \in \bar{R_{C^{K}}} (D)$ ，由上近似的定义知 ${[x]}_{C^{K}} ⋂ D \neq \emptyset$ .任取 $y \in {[x]}_{C^{K}} ⋂ D$ ，显然 ${[y]}_{d^{t}} = D$ ，又由于 $R_{C^{K}}$ 是对称的，从而由 $y \in {[x]}_{C^{K}}$ 可得 $x \in {[y]}_{C^{K}}$ .由于 $S^{K, t}$ 是协调的，因此 ${[y]}_{C^{K}} \subseteq {[y]}_{d^{t}}$ ，从而 $x \in {[y]}_{C^{K}} \subseteq {[y]}_{d^{t}} = D$ ，于是 $\bar{R_{C^{K}}} (D) \subseteq D$ ，故 $\bar{R_{C^{K}}} (D) = D$ .

定理5 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个协调的具有多尺度决策的信息系统， $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}) \in ℒ$ ， $t \in \{1,2, \dots, N\}$ ，则以下等价：

（1） $S^{K, t}$ 是协调的；

（2） $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = 1$ ；

（3） $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = 1$ .

证明（1）⇒（2）

由于 $S^{K, t}$ 是协调的，由定理4知，对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ 有 $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) = D$ ，从而 $B e l_{C^{K}} (D) = \frac{|D|}{|U|}$ ，因此，

\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|D|}{|U|} = 1

(24)

（2）⇒（1）

对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ，由下近似的性质知， $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) \subseteq D$ ，从而：

B e l_{C^{K}} (D) = \frac{|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} \leq \frac{|D|}{|U|}

因此，

\begin{array}{l} 1 = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \\ \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} \leq \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|D|}{|U|} = 1 \end{array}

(25)

于是，对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ， $|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)| = |D|$ ，由下近似的性质知 $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) \subseteq D$ ，所以 $\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D) = D$ ，即对于任意 $x \in U$ 有 $\underset{̲}{R_{C^{K}}} ({[x]}_{d^{t}}) = {[x]}_{d^{t}}$ .于是对于任意 $y \in {[x]}_{d^{t}}$ ，由下近似的定义知：

{[y]}_{C^{K}} \subseteq {[x]}_{d^{t}}

(26)

又由于 $x \in {[x]}_{d^{t}}$ ，在式（26）中取 $y = x$ 即得 ${[x]}_{C^{K}} \subseteq {[x]}_{d^{t}}$ ，因此 $R_{C^{K}} \subseteq R_{d^{t}}$ ，即 $S^{K, t}$ 是协调的.

（1）⇒（3）

由于 $S^{K, t}$ 是协调的，由定理4知，对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ 有 $\bar{R_{C^{K}}} (D) = D$ ，从而：

P l_{C^{K}} (D) = \frac{|D|}{|U|}

因此，

\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|D|}{|U|} = 1

(27)

（3）⇒（1）

对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ，由上近似的性质知， $D \subseteq \bar{R_{C^{K}}} (D)$ ，从而：

P l_{C^{K}} (D) = \frac{|\bar{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} \geq \frac{|D|}{|U|}

因此，

\begin{array}{l} 1 = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = \\ \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\bar{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} \geq \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|D|}{|U|} = 1 \end{array}

(28)

于是，对于任意 $D \in U / R_{d^{t}}$ ， $|\bar{R_{C^{K}}} (D)| = |D|$ ，由上近似的性质知， $D \subseteq \bar{R_{C^{K}}} (D)$ ，所以 $\bar{R_{C^{K}}} (D) = D$ .对任意 $x \in U$ ，取 $D \in U / R_{d^{t}}$ 使得 $x \in D$ ，显然 ${[x]}_{d^{t}} = D$ .对于任意 $y \in {[x]}_{C^{K}}$ ，由于 $R_{C^{K}}$ 是对称的，因此 $x \in {[y]}_{C^{K}}$ ，从而 ${[y]}_{C^{K}} ⋂ {[x]}_{d^{t}} \neq \emptyset$ ，于是由上近似定义可得 $y \in \bar{R_{C^{K}}} ({[x]}_{d^{t}})$ ，又由 $\bar{R_{C^{K}}} (D) = D$ 知 $y \in {[x]}_{d^{t}}$ ，这样就可以证明对于任意 $x \in U$ 有 ${[x]}_{C^{K}} \subseteq {[x]}_{d^{t}}$ ，即 $R_{C^{K}} \subseteq R_{d^{t}}$ ，因此 $S^{K, t}$ 是协调的.

例2 在例1中设 $Q = (K, t) = (2,2, 1,1)$ ， $Q^{'} = (H, t) = (2,2, 2,1)$ ，经计算有：

\begin{array}{l} U / R_{d^{t}} = \\ \{\{x_{1}, x_{2}\}, \{x_{3}, x_{7}, x_{10}, x_{12}\}, \{x_{4}, x_{5}, x_{9}, x_{11}\}, \{x_{6}, x_{8}\}\} \end{array}

\begin{array}{l} U / R_{C^{K}} = \{\{x_{1}\}, \{x_{2}\}, \{x_{3}\}, \{x_{4}, x_{11}\}, \{x_{5}\}, \{x_{6}\}, \\ \{x_{7}, x_{12}\}, \{x_{8}\}, \{x_{9}\}, \{x_{10}\}\} \end{array}

\begin{array}{l} U / R_{C^{H}} = \{\{x_{1}, x_{2}\}, \{x_{3}\}, \{x_{4}, x_{11}\}, \{x_{5}\}, \{x_{6}\}, \\ \{x_{7}, x_{12}\}, \{x_{8}\}, \{x_{9}, x_{10}\}\} \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{2}{12} = 1 \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{6} \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\bar{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{2}{12} = 1 \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\bar{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5}{12} + \frac{2}{12} = \frac{7}{6} \end{array}

当 $Q = (K, t) = (2,2, 1,1) \in 𝒬$ 时 $R_{C^{K}} \subseteq R_{d^{t}}$ ，说明决策系统 $S^{K, t}$ 是协调的，同时 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = 1$ ，而对于 $Q^{'} = (H, t) = (2,2, 2,1) \in 𝒬$ ， $R_{C^{H}} ⊈ R_{d^{t}}$ ，说明决策系统 $S^{H, t}$ 是不协调的，同时 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{H}} (D) = \frac{5}{6} < 1$ ， $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{H}} (D) = \frac{7}{6} > 1$ .

定理6 设

\begin{array}{l} S = (U, C ⋃ \{d\}) = \\ (U, \{a_{j}^{k}| k = 1,2, \dots, I_{j}; j = 1,2, \dots, m\} ⋃ \\ \{d^{t}| t = 1,2, \dots, N\}) \end{array}

是一个协调的具有多尺度决策的信息系统， $K = (l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}) \in ℒ$ ， $t \in \{1,2, \dots, N\}$ ，，则以下等价：

（1） $Q = (K, t)$ 是系统 $S$ 的最优尺度选择；

（2） $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = 1$ ，且对任意的 $H = (h_{1}, h_{2}, \dots, h_{m}) \in ℒ$ ， $t^{'} \in \{1,2, \dots, N\}$ ， $Q^{'} = (H, t^{'}) \in 𝒬$ ，满足 $Q ≺ Q^{'}$ ，有 $\sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} B e l_{C^{H}} (D) < 1$ ；

（3） $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = 1$ ，且对任意的 $H = (h_{1}, h_{2}, \dots, h_{m}) \in ℒ$ ， $t^{'} \in \{1,2, \dots, N\}$ ， $Q^{'} = (H, t^{'}) \in 𝒬$ ，满足 $Q ≺ Q^{'}$ ，有 $\sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} P l_{C^{H}} (D) > 1$ .

证明

由定理5知， $S^{K, t}$ 是协调的当且仅当 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = 1$ ，从而由定理3知， $S^{H, t^{'}}$ 是不协调的当且仅当 $\sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} B e l_{C^{H}} (D) < 1$ .因此，结论（1）与结论（2）等价.同理可证结论（1）与结论（3）也是等价的.

以下给出利用证据理论获得协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择的一个算法.

算法基于证据理论的协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择算法

输入：协调的具有多尺度决策的信息系统 $S = (U, C ⋃ \{d\})$ .

输出：最优尺度选择.

Step1.令 $𝒬 = \{\emptyset\}$ ， $Q_{0} = (K, t) = (1,1, \dots, 1, N)$ ，计算 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D)$ ，若 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D)$ =1，则转至第2步；否则，转至第5步.

Step2.令 $𝒬 = \{Q\} = \{(K, t)\} = \{(l_{1}, l_{2}, \dots, l_{m}, t)| 1 \leq l_{j} \leq I_{j}, j = 1,2, \dots, m, t = 1,2, \dots, N\}$ .

Step3.对所有的 $Q = (K, t) \in 𝒬$ ，计算 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D)$ .若 $\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) \neq 1$ ，则将 $𝒬$ 中所有粗于 $Q$ 的尺度选择从 $𝒬$ 中去除.

Step4.对所有的 $Q = (K, t) \in 𝒬$ ，若存在 $Q^{'} \in 𝒬$ ，使得 $Q ≺ Q^{'}$ ，则将 $Q$ 从 $𝒬$ 中去除.

Step5.输出 $𝒬$ .

例3 在例1中，设 $K_{0} = (1,1, 1) \in ℒ$ 是条件属性的最细尺度组合，经计算有：

\begin{array}{l} U / R_{C^{K_{0}}} = \{\{x_{1}\}, \{x_{2}\}, \{x_{3}\}, \{x_{4}, x_{11}\}, \{x_{5}\}, \{x_{6}\}, \\ \{x_{7}, x_{12}\}, \{x_{8}\}, \{x_{9}\}, \{x_{10}\}\} \end{array}

关于最粗决策 $d^{2}$ 形成的划分为：

U / R_{d^{2}} = \{\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{7}, x_{9}, x_{10}, x_{11}, x_{12}\}, \{x_{6}, x_{8}\}\}

显然有 $R_{C^{K_{0}}} \subseteq R_{d^{2}}$ ，所以系统 $S$ 是协调的.

再设 $Q = (K, t) = (2,2, 1,1)$ ， $Q^{'} = (H, t) = (2,2, 2,1)$ ， $Q^{″} = (H, t^{'}) = (2,2, 2,2)$ ，经计算有：

\begin{array}{l} U / R_{d^{t}} = \{\{x_{1}, x_{2}\}, \{x_{3}, x_{7}, x_{10}, x_{12}\}, \{x_{4}, x_{5}, x_{9}, x_{11}\}, \\ \{x_{6}, x_{8}\}\} \end{array}

U / R_{d^{t^{'}}} = \{\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{7}, x_{9}, x_{10}, x_{11}, x_{12}\}, \{x_{6}, x_{8}\}\}

\begin{array}{l} U / R_{C^{K}} = \{\{x_{1}\}, \{x_{2}\}, \{x_{3}\}, \{x_{4}, x_{11}\}, \{x_{5}\}, \{x_{6}\}, \\ \{x_{7}, x_{12}\}, \{x_{8}\}, \{x_{9}\}, \{x_{10}\}\} \end{array}

\begin{array}{l} U / R_{C^{H}} = \{\{x_{1}, x_{2}\}, \{x_{3}\}, \{x_{4}, x_{11}\}, \{x_{5}\}, \{x_{6}\}, \{x_{7}, x_{12}\}, \\ \{x_{8}\}, \{x_{9}, x_{10}\}\} \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{2}{12} = 1 \end{array}

\sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} B e l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \frac{10}{12} + \frac{2}{12} = 1

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\underset{̲}{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{3}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{6} \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\bar{R_{C^{K}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{2}{12} = 1 \end{array}

\sum_{D \in U / R_{d^{^{t^{'}}}}} P l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t^{'}}}} \frac{|\bar{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \frac{10}{12} + \frac{2}{12} = 1

\begin{array}{l} \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{H}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} \frac{|\bar{R_{C^{H}}} (D)|}{|U|} = \\ \frac{2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5}{12} + \frac{2}{12} = \frac{7}{6} \end{array}

对于 $Q = (K, t) = (2,2, 1,1) \in 𝒬$ ，易见：

\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{K}} (D) = \sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{K}} (D) = 1

而对于 $Q^{'} = (H, t) = (2,2, 2,1) \in 𝒬$ ，有：

\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} B e l_{C^{H}} (D) = \frac{5}{6} < 1

\sum_{D \in U / R_{d^{t}}} P l_{C^{H}} (D) = \frac{7}{6} > 1

因为 $Q^{'}$ 是 $𝒬$ 中唯一严格粗于 $Q$ 的尺度选择，从而由定理6可知 $Q$ 是 $S$ 的最优尺度选择.同时 $Q^{'}$ 也是 $𝒬$ 中唯一严格粗于 $Q^{″}$ 的尺度选择，同理可得 $Q^{″}$ 也是 $S$ 的最优尺度选择.

4 结论

本文介绍了具有多尺度决策的信息系统的概念，在这种系统中条件属性和决策属性都具有不同的尺度层面个数.引入具有多尺度决策的信息系统中的尺度选择和最优尺度选择的概念，并进一步用证据理论中的信任函数和似然函数刻画了协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择的特征.本文给出的结论针对的多尺度决策系统是协调的，以后将进一步研究不协调的具有多尺度决策的信息系统的最优尺度选择问题.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Zadeh

L A

Fuzzy sets and information granularity

∥Gupta N，Ragade R，Yager R. Advances in fuzzy set theory and applications. Amsterdam：North⁃Holland，1979(11)：3-18.