软集优势矩阵的高低对角线性质及其诱导的还原算法

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.006

软集优势矩阵的高低对角线性质及其诱导的还原算法

田峻奇, 韩邦合^,

西安电子科技大学数学与统计学院, 西安, 710126

The high and low diagonals' properties for the soft set's matrix of dominant support parameters and their induced retrieving algorithm

Tian Junqi, Han Banghe^,

School of Mathematics and Statistics, Xidian University, Xi'an, 710126, China

通讯作者: E⁃mail：bhhan@mail.xidian.edu.cn

收稿日期: 2021-06-23

基金资助:

国家自然科学基金. 61862055
中央高校基本科研业务费. JB180712

Received: 2021-06-23

摘要

软集是利用参数化方法处理不确定性问题的重要工具，在决策领域其基本思想是在不同的参数下采取不同的决策，属于软决策模式.而软集的优势矩阵作为软集合的一种表示方法，蕴藏着丰富的信息，如何在软集的优势矩阵部分已知的情况下依旧能够完整还原软集是讨论的重点.专注于软集优势矩阵高低对角线的讨论，通过研究发现优势矩阵的高低对角线上的性质对于还原软集十分有帮助.首先给出优势矩阵高低对角线的基本定义及其结构特点；其次，针对软集合的不交性、单调性、分块等信息特征，给出高低对角线上对应的特征和性质；最后，依据优势矩阵高低对角线上的元素分两个阶段设计还原算法，并针对算法还原时间以及算法第一阶段还原率等指标进行仿真实验.实验结果显示，对于第一阶段还原率，在0，1元素个数比为0.5时，第一阶段还原率最高，而在软集中，0，1元素个数之比不变时，增加参数与对象的个数对于第一阶段还原率影响不大，即还原率依旧取决于0，1元素个数比.算法运行时间方面，在控制其他变量下，增加参数个数或对象个数都会直接的导致还原时间增加.

关键词： 软集 ; 优势矩阵 ; 高低对角线 ; 还原算法

Abstract

Soft set is an important tool to deal with uncertainty problem by parameterization method. In the field of decision making，its basic idea is to take different decisions under different parameters，which belongs to soft decision mode. As a representation method of soft set，the matrix of dominant support parameters of soft sets contains abundant information. How to restore the soft set completely when the matrix of dominant support parameters of the soft set is partly known is the focus of this paper. This paper investigates the high and low diagonals of the matrix of dominant support parameters,and their properties are found very helpful to the retrieve of soft sets. Firstly，we give the basic definition and structural characteristics of the high and lower diagonals of the matrix of dominant support parameters. Secondly，according to the information characteristics of soft set，such as non⁃intersecting，monotony and partition，the corresponding characteristics and properties of high and low diagonals are given. Finally,according to the elements on the high and low diagonal of the matrix of dominant support parameters,the reduction algorithm is designed in two stages,and simulation experiments are carried out for the algorithm reduction time and the algorithm reduction rate of the first stage. Experimental results show that the reduction rate of the first stage is the highest when the ratio of 0 to 1 elements is 0.5. In soft set,when the ratio of 0 and 1 elements remains unchanged,increasing the number of parameters and objects has little influence on the reduction rate of the first stage,that is,the reduction rate still depends on the ratio of 0 and 1 elements. In terms of algorithm running time,when controlling other variables,increasing the number of parameters or objects will directly increase the reduction time.

Keywords： soft sets ; the matrix of dominant support parameters ; high and low diagonals ; retrieving algorithm

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本文引用格式

田峻奇, 韩邦合. 软集优势矩阵的高低对角线性质及其诱导的还原算法. 南京大学学报（自然科学）[J], 2022, 58(1): 49-59 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.006

Tian Junqi, Han Banghe. The high and low diagonals' properties for the soft set's matrix of dominant support parameters and their induced retrieving algorithm. Journal of nanjing University[J], 2022, 58(1): 49-59 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.006

日常生活充满不确定性问题，为了研究这些不确定性问题，学者们提出了许多数学理论，如粗糙集^［1］、模糊集^［2］、概率论^［3］、三支决策^［4-5］等.对于参数带来的不确定性问题，1999年Molodtsov提出软集合^［6］，受到众多学者的关注^［7-13］，其已被证明在多个领域内有重要作用，如企业管理、文本分类、数据分析、土地估价、医学、气象学、决策理论等.软集的研究主要分几个方向：一是同其他处理不确定性问题的理论相结合^［14-23］，如粗糙软集、软粗糙集、模糊软集、区间值模糊软集、直觉主义模糊软集、软集的三支决策语义等；二是同代数结构、序结构、拓扑结构相结合^［24-36］，在设定领域为某个代数结构、拓扑结构或序结构的前提下，给出参数化的子结构并研究对应的运算性质，如软半群、软半环、软BCK代数、软拓扑、格序软集等；三是研究软集在决策领域中的应用^［37-46］，如参数约简、信息系统属性约简等.

软集作为参数化的有限子集系统，从表示上一方面可以看作是一个0⁃1信息系统^［47］，这极大地拓宽了软集的潜在应用领域；另一方面，文献［44-46］给出了软集优势矩阵的概念及其性质研究，研究表明软集优势矩阵在软集的正规约简、伪约简、决策中都起到重要作用.Han et al^［48］给出了软集优势矩阵的结构刻画和量化性质，还给出了利用软集局部性质还原软集0⁃1信息系统和填充其余位置元素的方法.因此围绕软集0⁃1信息系统结构特征和优势矩阵之间的关系展开研究是一个重要的方向.

Han et al^［48］基于优势矩阵的第 $i$ 行和第 $i$ 列元素展开研究，提出了相应的还原算法，然而在实际中通常无法直接得到对应的信息，需要通过研究优势矩阵的性质找出还原软集0⁃1信息系统的其他方案.通过初步研究发现，只利用优势矩阵两条高低对角线上的元素就可以对软集完整还原.

1 相关基础和主要问题

本文的主要贡献包括两个方面：

（1）通过研究软集列与行之间的关系以及列与行上0和1的数字特征，得到所对应的优势矩阵上高低对角线上元素的位置表现以及数量表现.

（2）通过实验给出精确的还原算法：通过优势矩阵高、低对角线上的元素来精确还原对应软集0⁃1信息系统.相比之下，用高低对角线上的元素还原所需用的元素更少.

Molodtsov^［6］定义软集合：令 $U = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}\}$ 为对象集合， $E = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}\}$ 是参数集合且 $U$ 和 $E$ 都是非空集合. $P (U)$ 为 $U$ 的幂集.

定义1

软集^［6］一个二元对 $S = (F, E)$ 为 $U$ 上的一个软集，若 $F$ 是 $E$ 到 $P (U)$ 的一个映射.即 $F : E \to P (U)$ .本文用 $F (u, e) = 1$ 表示 $u \in F (e)$ ， $F (e)$ 是软集的 $e$ ⁃近似集合，所以软集是 $U$ 的参数化子集合.

后面的讨论中，若无特殊说明，假定 $S = (F, E)$ 满足：

\begin{array}{l} e_{k} \in E, F (e_{k}) \neq \emptyset \land F (e_{k}) \neq U \\ \forall k = 1,2, \dots, |E| \end{array}

(1)

命题1^［47］

如果 $S = (F, E)$ 是 $U$ 的一个软集合，其中 $E = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}\}$ ，那么 $S = (F, E)$ 就可以表示为一个0⁃1信息系统.

例1 假设 $X$ 先生想购买一套房子，设 $U = \{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\}$ 为其考虑范围内房子的集合.假设房子的参数 $E = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})$ ，其中 $e_{1}$ 表示“beautiful”， $e_{2}$ 表示“expensive”， $e_{3}$ 表示“wooden”， $e_{4}$ 表示“modern”.设 $F (e_{1}) = \{u_{1}, u_{3}\}$ ， $F (e_{2}) = \{u_{2}, u_{3}\}$ ， $F (e_{3}) = \{u_{1}\}$ ， $F (e_{4}) = \{u_{2}, u_{3}, u_{4}\}$ ，得到一个软集 $S = (F, E)$ ，如表1所示.

表1 例1中软集 $S = (F, E)$ 的0⁃1信息系统表示

Table 1 0⁃1 Information system representation of the soft set $S = (F, E)$ in Example 1

	beautiful	expensive	wooden	modern
$u_{1}$	1	0	1	0
$u_{2}$	0	1	0	1
$u_{3}$	1	1	0	1
$u_{4}$	0	0	0	1

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例1可以更直观地描述为房子 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ ， $u_{4}$ 相比在参数 $e_{1}$ （beautiful）上更有优势 $(F (u_{1}, e_{1}) = 1$ ， $F (u_{2}, e_{1}) = F (u_{4}, e_{1}) = 0)$ ， $u_{1}$ 与 $u_{3}$ 在 $e_{1}$ 上不相上下 $(F (u_{1}, e_{1}) = F (u_{3}, e_{1}) = 1)$ .如果X先生在 $e_{1}$ 上设置的权重较大，则更倾向 $u_{1}$ 或 $u_{3}$ ；如果在 $e_{2}$ （expensive）上也同样设置较大的权重，由表1可知 $u_{3}$ 比 $u_{1}$ 更容易被选中 $(F (u_{3}, e_{2}) = 1$ ，

F (u_{1}, e_{2}) = 0)

定义2

对象的参数支撑集^［48］设 $S = (F, E)$ 是 $U$ 上的一个软集合. $\forall u \in U$ ，定义 $u$ 的参数支撑集为 $\{e \in E |F (u, e) = 1\}$ ，记为 $s u p p (u)$ .

例2表1给出软集合 $S$ 在 $U = \{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\}$ 和 $E = \{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\}$ 上的0⁃1信息系统表示，其矩阵表示如图1（上）所示.再由定义2可得 $u_{1}$ 的参数支撑集 $s u p p (u_{1}) = \{e_{1}, e_{3}\}$ $(F (u_{1}, e_{1}) =$

$F (u_{1}, e_{3}) = 1)$ ， $u_{2}$ 的参数支撑集 $s u p p (u_{2}) = \{e_{2}, e_{4}\}$ ， $u_{3}$ 的参数支撑集 $s u p p (u_{3}) = \{e_{1}, e_{2}, e_{4}\}$ ， $u_{4}$ 的参数支撑集 $s u p p (u_{4}) = \{e_{4}\}$ .

注：对象的参数支撑集作为一个指标可以衡量对象优劣性，当某个对象含有更多的参数时，往往更倾向选择该对象.

定义3

软集优势矩阵^［48］设 $S = (F, E)$ 为 $U = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}\}$ 上的一个软集，定义一个 $n \times n$ 的矩阵 $D_{S}$ ： $\forall i, j$ ， $D_{S} (i, j) = s u p p (u_{i}) - s u p p (u_{j})$ .称 $D_{S}$ 为软集 $S$ 的优势矩阵，如图1（下）所示.在软集 $S$ 明确时也可以用 $D_{i \leftarrow j}$ 来表示第 $i$ 行、第 $j$ 列位置的元素.

\begin{matrix} S = (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} \\ u_{1} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ u_{2} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ u_{3} & 1 & 1 & 0 & 1 \\ u_{4} & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ D_{S} = (\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} & u_{4} \\ u_{1} & \emptyset & \{e_{1}, e_{3}\} & {e_{3}} & {e_{1}, e_{3}} \\ u_{2} & \{e_{2}, e_{4}\} & \emptyset & \emptyset & \{e_{2}\} \\ u_{3} & \{e_{2}, e_{4}\} & {e_{1}} & \emptyset & {e_{1}, e_{2}} \\ u_{4} & \{e_{4}\} & \emptyset & \emptyset & \emptyset \end{matrix}) \end{matrix}

图1 软集0⁃1信息系统的矩阵表示S（上）与其对应的优势矩阵 $D_{S}$ （下）

Fig.1 The 0⁃1 matrix representation of soft set S （up） and its corresponding matrix of dominant support

parameters $D_{S}$ （down）

例3 依据表1给出软集 $S$ 的矩阵表示，再由定义3可以构造出优势矩阵 $D_{S}$ .具体如下：

\begin{array}{l} D_{S} (1,2) = s u p p (u_{1}) - s u p p (u_{2}) = \\ \{e_{1}, e_{3}\} - \{e_{2}, e_{4}\} = \{e_{1}, e_{3}\} \end{array}

\begin{array}{l} D_{S} (1,3) = s u p p (u_{1}) - s u p p (u_{3}) = \\ \{e_{1}, e_{3}\} - \{e_{1}, e_{2}, e_{4}\} = \{e_{3}\} \end{array}

\begin{array}{l} D_{S} (1,4) = s u p p (u_{1}) - s u p p (u_{4}) = \\ \{e_{1}, e_{3}\} - \{e_{4}\} = \{e_{1}, e_{3}\} \end{array}

\begin{array}{l} D_{S} (2,1) = s u p p (u_{2}) - s u p p (u_{1}) = \\ \{e_{2}, e_{4}\} - \{e_{1}, e_{3}\} = \{e_{2}, e_{4}\} \end{array}

\begin{array}{l} D_{S} (2,3) = s u p p (u_{2}) - s u p p (u_{3}) = \\ \{e_{2}, e_{4}\} - \{e_{1}, e_{2}, e_{4}\} = \{\emptyset\} \end{array}

\begin{array}{l} D_{S} (2,4) = s u p p (u_{2}) - s u p p (u_{4}) = \\ \{e_{2}, e_{4}\} - \{e_{4}\} = \{e_{2}\} \end{array}

…

其余类似.这里之所以不与对象自身 $(D_{S} (1,1)$ ，

$D_{S} (2,2), D_{S} (3,3), D_{S} (4,4))$ 做比较，是由于自身与自身无法构成优势，必然是空集.

通过构造软集 $S$ 的优势矩阵可以很清楚地看到两两对象之间是否够构成优势，又关于哪个参数构成优势，从而方便做出决策.

定义4 还原算法^［48］设 $S = (F, E)$ 是 $U$ 上的一个软集合. $D_{S}$ 是软集 $S$ 的优势矩阵，还原算法是指利用 $D_{S}$ 的部分元素还原软集 $S$ 本身（Han et al^［48］利用第 $i$ 行和第 $i$ 列对 $S$ 进行精确还原）.

上面讨论了软集0⁃1信息系统与优势矩阵之间的对应关系，当优势矩阵 $D_{S}$ 的全部元素已知时对 $S$ 还原十分简单.比如 $(u_{1}, u_{2}) = \{e_{1}, e_{3}\}$ 表示 $u_{1}$ 对 $u_{2}$ 在参数 $e_{1}, e_{3}$ 上有优势，即在软集 $S$ 中 $F (u_{1}, e_{1}) = F (u_{1}, e_{3}) = 1, F (u_{2}, e_{1}) = F (u_{2}, e_{3}) = 0 .$

$(u_{3}, u_{2}) = \{e_{1}\}$ 表示 $u_{3}$ 对 $u_{2}$ 在参数 $e_{1}$ 上有优势，即在软集 $S$ 中 $F (u_{3}, e_{1}) = 1, F (u_{2}, e_{1}) = 0$ .所以在知道优势矩阵所有元素的情况下还原出软集并非一件难事，但在实际中知道的信息是有限的，若仅知道部分元素（如高低对角线上的元素），这样直观的还原就行不通.这就是本文讨论的重点.

2 利用优势矩阵高低对角线还原软集0⁃1信息系统

已有研究讨论了优势矩阵与软集0⁃1信息系统关于第一行与第一列的性质，并将这些相关的性质进一步推广到第 $i$ 行第 $i$ 列^［48］.在此进一步讨论其高低对角线上的性质，并对软集0⁃1信息系统的某些数字特征在优势矩阵高低对角线元素上的表现进行讨论，最后给出利用优势矩阵高低对角线上的元素还原软集0⁃1矩阵的算法.

2.1　软集优势矩阵高低对角线的性质

给出软集优势矩阵对角线、高对角线和低对角线的定义及性质，说明高低对角线在还原软集时的重要性.

定义5

参考三对角矩阵给出如下定义：设 $D$ 为一个 $n \times n$ 的方阵，其主对角线上由 $D (i, i + 1)$ 所在位置组成的连线称为高对角线；其主对角线下由 $D (i + 1, i)$ 所在位置组成的连线称为低对角线（ $i = 1,2, \dots, n - 1$ ）.它们统称为高低对角线.

定理1

给定一个 $U$ 的软集 $S = (F, E)$ ，其中 $|U| = n$ ， $D_{S}$ 是软集 $S$ 的优势矩阵，则 $D_{S}$ 满足下列性质：

（1）优势矩阵 $D_{S}$ 的主对角线元素都是空集，即 $D_{S} (i, i) = \emptyset, \forall i = 1,2, \dots, n$ .

（2）高低对角线上元素关于对角元素的交为空集.即 $D_{S} (i, i + 1) ⋂ D_{S} (i + 1, i) = \emptyset$ ， $i = 1,$

2, \dots, n - 1

（3）高对角线相邻元素不相交.即 $D_{S} (i, i + 1) ⋂$

D_{S} (i + 1, i + 2) = \emptyset

，

i = 1,2, \dots, n - 2

证明

(1) $\forall e \in E, i = 1,2, \dots, n, F (u_{i}, e) = F (u_{i}, e)$ ，不与自身构成优势，故 $D_{S} (i, i) = \emptyset$ .

（2）设 $e \in D_{S} (i, i + 1)$ ，则 $F (u_{i}, e) = 1$ ， $F (u_{i + 1}, e) = 0$ ，显然 $e \notin D_{S} (i + 1, i)$ ，否则 $F (u_{i + 1}, e) = 1$ ，矛盾.

（3）设 $e \in D_{S} (i, i + 1)$ ，则 $F (u_{i}, e) = 1$ ， $F (u_{i + 1}, e) = 0$ ，显然 $e \notin D_{S} (i + 1, i + 2)$ ，否则 $F (u_{i + 1}, e) = 1$ ，矛盾.

推论1

高对角线的任意元素与其下一行所有元素的交为空集.即：

\begin{array}{l} D (i, i + 1) ⋂ (\cup_{k = 1}^{n} D (i + 1, k)) = \emptyset \\ \forall i = 1,2, \dots, n - 1 \end{array}

推论2

低对角线的任意元素与其上一行所有元素的交为空集.即：

\begin{array}{l} D (i + 1, i) ⋂ (\cup_{k = 1}^{n} D (i, k)) = \emptyset \\ \forall i = 1,2, \dots, n - 1 \end{array}

定理2

给定一个 $U$ 上的软集 $S = (F, E)$ ，其中 $|U| = n$ .如果 $\forall e \in E, F (e) \neq \emptyset$ 且 $F (e) \neq U$ ，则 $E$ 中所有元素必全存在于高低对角线上.即：

(\cup_{i = 1}^{n - 1} D_{S} (i, i + 1)) ⋃ (\cup_{i = 1}^{n - 1} D_{S} (i + 1, i)) = E

(2)

证明

反证法.设 $\exists e \in E, e \notin \cup_{i = 1}^{n - 1} D_{S} (i, i + 1)$

且 $e \notin \cup_{i = 1}^{n - 1} D_{S} (i + 1, i)$ ，即 $\forall i = 1,2, \dots, n - 1$ ， $e \notin D_{S} (i, i + 1)$ 且 $e \notin D_{S} (i + 1, i)$ ，故 $F (u_{1}, e) = F (u_{2}, e)$ ， $F (u_{2}, e) = F (u_{3}, e)$ ， $F (u_{4}, e) = F (u_{5}, e)$ ，

F (u_{5}, e) = F (u_{6}, e)

，

F (e) = \emptyset

或

F (e) = U

,矛盾.

定理3

高低对角线上第 $i$ 行的两个元素的并集与第 $i$ 列的两个元素的并集的交集为空集.即：

\begin{array}{l} (D_{S} (i, i + 1) ⋃ D_{S} (i + 2, i + 1)) ⋂ \\ (D_{S} (i + 1, i) ⋃ D_{S} (i + 1, i + 2)) = \emptyset \\ \forall i = 1,2, \dots, n - 2 \end{array}

(3)

证明

假设 $\exists e_{k} \in E$ 使：

\begin{array}{l} e_{k} \in (D_{S} (i, i + 1) ⋃ D_{S} (i + 2, i + 1)) ⋂ \\ (D_{S} (i + 1, i) ⋃ D_{S} (i + 1, i + 2)) \end{array}

故：

e_{k} \in (D_{S} (i, i + 1) ⋃ D_{S} (i + 2, i + 1))

且：

e_{k} \in (D_{S} (i + 1, i) ⋃ D_{S} (i + 1, i + 2))

无论 $e_{k} \in D_{S} (i, i + 1)$ 还是 $e_{k} \in D_{S} (i + 2, i + 1)$ ，都有 $F (u_{i + 1}, e_{k}) = 0$ ，从而与 $e_{k} \in (D_{S} (i, i + 1) ⋃$

$D_{S} (i + 2, i + 1))$ 矛盾.

2.2　软集0⁃1信息系统中的数字特征在优势矩阵高低对角线上的体现

给定一个 $U$ 上的软集合 $S$ ，其中 $|U| = n$ ， $D_{S}$ 是优势矩阵.下面讨论关于软集0⁃1信息系统中一些数字特征在优势矩阵的高低对角线上是如何体现的.

2.2.1　非交性

定义6

如果 $S$ 中任意两列其同一行上所对应的值互不相同，称这两列满足非交性.

性质1

如果在 $S$ 中任意两列满足非交性（不妨设 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ ， $\forall k, j = 1,2, \dots, m, k \neq j$ ），那么：

(1) $D_{S}$ 上 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 必定不会同时出现在高低对角线上的同一位置,即 $\forall i = 1,2, \dots, n - 1$ .若 $e_{k} \in D_{S} (i, i + 1)$ 则 $e_{j} \notin D_{S} (i, i + 1)$ ，若 $e_{k} \in D_{S} (i + 1, i)$ 则 $e_{j} \notin D_{S} (i + 1, i)$ .

(2) $D_{S}$ 上 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 在高低对角线上出现的次数相同且它们出现的位置刚好是主对角线的上下相邻两侧，即 $\forall i = 1,2, \dots, n - 1$ .若 $e_{k} \in D_{S} (i, i + 1)$ 则 $e_{j} \in D_{s} (i + 1, i)$ ，若 $e_{j} \in D_{S} (i + 1, i)$ 则 $e_{l} \in D_{S} (i, i + 1)$ .

证明

（1）假设在 $S$ 中 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 满足非交性（ $\forall k, j = 1,2, \dots, m, k \neq j$ ）且 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 同时出现在 $D_{S} (i, i + 1)$ 上，则由上述定义可知， $F (u_{i}, e_{k}) = F (u_{i + 1}, e_{k}) = 1$ ，从而与满足非交性矛盾.

（2）假设在 $S$ 中 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 满足非交性（ $\forall k, j = 1,2, \dots, m, k \neq j$ ）.由前提假设知 $S = (F, E)$ 满足 $\forall e \in E, F (e) \neq \emptyset \land F (e) \neq U$ .必定存在 $u_{i}$ 与 $u_{i + 1}$ 在 $e_{k}$ ， $e_{j}$ 上都构成优势，不妨设 $F (u_{i}, e_{k}) = 1$ ， $F (u_{i + 1}, e_{k}) = 0$ ，由非交性可知必定 $F (u_{i}, e_{j}) = 0$ ， $F (u_{i + 1}, e_{j}) = 1$ .即若存在 $e_{k} \in D_{S} (u_{i}, u_{i + 1})$ ，则必有 $e_{j} \in D_{S} (u_{i + 1}, u_{i})$ .

例4 由图2可见，软集 $S$ 中 $e_{4}$ 与 $e_{8}$ 满足非交性，在 $D_{S}$ 中同一个位置不会同时出现 $e_{4}$ 与 $e_{8}$ ，由 $e_{4} \in D_{S} (3,4), D_{S} (5,4)$ 推知 $e_{8} \in D_{S} (4,3), D_{S} (4,5)$ .

\begin{matrix} S = (\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} & e_{8} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) \\ D_{S} = (\begin{matrix} \emptyset & \emptyset \\ \{e_{3}\} & \emptyset & \{e_{1}, e_{3}\} \\ \{e_{2}, e_{7}\} & \emptyset & \{e_{4}, e_{5}, e_{7}\} \\ \{e_{8}\} & \emptyset & \{e_{8}\} \\ \{e_{1}, e_{3}, e_{4}, e_{5}, e_{6}, e_{7}\} & \emptyset & \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} \\ \emptyset & \emptyset \end{matrix}) \end{matrix}

图2 软集0⁃1信息系统 $S$ （上）与其对应的优势矩阵 $D_{S}$ （下）

Fig.2 0⁃1 information system of the soft sets S （up） and its corresponding matrix of dominant support parameters $D_{S}$ （down）

推论3

$S$ 中存在两列满足非交性时，通过其中某一列从0变1或从1变0的变化次数可以确定两列对应的参数在 $D_{S}$ 高对角线上出现的次数.

例5 由图2还可以看到， $e_{4}$ 列变化次数为2 $(即 1 = F (u_{3}, e_{4}) \to$ $F (u_{4}, e_{4}) = 0$ ， $F (u_{4}, e_{4}) \to$

$F (u_{5}, e_{4}) = 1)$ ，对应到 $D_{S}$ 中 $(e_{4}, e_{8})$ 共出现两次.

2.2.2 序特征（软集0⁃1信息系统 $S$ 中行的单调性）

定义7

（1）若 $\forall k = 1,2, \dots, m$ 都有 $F (u_{i}, e_{k}) \geq F (u_{i + 1}, e_{k})$ ，则称 $u_{i}$ 行与 $u_{i + 1}$ 行满足单调递减.

（2）若 $\forall k = 1,2, \dots, m$ 都有 $F (u_{i + 1}, e_{k}) \geq F (u_{i}, e_{k})$ ，则称 $u_{i}$ 行与 $u_{i + 1}$ 行满足单调递增.

性质2

（1）若 $S$ 中存在相邻两行满足单调递增，则高对角线元素中必存在一个元素为空集.即 $D_{S} (i, i + 1) = \emptyset$ .

（2）若 $S$ 中存在相邻两行满足单调递减，则低对角线元素中必存在一个元素为空集.即 $D_{S} (i + 1, i) = \emptyset$ .

证明

假设 $u_{i}$ 关于 $u_{i + 1}$ 满足单调递减性， $\forall k, F (u_{i}, e_{k}) \geq F (u_{i + 1}, e_{k})$ ，即若 $F (u_{i + 1}, e_{k}) = 1$ ，则必有 $F (u_{i}, e_{k}) = 1$ ，故不会构成优势（单调递增同理可得）.

例6 由图2还可知， $S$ 中 $u_{2}$ 行对 $u_{1}$ 行满足单调递增性，即 $\forall k, F (u_{2}, e_{k}) \geq F (u_{1}, e_{k})$ ，在 $D_{s}$ 矩阵中表现为 $D_{2 \leftarrow 1} = \emptyset$ .

2.2.3　分块

定义8

设 $S = (F, E)$ 是 $U$ 上的一个软集合，用一个0⁃1信息系统表示，对 $S$ 的每一列根据1和0的连续情况进行划分叫作分块.

例7 由图2还可知， $S$ 中 $e_{2}$ 列， $F (u_{1}, e_{2}) = F (u_{2}, e_{2}) = 0$ 为一块， $F (u_{3}, e_{2}) = F (u_{4}, e_{2}) = F (u_{5}, e_{2})$ 为一块， $F (u_{6}, e_{2}) = 0$ 为一块，即 $e_{2}$ 列可以分为三块，所以可称 $\{u_{1}, u_{2}\} \{u_{3}, u_{4}, u_{5}\} \{u_{6}\}$ 为 $e_{2}$ 列所对应的分块.

性质3

$S$ 上任意一列 $e_{k}$ 的分块数等于在优势矩阵高低对角线中出现的次数加1.

证明

设 $S$ 中 $e_{k}$ 列能够分 $l$ 块，意味着0⁃1或1⁃0变化的次数有 $l - 1$ 次，而每变化一次意味着在 $D_{S}$ 高低对角线上某位置出现一次 $e_{k}$ .即变化次数等于 $e_{k}$ 在高低对角线上的出现次数.

例8 由图2还可知， $S$ 中 $e_{1}$ 列可以分为四块，第一块包含的元素 $F (u_{1}, e_{1}), F (u_{2}, e_{1})$ 都为1，第二块包含的元素 $F (u_{3}, e_{1}), F (u_{4}, e_{1})$ 都为0，第三块包含的元素 $F (u_{5}, e_{1})$ 为1，第四块包含的元素 $F (u_{6}, e_{1})$ 为0.同时发现 $e_{1}$ 在矩阵 $D_{s}$ 的高低对角线中共出现三次： $D_{S} (2,3)$ ， $D_{S} (5,4)$ 和 $D_{S} (5,6)$ .

2.2.4　列对称性

定义9

设 $S = (F, E)$ 是 $U$ 的一个软集合，若 $S$ 中任意两列或两列以上每行对应元素都相同，则称 $S$ 关于对应的列具有列对称性.

性质4

若 $S$ 存在两列对称，不妨设 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 对称，则若 $e_{k}$ 属于高低对角线上的某个元素，那么 $e_{j}$ 也必定属于这个元素.也就是说，它们成对出现.

证明

假设 $e_{k}$ 与 $e_{j}$ 对称， $e_{k} \in D (i, i + 1)$ ，但 $e_{j} \notin D (i, i + 1)$ ，则 $F (u_{i}, e_{k}) \neq F (u_{i}, e_{j})$ ，与对称性矛盾.

例9 由图2可见， $S$ 中 $e_{4}$ 与 $e_{5}$ 对称，在 $D_{S}$ 中 $e_{4}$ 与 $e_{5}$ 总是一起出现.

3 通过高低对角线元素还原软集0⁃1信息系统

Han et al^［48］探讨了通过单行单列去还原软集0⁃1信息系统，意义在于某一元素与其他元素一一进行比较，其本质是针对同一对象的比较.而本节利用高低对角线上的元素还原软集0⁃1信息系统的意义是任意两个相邻对象之间的相互比较，找出相邻两个对象之间的优势参数结构.其相关算法如下.

基于优势矩阵高低对角线的软集还原算法

（注：此算法需在软集 $S = (F, E)$ 满足式（1）的条件下进行）

输入 $n \times n$ 优势矩阵 $D_{S}$ 上高低对角线上的元素以及取值为-1的 $n \times m$ 矩阵 $S$ （待还原的软集0⁃1矩阵）

过程：

阶段1.利用优势矩阵 $D_{S}$ 上高低对角线还原矩阵 $S$ 中的部分元素.

遍历 $D_{S}$ 高低对角线上的所有元素并依据下式（4）判断并更新在矩阵 $S$ 中的对应位置 $F (u_{i}, e_{j})$ .

F (u_{i}, e_{j}) = \{\begin{matrix} 1, & i f e_{j} \in D_{S} (i, i + 1), i \leq n - 1 \\ 0, & i f e_{j} \in D_{S} (i + 1, i), i \leq n - 1 \\ 1, & i f e_{j} \in D_{S} (i, i - 1), i \geq 2 \\ 0, & i f e_{j} \in D_{S} (i - 1, i), i \geq 2 \end{matrix}

（4）

阶段2.对第一阶段没有更新的元素 $F (u_{i}, e_{j})$ ，遵循按列就近补充原则，其值等于 $S$ 第 $j$ 列第一阶段已经还原的且距离其最近的位置 $F (u_{K}, e_{j})$ 的值，即 $K$ 满足以下两条：

（1） $F (u_{k}, e_{j}) = 1 o r 0$

（2） $|K - i| = \underset{k}{m i n} \{|k - i|| F (u_{k}, e_{j}) = 1 o r 0\}$

阶段1举例以图2右侧的优势矩阵为例并依据上面的算法对软集0⁃1矩阵进行还原.

图2中优势矩阵上的高低对角线元素为：

e_{3} \in D_{S} (2,1)

，

D_{S} (1,2) = \emptyset

，

\{e_{1}, e_{3}\} \in D_{S} (2,3)

，

\{e_{2}, e_{7}\} \in D_{S} (3,2)

，

\{e_{4}, e_{5}, e_{7}\} \in D_{S} (3,4)

\{e_{8}\} \in D_{S} (4,3)

\{e_{8}\} \in D_{S} (4,5)

\{e_{1}, e_{3}, e_{4}, e_{6}, e_{7}\} \in D_{S} (5,4)

\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} \in D_{S} (5,6)

\{e_{5}\} \in D_{S} (6,5)

根据阶段1的公式可以依次得出：

\begin{array}{l} F (u_{2}, e_{3}) = 1, F (u_{1}, e_{3}) = 0 \\ F (u_{2}, e_{3}) = F (u_{2}, e_{1}) = 1 \end{array}

\begin{array}{l} F (u_{3}, e_{3}) = F (u_{3}, e_{1}) = 0 \\ F (u_{3}, e_{2}) = F (u_{3}, e_{7}) = 1 \\ F (u_{2}, e_{2}) = F (u_{2}, e_{7}) = 0 \\ F (u_{3}, e_{4}) = F (u_{3}, e_{5}) = F (u_{3}, e_{7}) = 1 \end{array}

\begin{array}{l} F (u_{4}, e_{4}) = F (u_{4}, e_{5}) = F (u_{4}, e_{7}) = 0 \\ F (u_{4}, e_{8}) = 1, F (u_{3}, e_{8}) = 0 \\ F (u_{4}, e_{8}) = 1, F (u_{5}, e_{8}) = 0 \end{array}

\begin{array}{l} F (u_{5}, e_{1}) = F (u_{5}, e_{3}) = F (u_{5}, e_{4}) = \\ F (u_{5}, e_{6}) = F (u_{5}, e_{7}) = 1 \end{array}

\begin{array}{l} F (u_{4}, e_{1}) = F (u_{4}, e_{3}) = F (u_{4}, e_{4}) = \\ F (u_{4}, e_{6}) = F (u_{4}, e_{7}) = 0 \end{array}

F (u_{5}, e_{1}) = F (u_{5}, e_{2}) = F (u_{5}, e_{3}) = 1

F (u_{6}, e_{1}) = F (u_{6}, e_{2}) = F (u_{6}, e_{3}) = 0

F (u_{6}, e_{5}) = 1, F (u_{5}, e_{5}) = 0

由第一阶段还原得到的软集矩阵 $S$ 如图3所示.

(\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} & e_{8} \\ - 1 & - 1 & 0 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})

图3 由第一阶段还原得到的软集矩阵 $S$

Fig.3 The soft set S retrieved after the first stage

阶段2举例以软集矩阵 $S$ 的第一列与第四列为例来说明阶段2.

当 $j = 1$ 时， $F (u_{1}, e_{1}) = - 1$ （第一阶段未被还原的元素），向下搜索矩阵 $S$ ， $(u_{2}, e_{1}) (u_{4}, e_{1}) (u_{5}, e_{1})$

$(u_{6}, e_{1})$ 均满足条件（1），再依据条件（2）选择 $K$ =2，即 $F (u_{1}, e_{1}) = F (u_{2}, e_{1}) = 1$ .

当 $j = 4$ 时， $F (u_{1}, e_{4}) = - 1$ ，向下搜索矩阵 $S, (u_{3}, e_{4}) (u_{4}, e_{4}) (u_{5}, e_{4})$ 均满足条件（1），再依据条件（2）选择 $K$ =3，即 $F (u_{1}, e_{4}) = F (u_{3}, e_{4}) = 1$ . $F (u_{2}, e_{4}) = - 1$ ，向下搜索矩阵 $S, (u_{3}, e_{4}) (u_{4}, e_{4})$

$(u_{5}, e_{4})$ 均满足条件（1），再依据条件（2）选择 $K$ =3，

即 $F (u_{2}, e_{4}) = F (u_{3}, e_{4}) = 1$ . $F (u_{6}, e_{4}) = - 1$ ，向上搜索矩阵 $S, (u_{5}, e_{4}) (u_{4}, e_{4}) (u_{3}, e_{4})$ 均满足阶段2的条件（1），再依据条件（2）选择 $K$ =5，即 $F (u_{6}, e_{4}) = F (u_{5}, e_{4}) = 1$ .

第二阶段还原得到最终的软集矩阵 $S$ 如图4所示.

(\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} & e_{5} & e_{6} & e_{7} & e_{8} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

图4 由第二阶段还原得到的软集矩阵 $S$

Fig.4 The soft set $S$ retrieved after the second stage

实验设备：CPU Inter Xeon CPU E3⁃1246 v3，RAM 16 GB，显卡NVIDIA Quadro k620，软件MATLAB R2016a.

给定软集矩阵对象个数 $|U|$ 、参数个数 $|A|$ 以及0⁃1信息系统中0⁃1值的占比ratio（ratio值越高则1的比例越高），固定其中两组参数数值，改变另一组参数数值，进行3000次仿真实验，取各阶段还原的平均时间以及第一阶段的平均还原率（即第一阶段还原的元素总数占总元素数的比例）.

实验1

固定对象个数 $|U|$ 以及参数个数 $|A|$ ，变化矩阵 $S$ 中0与1的比例ratio，共实验3000次，实验结果如图5所示.

图5

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图5 各阶段还原时间与还原率关于0⁃1比例的对比图

Fig.5 The reduction time and reduction rate of the first stage with respect to the ratio of 0⁃1 entries

由图5可以清楚地看到，所有曲线都近似对称，且在ratio=0.5时达到最低点或者最高点.这是由于从ratio=0.5开始变小即矩阵 $S$ 中0变多，从ratio=0.5开始变大即矩阵 $S$ 中1变多，这是一个等价的过程，所以出现对称的情况.此外，第一阶段还原时间与还原率的曲线开口向下，由于

ratio朝0.5趋近时0与1出现的个数一样多，此时对象与对象之间构成更多的优势（即矩阵 $D_{S}$ 在高低对角线上的元素变多），所以还原时间增加，还原率增加.在第一阶段还原率变高的情况下所需还原的元素个数变少，从而第二阶段还原时间减少.还发现对象与参数数量的增加都会导致还原时间的增加，但对还原率影响不大.

实验2

固定对象个数 $|U|$ 以及raito，变化参数个数 $|A|$ ，共实验3000次.

由图6可以看出，参数个数的增加与第一阶段还原时间没有明确的线性关系.即使改变ratio也是同样的结果.这是由于第一阶段还原时间是由高低对角线上的元素个数决定的，高低对角线上元素个数越多，第一阶段还原时间越长.由此也可知，参数个数与第一阶段还原率没有线性关系，而参数个数与第二阶段还原时间成正比关系，也就是说在其他参数数值固定的情况下只要参数的个数增加，那么第二阶段的还原时间就会增加.这是由于第二阶段是在矩阵 $S$ 上还原，当参数个数增加则矩阵 $S$ 的维数增加，从而增加还原时间.改变ratio从0.2到0.5时，第二阶段的还原时间明显降低.

图6

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图6 各阶段还原时间与还原率关于参数个数变化的对比图

Fig.6 The reduction time and reduction rate of the first stage with respect to the number of parameters

实验3

固定参数个数 $|A|$ 以及ratio，改变对象个数 $|U|$ ，共实验3000次.

由图7可见，对象个数与第一阶段还原时间、第二阶段还原时间以及第一阶段还原率都有近似正比的关系.调整ratio从0.2到0.5，则第一阶段还原率明显提升，并且在第一阶段还原率提升的情况下，第二阶段还原时间明显减少.

图7

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图7 各阶段还原时间关于参数个数变化的对比图

Fig.7 The reduction time and reduction rate of the first stage with respect to the number of objects

4 结论

信息缺失是一种十分常见的现象，如何通过已有的信息来尽可能推断出缺失信息是信息精确还原的关键.本文将信息以结构化的方式储存到优势矩阵中，并建立与软集之间的联系，由此给出一种新的基于优势矩阵部分元素还原软集的方法：通过高低对角线元素对软集的完整还原.与Han et al^[48]的还原算法不同的是，高低对角线的本质是获取任意相邻的两个对象之间的优势信息，再通过还原算法得到所有对象之间的优势信息，这相当于另一种还原模型.

今后的工作将讨论更加的一般的情况：随机获取的信息在满足尽可能少的约束条件下完整还原软集以及不给约束的情况下，利用随机获取的信息，判断是否能够完整还原，并给出软集的最大还原度.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Pawlak

Rough set

International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11(5)：341-356.

[本文引用: 1]

[2]

Zadeh

L A

Fuzzy sets

Information and Control，1965，8(3)：338-353.

[本文引用: 1]

[3]

Maistrov

. 1974，probability theory：A historical sketch. New York：Academic Press，1974.

[本文引用: 1]

[4]

Yao

Y Y

Set⁃theoretic models of three⁃way decision

Granular Computing，2021，6(1)：133-148.

[本文引用: 1]

[5]

Yang

J L

，Yao

Y Y

Semantics of soft sets and three⁃way decision with soft sets

Knowledge⁃Based Systems，2020(194)：105538.

[本文引用: 1]

[6]

Molodtsov

Soft set theory：First results

Computers and Mathematics with Applications，1999，37(4-5)：19-31.

[本文引用: 3]

[7]

Feng

，Cho

，Pedrycz

，et al.

Soft set based association rule mining

Knowledge⁃Based Systems，2016(111)：268-282.

[本文引用: 1]

[8]

Sun

B Z

，Ma

W M

，Li

X N

Linguistic value soft set⁃based approach to multiple criteria group decision⁃making

Applied Soft Computing，2017(58)：285-296.

[9]

Han

B H

，Geng

S L

Pruning method for optimal solutions of int^m⁃intⁿ decision making scheme

European Journal of Operational Research，2013，231(3)：779-783.

[10]

Akram

，Adeel

，Alcantud

J C R

Group decision⁃making methods based on hesitant N⁃soft sets

Expert Systems with Applications，2019(115)：95-105.

[11]

J H

，Pan

，Yang

，et al.

A group medical diagnosis model based on intuitionistic fuzzy soft sets

Applied Soft Computing，2019(77)：453-466.

[12]

方君炜，张其文. 基于软集理论的多属性决策方法研究及应用. 硕士学位论文. 兰州：兰州理工大学，2019.

Fang

J W

，Zhang

W Q

. Research of multi⁃attribute decision⁃making method and application based on soft set theory. Master Dissertation. Lanzhou：Lanzhou University of Technology，2019.

[13]

王庆亮

. 软集在决策问题中的应用研究. 硕士学位论文. 无锡：江南大学，2018.

[本文引用: 1]

Wang

Qingliang

. Application of soft sets in decision⁃making problems. Master Dissertation. Wuxi：Jiangnan University，2018.

[本文引用: 1]

[14]

Feng

，Li

C X

，Davvaz

，et al.

Soft sets combined with fuzzy sets and rough sets：A tentative approach

Soft Computing，2010，14(9)：899-911.

[本文引用: 1]

[15]

Feng

，Liu

X Y

，Leoreanu⁃Fotea

，et al.

Soft sets and soft rough sets

Information Sciences，2011，181(6)：1125-1137.

[16]

Ali

M I

A note on soft sets，rough soft sets and fuzzy soft sets

Applied Soft Computing，2011，11(4)：3329-3332.

[17]

Maji

P K

，Roy

A R

，Biswas

Fuzzy soft sets

Journal of Fuzzy Mathematics，2001，9(3)：589-602.

[18]

Majumdar

，Samanta

S K

Generalised fuzzy soft sets

Computers & Mathematics with Applications，2010，59(4)：1425-1432.

[19]

Roy

A R

，Maji

P K

A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems

Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，203(2)：412-418.

[20]

Feng

，Jun

Y B

，Liu

X Y

，et al.

An adjustable approach to fuzzy soft set based decision making

Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234(1)：10-20.

[21]

Yang

X B

，Lin

T Y

，Yang

J Y

，et al.

Combination of interval⁃valued fuzzy set and soft set

Computers and Mathematics with Applications，2009，58(3)：521-527.

[22]

Jiang

Y C

，Tang

，Chen

，et al.

Interval⁃valued intuitionistic fuzzy soft sets and their properties

Computers & Mathematics with Applications，2010，60(3)：906-918.

[23]

，Ma

，Wang

S Y

，et al.

Vague soft sets and their properties

Computers & Mathematics with Applications，2010，59(2)：787-794.

[本文引用: 1]

[24]

Aktaş

，Çağman

Soft sets and soft groups

Information Sciences，2007，177(13)：2726-2735.

[本文引用: 1]

[25]

Karaaslan

，Çağman

，Enginoğlu

Soft lattices

Journal of New Results in Science，2012(1)：5-17.

[26]

Jun

Y B

，Lee

K J

，Khan

Soft ordered semigroups

Mathematical Logic Quarterly，2010，56(1)：42-50.

[27]

Feng

，Jun

Y B

，Zhao

X Z

Soft semirings

Computers & Mathematics with Applications，2008，56(10)：2621-2628.

[28]

Acar

，Koyuncu

，Tanay

Soft sets and soft rings

Computers & Mathematics with Applications，2010，59(11)：3458-3463.

[29]

Sun

Q M

，Zhang

Z L

，Liu

Soft sets and soft modules

∥Wang G，Li T，Grzymala⁃Busse J W，et al. Rough sets and knowledge technology. Springer Berlin Heidelberg，2008(5009)：403-409.

[30]

Qin

K Y

，Hong

Z Y

On soft equality

Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234(5)：1347-1355.

[31]

Zhan

J M

，Jun

Y B

Soft BL⁃algebras based on fuzzy sets

Computers & Mathematics with Applications，2010，59(6)：2037-2046.

[32]

Jiang

Y C

，Tang

，Chen

Q M

，et al.

Extending soft sets with description logics

Computers & Mathematics with Applications，2010，59(6)：2087-2096.

[33]

Tanay

，Kandemir

M B

Topological structure of fuzzy soft sets

Computers & Mathematics with Applications，2011，61(10)：2952-2957.

[34]

Shabir

，Naz

On soft topological spaces

Computers & Mathematics with Applications，2011，61(7)：1786-1799.

[35]

Çetkin

，Aygünoğlu

，Ayün

A topological view on application of L⁃fuzzy soft sets：Compactness

Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2017，32(1)：781-790.

[36]

Al⁃Shami

T M

，El⁃Shafei

M E

，Abo⁃Elhamayel

On soft topological ordered spaces

Journal of King Saud University⁃Science，2019，31(4)：556-566.

[本文引用: 1]

[37]

Zhan

J M

，Alcantud

J C R

A survey of parameter reduction of soft sets and corresponding algorithms

Artificial Intelligence Review，2019，52(3)：1839-1872.

[本文引用: 1]

[38]

Chen

D G

，Tsang

E C C

，Yeung

D S

，et al.

The parameterization reduction of soft sets and its applications

Computers & Mathematics with Applications，2005，49(5-6)：757-763.

[39]

Kong

，Gao

L Q

，Wang

，et al.

The normal parameter reduction of soft sets and its algorithm

Computers & Mathematics with Applications，2008，56(12)：3029-3037.

[40]

Han

B H

，Li

X N

Propositional compilation for all normal parameter reductions of a soft set

∥The 9^th International Conference on Rough Sets and Knowledge Technology. Springer Berlin Heidelberg，2014：10.

[41]

Gong

，Wang

，Xu

M Z

，et al.

BSSReduce an $O (|U|)$ incremental feature selection approach for large⁃scale and high⁃dimensional data

IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2018，26(6)：3356-3367.

[42]

X Q

，Sulaiman

，Qin

H W

，et al.

A new efficient normal parameter reduction algorithm of soft sets

Computers & Mathematics with Applications，2011，62(2)：588-598.

[43]

李炯

. 基于软辨识矩阵的软集参数约简方法研究. 硕士学位论文. 临汾：山西师范大学，2016.

. Research on parameter reduction in soft sets based on soft discernibility matrix. Master Dissertation. Linfen：Shanxi Normal University，2016.

[44]

Han

B H

，Li

Y M

，Geng

S l

0⁃1 Linear programming methods for optimal normal and pseudo parameter reductions of soft sets

Applied Soft Computing，2017(54)：467-484.

[本文引用: 1]

[45]

Han

B H

Comments on “Normal parameter reduction in soft set based on particle swarm optimization algorithm”

Applied Mathematical Modelling，2016，40(23-24)：10828-10834.

[46]

Feng

Q R

，Zhou

Soft discernibility matrix and its applications in decision making

Applied Soft Computing，2014(24)：749-756.

[本文引用: 2]

[47]

Pei

D W

，Miao

D Q

From soft sets to information systems

∥2005 IEEE International Conference on Granular Computing. Beijing，China：IEEE，2005：617-621.

[本文引用: 2]

[48]

Han

B H

，Nie

X Y

，Wu

R Z

，et al.

Characterizations for matric of dominant support parameters in soft sets

IEEE Access，2020(8)：227610-227628.

[本文引用: 9]

Rough set

1982

... 日常生活充满不确定性问题，为了研究这些不确定性问题，学者们提出了许多数学理论，如粗糙集^［1］、模糊集^［2］、概率论^［3］、三支决策^［4-5］等.对于参数带来的不确定性问题，1999年Molodtsov提出软集合^［6］，受到众多学者的关注^［7-13］，其已被证明在多个领域内有重要作用，如企业管理、文本分类、数据分析、土地估价、医学、气象学、决策理论等.软集的研究主要分几个方向：一是同其他处理不确定性问题的理论相结合^［14-23］，如粗糙软集、软粗糙集、模糊软集、区间值模糊软集、直觉主义模糊软集、软集的三支决策语义等；二是同代数结构、序结构、拓扑结构相结合^［24-36］，在设定领域为某个代数结构、拓扑结构或序结构的前提下，给出参数化的子结构并研究对应的运算性质，如软半群、软半环、软BCK代数、软拓扑、格序软集等；三是研究软集在决策领域中的应用^［37-46］，如参数约简、信息系统属性约简等. ...

Fuzzy sets

1965

1974

Set?theoretic models of three?way decision

2021

Semantics of soft sets and three?way decision with soft sets

Soft set theory：First results

1999

... Molodtsov^［6］定义软集合：令

U = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}\}

为对象集合，

E = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{m}\}

是参数集合且

U

和

E

都是非空集合.

P (U)

为

U

的幂集. ...

... 软集^［6］一个二元对

S = (F, E)

为

U

上的一个软集，若

F

是

E

到

P (U)

的一个映射.即

F : E \to P (U)

.本文用

F (u, e) = 1

表示

u \in F (e)

，

F (e)

是软集的

e

⁃近似集合，所以软集是

U

的参数化子集合. ...

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... 软集作为参数化的有限子集系统，从表示上一方面可以看作是一个0⁃1信息系统^［47］，这极大地拓宽了软集的潜在应用领域；另一方面，文献［44-46］给出了软集优势矩阵的概念及其性质研究，研究表明软集优势矩阵在软集的正规约简、伪约简、决策中都起到重要作用.Han et al^［48］给出了软集优势矩阵的结构刻画和量化性质，还给出了利用软集局部性质还原软集0⁃1信息系统和填充其余位置元素的方法.因此围绕软集0⁃1信息系统结构特征和优势矩阵之间的关系展开研究是一个重要的方向. ...

Comments on “Normal parameter reduction in soft set based on particle swarm optimization algorithm”

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... 命题1^［47］ ...

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... Han et al^［48］基于优势矩阵的第

i

行和第

i

列元素展开研究，提出了相应的还原算法，然而在实际中通常无法直接得到对应的信息，需要通过研究优势矩阵的性质找出还原软集0⁃1信息系统的其他方案.通过初步研究发现，只利用优势矩阵两条高低对角线上的元素就可以对软集完整还原. ...

... 对象的参数支撑集^［48］设

S = (F, E)

是

U

上的一个软集合.

\forall u \in U

，定义

u

的参数支撑集为

\{e \in E |F (u, e) = 1\}

，记为

s u p p (u)

. ...

... 软集优势矩阵^［48］设

S = (F, E)

为

U = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}\}

上的一个软集，定义一个

n \times n

的矩阵

D_{S}

：

\forall i, j

，

D_{S} (i, j) = s u p p (u_{i}) - s u p p (u_{j})

.称

D_{S}

为软集

S

的优势矩阵，如图1（下）所示.在软集

S

明确时也可以用

D_{i \leftarrow j}

来表示第

i

行、第

j

列位置的元素. ...

... 定义4 还原算法^［48］设

S = (F, E)

是

U

上的一个软集合.

D_{S}

是软集

S

的优势矩阵，还原算法是指利用

D_{S}

的部分元素还原软集

S

本身（Han et al^［48］利用第

i

行和第

i

列对

S

进行精确还原）. ...

... ［48］利用第

i

行和第

i

列对

S

进行精确还原）. ...

... 已有研究讨论了优势矩阵与软集0⁃1信息系统关于第一行与第一列的性质，并将这些相关的性质进一步推广到第

i

行第

i

列^［48］.在此进一步讨论其高低对角线上的性质，并对软集0⁃1信息系统的某些数字特征在优势矩阵高低对角线元素上的表现进行讨论，最后给出利用优势矩阵高低对角线上的元素还原软集0⁃1矩阵的算法. ...

... Han et al^［48］探讨了通过单行单列去还原软集0⁃1信息系统，意义在于某一元素与其他元素一一进行比较，其本质是针对同一对象的比较.而本节利用高低对角线上的元素还原软集0⁃1信息系统的意义是任意两个相邻对象之间的相互比较，找出相邻两个对象之间的优势参数结构.其相关算法如下. ...

... 信息缺失是一种十分常见的现象，如何通过已有的信息来尽可能推断出缺失信息是信息精确还原的关键.本文将信息以结构化的方式储存到优势矩阵中，并建立与软集之间的联系，由此给出一种新的基于优势矩阵部分元素还原软集的方法：通过高低对角线元素对软集的完整还原.与Han et al^[48]的还原算法不同的是，高低对角线的本质是获取任意相邻的两个对象之间的优势信息，再通过还原算法得到所有对象之间的优势信息，这相当于另一种还原模型. ...

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