决策演化集的卷积预测

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.001

决策演化集的卷积预测

胡玉文^,¹^,²^,³, 徐久成¹^,², 张倩倩¹^,²

1.河南师范大学计算机与信息工程学院，新乡，453007

2.河南省高校计算智能与数据挖掘工程技术研究中心，新乡，453007

3.河南师范大学图书馆，新乡，453007

Convolution forecast of decision evolution set

Hu Yuwen^,¹^,²^,³, Xu Jiucheng¹^,², Zhang Qianqian¹^,²

1.College of Computer and Information Engineering, Henan Normal University, Xinxiang, 453007, China

2.Engineering Technology Research Center for Computing Intelligence & Data Mining, Xinxiang, 453007, China

3.Henan Normal University Library, Xinxiang, 453007, China

通讯作者: E⁃mail：huyuwen611@qq.com

收稿日期: 2021-06-16

基金资助:

国家自然科学基金.  61976082
河南省科技创新人才项目.  184100510003
河南省科技攻关项目.  182102210362
河南省高等学校重点科研项目.  21A520024

Received: 2021-06-16

摘要

决策演化集是处理决策规则在时间序列上演化问题的理论，它将着眼点从静态的决策信息系统转移到动态的时间序列上，研究决策信息系统随时间变化时的演化规律，是一种新的决策规则研究方法.在决策演化集理论体系下预测规则伴随实际规则产生，因此预测规则必然对实际规则产生影响.为了解释预测规则和实体规则之间的相互关系，引入卷积方法，在时间序列上构建预测规则和实际规则的演化混合矩阵，并利用该矩阵对决策信息系统进行预测分析.

关键词： 粗糙集 ; 预测规则 ; 实际规则 ; 卷积预测

Abstract

Decision evolution set is a theory to deal with evolution problem of decision rules in time series. Decision evolution set transfers the focus from static decision information system to dynamic time series，which is a new decision research method to study the evolution regulations in decision information system following the time variation. In the decision evolution set theory system，the forecast rules are accompanied by the real rules，so that the forecast rules inevitably have an impact on the real rules. In order to explain the relationship between forecast rules and real rules，in this paper，the convolution method is used to construct the evolution mixed matrix of forecast rules and real rules on time series，and the matrix is used to forecast and analyze the decision information system.

Keywords： rough set ; forecast rules ; real rules ; convolution forecast

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本文引用格式

胡玉文, 徐久成, 张倩倩. 决策演化集的卷积预测. 南京大学学报（自然科学）[J], 2022, 58(1): 1-8 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.001

Hu Yuwen, Xu Jiucheng, Zhang Qianqian. Convolution forecast of decision evolution set. Journal of nanjing University[J], 2022, 58(1): 1-8 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2022.01.001

随着当今社会的快速发展，数据挖掘和人工智能受到越来越多的关注.在众多数据挖掘和人工智能方法中，粗糙集理论是处理复杂系统的有效方法，在信息科学领域非常活跃.同时，粗糙集理论被许多学者用作新的数据挖掘工具来分析时间序列问题.在粗糙集理论与时间序列相结合的理论研究方面，Yu et al^［1］提出两种动态计算粗糙近似的方法，分别对删除或添加某些属性引起的时变信息粒间值有序信息系统进行动态计算，提高了粗糙近似处理动态数据的效率.Cheng and Yang^［2］通过基于粗糙集规则归纳的模糊时间序列模型来对股票价格预测股票指数.然而，基于粗糙集理论的时间序列研究忽略了时间序列在时间序列数据动态演化中的相互关系.因此，有必要运用粗糙集理论，从时间序列的角度研究时间序列决策规则的变化规律，探讨决策信息系统的动态.从复杂性理论出发，在时间序列数据中，隐含了系统演化过程中所有变量的过去、现在和未来信息.即使是非周期性数据放在广义的时间序列下，它也受前一个时间点数据的影响，并影响下一个时间点数据.因此，从数据动态变化的角度出发，研究决策信息系统随时间演化的最终形式及其意义是值得的.Bose and Mali^［3］提出一种基于粗糙模糊方法的新的数据分割技术来克服现有高阶模糊时间序列模型的缺点.Saltos et al^［4］提出动态粗糙模糊支持向量聚类方法来跟踪聚类随着时间的推移可能经历的结构变化.Yang et al^［5］提出一种统一的决策粗糙集动态框架，将其应用于增量式三支概率区域更新.为满足动态建立数据库的需要和克服粗糙集静态约简存在的局限性，胡玉文等^［6］在粒度决策演化方面进行了相关研究.基于粒度决策演化模型，胡玉文等^［7］对演化过程中的属性进行分类，提出决策演化集，建立粒度决策代数描述和粒度决策演化矩阵.文献［8-14］从几个方面研究了粒度决策演化模型和决策演化集，但尚未研究预测规则对实际规则的影响.本文使用卷积方法，把在同一时间点下的预测规则和实际规则组成演化混合矩阵，并通过该矩阵进行预测分析.

1 预备概念

本节介绍决策演化集的一些相关概念，以方便理解本文的一些相关内容.

一个决策信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ ，其中 $U = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{|U|}\}$ 是有限非空集，称为论域或对象空间，U中的元素称为对象； $C = \{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{|C|}\}$ 也是一个有限非空集，C中的元素称为条件属性； $D = \{d_{1}, d_{2}, \dots, d_{|D|}\}$ 也是一个有限非空集，D中的元素称为决策属性，且 $C ⋂ D = \emptyset$ . $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ 为时间序列， $t_{i} \in T$ 为时间序列中的一个时间点.

定义1^［6］

$S = (U, C ⋃ D)$ ，在时间序列存在时间粒 $g_{i}, g_{i + 1} \in G = \{g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}\}$ ，在粒g_i，g_i+₁存在决策规则 $D e c i s i o n_l_{g_{i}} \to f$ 和 $D e c i s i o n_l_{g_{i + 1}} \to f$ ， $|D e c i s i o n_l_{g_{i + 1}} ⋂ D e c i s i o n_l_{g_{i}}|$ 同 $|D e c i s i o n_l_{g_{i}}|$ 的比值称g_i+₁相对于g_i的属性继承度，记为 $I n A (g_{i + 1}| g_{i})$ ：

I n A (g_{i + 1}| g_{i}) = \frac{|D e c i s i o n_l_{g_{i + 1}} ⋂ D e c i s i o n_l_{g_{i}}|}{|D e c i s i o n_l_{g_{i}}|}

定义2^［6］

$S = (U, C ⋃ D)$ ，在时间序列存在时间粒 $g_{i} \in G = \{g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}\}$ ，粒g_i存在 $D e c i s i o n_l \to f$ ， $c \in D e c i s i o n_l$ ，将c在时间粒集G中所有决策规则 $D e c i s i o n_l \to f$ 中出现的次数与决策规则总数的比值称为c相对于决策规则 $D e c i s i o n_l \to f$ 的支持度，简称属性支持度，记为 $S u p_D (c| f)$ ：

S u p_D (c| f) = \frac{|D e c i s i o n_l_{c}|}{|D e c i s i o n_l|}

定义3^［7］

$S = (U, C ⋃ D)$ ，在时间序列存在时间粒 $g_{i} \in G = \{g_{1}, g_{2}, \dots, g_{m}\}$ ，粒g_i存在 $D e c i s i o n_l \to f$ ， $c \in D e c i s i o n_l$ ，且 $S u p_D (c| f) = 1$ 的条件属性组成的集合称为决策规则 $D e c i s i o n_l \to f$ 的属性支持核，记为 $c o r e S (f)$ .

定义4^［7］

时间点t_i， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ ，则f_i在S的内演化集为：

{\bar{C}}_{f_{i}} = \{c |c \in C, S u p_D (c| f_{i}) \neq 0\}

定义5^［7］

时间点t_i， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ ，则f_i在S的外演化集为：

{\underset{̲}{C}}_{f_{i}} = \{c |c \in C, S u p_D (c| f_{i}) = 0\}

定义6^［7］

时间点t_i， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 在S的内演化集为 ${\bar{C}}_{f_{i}}$ ，集合 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{+} \subseteq {\bar{C}}_{f_{i}}$ ， $\forall c \in {\bar{C}}_{f_{i}}^{+} : S u p_D (c| f_{i}) = 1$ ，则称 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{+}$ 为f_i在S的核演化集，即：

{\bar{C}}_{f_{i}}^{+} = \{c |c \in C, S u p_D (c| f_{i}) = 1\}

定义7^［7］

$S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 在S的内演化集为 ${\bar{C}}_{f_{i}}$ ，集合 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{-} \subseteq {\bar{C}}_{f_{i}}$ ， $\forall c \in {\bar{C}}_{f_{i}} : 0 < S u p_D (c| f_{i}) < 1$ ，则称 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{-}$ 为f_i在S的从属演化集，即：

{\bar{C}}_{f_{i}}^{-} = \{c |c \in C, 0 < S u p_D (c| f_{i}) < 1\}

定义8

时间点t_i， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 在S的核演化集为 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{+}$ ，从属演化集为 ${\bar{C}}_{f_{i}}^{-}$ ，外演化集为 ${\underset{̲}{C}}_{f_{i}}$ ，则 $f_{i} = P ({\bar{C}}_{f_{i}}^{+}, {\bar{C}}_{f_{i}}^{-}, {\underset{̲}{C}}_{f_{i}})$ .

定义9^［7］

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ， $f_{i} \in D$ ，则矩阵E被称为f_i的演化矩阵：

E = (e_{i j}) = [\begin{matrix} e_{11} & \dots & e_{1 j} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ e_{i 1} & \dots & e_{i j} \end{matrix}], e_{i j} \in \{0,1\}

在时间点t_i， $c_{j} \in C$ ，如果 $c_{j} \in \bar{C}$ ，则 $e_{i j} = 1$ ，否则 $e_{i j} = 0$ .

定义10^［7］

时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i},$

$t_{i + 1}, \dots\}$ ， $S = (U, C ⋃ D)$ ，在时间点t_i下 $f_{i} \in D$ 的演化矩阵为：

E_{t_{i}} = [C o n_{t_{1}}, C o n_{t_{2}}, \dots, C o n_{t_{i}}]

其中，列向量 $C o n_{X_{j}} = {(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})}_{t_{j}}$ ， $t_{j} \in T$ ， $c_{m} \in C$

$(m = 1,2, \dots, n)$ .则时间点t_i₊₁下 $f_{i} \in D$ 的演化矩阵为：

E_{t_{i + 1}} = [E_{t_{i}}, C o n_{t_{i + 1}}]

其中，列向量 $C o n_{t_{i + 1}} = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})_{t_{i + 1}}, t_{i + 1} \in T$ .

定义11^［7］

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 的演化矩阵 $E_{t_{i}} = [E_{t_{i - 1}}, C o n_{t_{i}}, C o n_{t_{i + 1}}]$ ，则：

c o s α = \frac{C o n_{t_{i}} ∙ C o n_{t_{i + 1}}}{‖C o n_{t_{i}}‖ ∙ ‖C o n_{t_{i + 1}}‖}

称α为f_i在时间点t_i+₁的相对于时间点t_i的演化夹角.

定义12^［7］

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 的演化矩阵 $E_{t_{i}} = [E_{t_{i - 1}}, C o n_{t_{i}}]$ ， $E_{t_{i + 1}} = [E_{t_{i}}, C o n_{t_{i + 1}}]$ ，预测向量 $f o r e_{(t_{i}, t_{i + 1})} =$

(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

，则：

c o s β = \frac{f o r e_{(t_{i}, t_{i + 1})} ∙ C o n_{t_{i + 1}}}{‖f o r e_{(t_{i}, t_{i + 1})}‖ ∙ ‖C o n_{t_{i + 1}}‖}

称β为f_i在时间点t_i+₁的偏移夹角.

定义13^［7］

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ， $S = (U, C ⋃ D)$ ， $f_{i} \in D$ 的演化矩阵 $E_{t_{i}} = [E_{t_{i - 1}}, C o n_{t_{i}}, C o n_{t_{i + 1}}]$ ，预测向量 $f o r e_{t_{i}, t_{i + 1}} = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ ，则：

c o s θ = \frac{f o r e_{(t_{i}, t_{i + 1})} ∙ C o n_{t_{i}}}{‖f o r e_{(t_{i}, t_{i + 1})}‖ ∙ ‖C o n_{t_{i}}‖}

称θ为f_i在时间点t_i的预测夹角.

2 决策演化集的卷积

2.1　卷积

在通常的形式中，卷积是两个现实世界函数的数学运算.为了给出卷积的定义，引用伊恩等^［15］的方法，从可能使用的函数示例开始.

假设无人机正在跟踪汽车的位置.由无人机给出的单独输出 $x (t)$ 表示汽车在时间t的位置.x和t都是实数值，这意味着可以随时从传感器读取汽车的位置.

现在，假设无人机受到一定程度的噪音干扰，为了获得汽车位置的低噪声估计，需要对得到的测量数字值进行平均计算.显然，测量越接近，它就越相关.因此，使用加权平均法给最近的测量结果赋予更高的权重.可以使用加权函数 $ω (a)$ 来实现，a表示从当前时间开始的测量的时间间隔.如果此加权平均操作用于任何时间，则获得汽车位置的新平滑估计函数y：

y (t) = \int x (a) ω (t - a) d a

这种运算叫作卷积，通常用星号表示：

y (t) = (x * ω) (t)

本文的示例中ω必须是一个有效的概率密度函数，否则输出就不再是一个加权平均.通常卷积被定义在满足上述积分式的任意函数上，也可能被用于加权平均以外的目的.在卷积网络的术语中，卷积的第一个参数通常叫输入，第二个参数叫核函数.输出有时被称作特征映射.

要求无人机在每个瞬间反馈测量结果的想法是不切实际的，通常，当用计算机处理数据时，时间被离散化并且传感器周期性地反馈数据.所以在本文的示例中，假设传感器每秒反馈一次测量结果比较现实，那么在这样的时刻t只能取整数值.如果假设x和ω都定义在整数时间t上，就可以定义离散形式的卷积：

y (t) = (x * ω) (t) = x (a) ω (t - a)

在机器学习应用程序中，输入通常是多维数据数组，内核通常是由学习算法优化的多维数组的参数.这些多维数组叫张量.因为输入和核中的每个元素必须分别显式存储，所以通常假设这些函数的值为零，除了存储值的有限点集.这意味着在实践中，可以通过对有限数量的阵列元素求和来实现无限求和.

如果把一张二维的图像I作为输入，二维的核为K，则：

\begin{array}{l} Y (i, j) = (I * K) (i, j) = \\ \sum_{m} \sum_{n} I (m, n) K (i - m, j - n) \end{array}

卷积是可以交换的，所以可以等价地写作：

\begin{array}{l} Y (i, j) = (K * I) (i, j) = \\ \sum_{m} \sum_{n} I (i - m, j - n) K (m, n) \end{array}

2.2　决策演化集的卷积

时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ，决策表信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ ， $C = \{c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}\}$ ， $D = \{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}\}$ ，在时间点t_i获得的实际决策规则为 $D e c s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ ，在时间点t_i_-1对时间点t_i进行预测获得的规则为 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ .如果在时间点t_i，对于决策f_i， $D e c s i o n_{r e a l} \neq D e c i s i o n_{f o r e c a s t}$ ，说明预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ 没有实体化，但它并没有消失，作为一种可能性它依然存在，并对实际规则 $D e c s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ 产生影响.由决策演化集的定义可知在时间点t₀，即决策信息系统在时间序列上产生的第一个时间粒，它没有与之伴随的预测规则.在时间点t₀开始对时间点t₁的决策f_i进行预测，可得到预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t (t_{1})} \to f_{i}$ .

定义14

时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ，决策表信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ ，在时间点t_i下决策f_i的实际规则为 $D e c i s i o n_{r e a l (t_{i})} \to f_{i}$ ，预测轨迹为 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t (t_{i})} \to f_{i}$ . $D e c i s i o n_{r e a l (t_{i})}$ 对应的列向量为 $C o n_{r e a l (t_{i})} = {(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})}_{r e a l (t_{i})}$ ， $D e c i s i o n_{f o r e c a s t (t_{i})}$ 对应的列向量为 $C o n_{f o r e c a s t (t_{i})} = {(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})}_{f o r e c a s t (t_{i})}$ ，称矩阵 $E_{m i x (t_{i})} = [C o n_{f o r e c a s t (t_{i})}, C o n_{r e a l (t_{i})}]$ 为决策f_i在时间点t_i的演化混合矩阵.

由定义可知在决策信息系统S的起始阶段，即第一个时间点t₁不存在演化混合矩阵.

如果，决策表信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ 在时间点t_i时进行卷积运算中核K为：

K_{t_{i}} = [\begin{matrix} k_{1,1} & k_{1,2} \\ k_{2,1} & k_{2,2} \end{matrix}]

输入 $I = E_{m i x (t_{i})}$ ，则时间序列T来到时间点t_i时，决策信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ 的卷积为：

\begin{array}{l} Y (i, j) = (K * I) (i, j) = (K * E) (i, j) = \\ \sum_{m} \sum_{n} E_{m i x (t_{i})} (m, n) K (i - m, j - n) \end{array}

由定义和公式可知，构成卷积Y的列向量元素个数小于 $C o n_{r e a l (t_{i})}$ 中元素的个数，等于 $C o n_{f o r e c a s t (t_{i})}$ 中元素的个数，所以为了对下一个时间点t_i₊₁进行预测，建立演化混合扩展矩阵.

定义15

时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ，决策表信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ 在时间点t_i决策f_i的演化混合扩展矩阵为：

E P_{m i x (t_{i})} = [\begin{matrix} C o n_{f o r e c a s t (t_{i})} & C o n_{r e a l (t_{i})} \\ 0 & 0 \end{matrix}]

所以预测卷积为：

\begin{array}{l} Y P (i, j) = = (K * E P_{m i x (t_{i})}) (i, j) = \\ \sum_{m} \sum_{n} E P_{m i x (t_{i})} (m, n) K (i - m, j - n) \end{array}

3 实验解析

例1 进行一个数据实验来解释在决策信息系统S的操作中如何使用卷积在时间点t_i预测时间点t_i₊₁.

假设时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ ，在时间点t_i下，决策信息系统 $S = (U, C ⋃ D)$ ，条件属性集 $C = \{a, b, c, d, e, h, k, l, m, n\}$ ，决策属性集 $D = \{f\}$ ，每个属性 $c \in C ⋃ D$ 的值域 $V_{c} = \{0,1, 2\}$ .对决策信息系统S在时间序列下进行粒度划分得到粒集，时间子粒g_i（i=1，2，3，4，5，6）进行规则提取处理（忽略单个时间粒g_i的规则提取过程），得到表1.

表1 时间序列下各粒度的决策规则

Table1 Decision rules of each granularity in time series

粒	决策规则	粒	决策规则	粒	决策规则
g₁	$b_{1} d_{1} e_{0} k_{2} m_{0} n_{1} \to f_{0}$	g₂	$b_{1} c_{1} d_{2} h_{0} n_{2} \to f_{0}$	g₃	$a_{0} d_{2} h_{1} k_{1} l_{2} \to f_{0}$
	$a_{2} b_{1} c_{0} d_{2} h_{1} l_{2} m_{0} \to f_{1}$		$a_{0} b_{1} c_{0} l_{1} n_{2} \to f_{1}$		$b_{0} h_{2} m_{1} n_{2} \to f_{1}$
	$b_{0} c_{2} e_{1} k_{2} n_{0} \to f_{2}$		$a_{1} d_{2} e_{0} k_{0} \to f_{2}$		$a_{0} b_{0} e_{2} h_{1} m_{1} \to f_{2}$
g₄	$a_{0} b_{0} c_{1} d_{2} m_{2} \to f_{0}$	g₅	$c_{1} d_{2} e_{0} k_{0} l_{0} m_{1} \to f_{0}$	g₆	$a_{1} b_{1} d_{2} k_{1} l_{2} n_{0} \to f_{0}$
	$d_{0} e_{2} l_{0} n_{1} \to f_{1}$		$c_{1} d_{2} e_{0} k_{1} m_{1} \to f_{1}$		$e_{1} h_{2} k_{0} l_{1} m_{1} n_{2} \to f_{1}$
	$a_{2} b_{2} e_{1} k_{0} l_{0} n_{1} \to f_{2}$		$a_{2} b_{1} c_{2} d_{0} h_{1} k_{0} \to f_{2}$		$c_{2} d_{1} e_{1} k_{0} l_{2} \to f_{2}$

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对表1进行整理，将获得的相同决策属性值的决策规则聚合起来，如表2所示.

表2 经过整理的粒度决策规则

Table2 Sorted granularity decision rules

决策	决策规则	决策	决策规则	决策	决策规则
f₀	$b_{1} d_{1} e_{0} k_{2} m_{0} n_{1} \to f_{0}$	f₁	$a_{2} b_{1} c_{0} d_{2} h_{1} l_{2} m_{0} \to f_{1}$	f₂	$b_{0} c_{2} e_{1} k_{2} n_{0} \to f_{2}$
	$b_{1} c_{1} d_{2} h_{0} n_{2} \to f_{0}$		$a_{0} b_{1} c_{0} l_{1} n_{2} \to f_{1}$		$a_{1} d_{2} e_{0} k_{0} \to f_{2}$
	$a_{0} d_{2} h_{1} k_{1} l_{2} \to f_{0}$		$b_{0} h_{2} m_{1} n_{2} \to f_{1}$		$a_{0} b_{0} e_{2} h_{1} m_{1} \to f_{2}$
	$a_{0} b_{0} c_{1} d_{2} m_{2} \to f_{0}$		$d_{0} e_{2} l_{0} n_{1} \to f_{1}$		$a_{2} b_{2} e_{1} k_{0} l_{0} n_{1} \to f_{2}$
	$c_{1} d_{2} e_{0} k_{0} l_{0} m_{1} \to f_{0}$		$c_{1} d_{2} e_{0} k_{1} m_{1} \to f_{1}$		$a_{2} b_{1} c_{2} d_{0} h_{1} k_{0} \to f_{2}$
	$a_{1} b_{1} d_{2} k_{1} l_{2} n_{0} \to f_{0}$		$e_{1} h_{2} k_{0} l_{1} m_{1} n_{2} \to f_{1}$		$c_{2} d_{1} e_{1} k_{0} l_{2} \to f_{2}$

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以f₀为观测点为例来进行阐述.

由定义1可知，S在拥有六个时间粒时，f₀下属性继承度分别为：

I n A (g_{2}| g_{1}) = 3 / 6 I n A (g_{3}| g_{2}) = 3 / 5

I n A (g_{4}| g_{3}) = 2 / 5 I n A (g_{5}| g_{4}) = 3 / 5

I n A (g_{6}| g_{5}) = 3 / 6

由定义2可知，各属性的支持度分别为：

S u p_D (a| f_{0}) = 1 / 2 S u p_D (b| f_{0}) = 2 / 3

S u p_D (c| f_{0}) = 1 / 2 S u p_D (d| f_{0}) = 1

S u p_D (e| f_{0}) = 1 / 3 S u p_D (h| f_{0}) = 1 / 3

S u p_D (k| f_{0}) = 2 / 3 S u p_D (l| f_{0}) = 1 / 2

S u p_D (m| f_{0}) = 1 / 2 S u p_D (n| f_{0}) = 1 / 2

{\bar{C}}_{f_{0} (6)}^{+} = \{d\} {\bar{C}}_{f_{0} (6)}^{-} = \{a, b, c, e, h, k, l, m, n\}

{\underset{̲}{C}}_{f_{0} (6)} = \emptyset

将f₀下属性继承度组成序列 $I = \{3 / 6,3 / 5,2 / 5,3 / 5,3 / 6\}$ ，利用移动平均技术，在时间序列 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{i}, t_{i + 1}, \dots\}$ 的时间点t_i₊₁下新增加的粒g₇对g₆的属性继承度 $I n A = 13 / 25$ ，所以粒g₇对g₆的继承元素个数： $3 \leq C o n_{t_{i + 1}}$

中 继 承 个 数 \leq 4

支持度向量：

\begin{array}{l} s t_{(6,7)} = (S u p_D (a| f_{0}), S u p_D (b| f_{0}), S u p_D (c| f_{0}), \\ S u p_D (d| f_{0}), S u p_D (e| f_{0}), S u p_D (h| f_{0}), \\ S u p_D (k| f_{0}), S u p_D (l| f_{0}), S u p_D (m| f_{0}), \\ S u p_D (n| f_{0})) = \\ (1 / 2,2 / 3,1 / 2,1, 1 / 3,1 / 3,2 / 3,1 / 2,1 / 2,1 / 2) \end{array}

预测向量：

f o r e_{(6,7) 1} = (0,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)

f o r e_{(6,7) 2} = (1,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)

f o r e_{(6,7) 3} = (0,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,0)

f o r e_{(6,7) 4} = (0,1, 0,1, 0,0, 1,0, 1,0)

所以，

\begin{array}{l} c o s θ_{1} = \\ \frac{(0,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0) ∙ (1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)}{‖(0,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)‖ ∙ ‖(1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)‖} = \\ 3 / (\sqrt[]{3} ∙ \sqrt[]{6}) = \sqrt[]{3} / \sqrt[]{6} \end{array}

\begin{array}{l} c o s θ_{2} = \\ \frac{(1,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0) ∙ (1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)}{‖(1,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)‖ ∙ ‖(1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)‖} = \\ 4 / (2 ∙ \sqrt[]{6}) = 2 / \sqrt[]{6} \end{array}

\begin{array}{l} c o s θ_{3} = \\ \frac{(0,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,0) ∙ (1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)}{‖(0,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,0)‖ ∙ ‖(1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)‖} = \\ 4 / (2 ∙ \sqrt[]{6}) = 2 / \sqrt[]{6} \end{array}

\begin{array}{l} c o s θ_{4} = \\ \frac{(0,1, 1,1, 0,0, 1,0, 0,0) ∙ (1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)}{‖(0,1, 1,1, 0,0, 1,0, 0,0)‖ ∙ ‖(1,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,1)‖} = \\ 3 / (2 ∙ \sqrt[]{6}) = 3 / 2 \sqrt[]{6} \end{array}

所以，在时间点t_i给出的下一个时间点t_i₊₁新增时间粒g₇的条件属性向量为：

C o n_{g_{7}} = (1,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)

或

C o n_{g_{7}} = (0,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,0)

所以在时间点t_i给出的下一个时间点t_i₊₁新增时间粒g₇的f₀的预测规则为 $a b d k \to f$ 或 $b d k l \to f$ .

当时间来到时间点t_i₊₁，新增的时间粒g₇得到的决策规则如表3所示.

表3 时间粒g₇的决策规则

Table 3 Decision rules of time granule g₇

粒	决策规则
g₇	$c_{1} d_{0} e_{2} h_{2} l_{0} n_{1} \to f_{0}$
	$a_{2} b_{1} c_{2} k_{1} m_{0} n_{0} \to f_{1}$
	$b_{1} c_{0} d_{1} e_{2} k_{2} l_{0} n_{1} \to f_{2}$

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当g₇产生后，在f₀下时间粒g₇对时间粒g₆的属性继承度为 $I n A (g_{7}| g_{6}) = 1 / 2$ .

各属性的支持度分别为：

S u p_D (a| f_{0}) = 3 / 7 S u p_D (b| f_{0}) = 4 / 7

S u p_D (c| f_{0}) = 4 / 7 S u p_D (d| f_{0}) = 1

S u p_D (e| f_{0}) = 3 / 7 S u p_D (h| f_{0}) = 3 / 7

S u p_D (k| f_{0}) = 4 / 7 S u p_D (l| f_{0}) = 4 / 7

S u p_D (m| f_{0}) = 3 / 7 S u p_D (n| f_{0}) = 4 / 7

{\bar{C}}_{f_{0} (7)}^{+} = \{d\}

{\bar{C}}_{f_{0} (7)}^{-} = \{a, b, c, e, h, k, l, m, n\}

{\underset{̲}{C}}_{f_{0} (6)} = \emptyset

所以，f₀的实际规则 $c d e h l n$ 和预测规则 $a b d k \to f$ 或 $b d k l \to f$ 对应的列向量分别为 $(0,0,$

$1,1, 1,1, 0,1, 0,0)$ 和 $(1,1, 0,1, 0,0, 1,0, 0,0)$ 或 $(0,1, 0,1, 0,0, 1,1, 0,0)$ ，因此决策f₀的演化混合扩展矩阵为 $E P_{m i x} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}] 或 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}]$ ，设核K为 $[\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]$ ，所以卷积 $Y P = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}] 或 [\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ \begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ 1 \\ 1 \\ \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}]$ .

根据卷积的结果，选择值大于等于1的元素对应的属性，所以给出的时间点t_i₊₂的预测规则为 $a b c d e h k \to f_{0}$ 或 $b c d e h k \to f_{0}$ .预测规则 $a b c d e h k \to f_{0}$ 的预测夹角为51.887°，预测规则 $b c d e h k \to f_{0}$ 的预测夹角为48.19°，所以给出预测规则为 $b c d e h k \to f_{0}$ .

通过例1可以看到决策演化集的卷积是可以运行的.接下来的例2中，将决策演化集的卷积应用到wdbc数据集中进行测试.

例2 对数据集的第一步预处理使用Xu et al^［16］的方法，为了确保实验结果的可靠性，数据集都选自公共数据源.UCI数据集中常用的标准数据集wdbc，数据类型为数值型，样本数为569，基因数俄日30，类别为2.每50条数据记录作为一个时间粒进行粒度划分，获得粗糙约简后各个时间粒的约简规则.数据集中有30个基因数作为条件属性，分别用 $A 1, A 2, A 3, \dots,$ $A 30$ 表示，决策属性用F来表示，得到表4.表中数字0表示对应的条件属性被约简，而1表示对应的条件属性未被约简.

表4 经过预处理后的wdbc数据集中各属性的约简情况

Table 4 Reduction of attributes in the preprocessed wdbc database

时间粒	A1	A2	A3	A4	A5	A6	…	A30
g₁	0	1	1	0	1	0	…	0
g₂	0	1	0	1	1	0	…	0
g₃	0	1	0	0	1	0	…	0
︙	︙	︙	︙	︙	︙	︙	…	︙
g₁₂	0	0	0	0	0	0	…	0

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图1为表4在空间的表现，其中，x轴为30个条件属性，y轴为12个时间粒，z轴为某属性在当前时间粒的出现情况（0为未出现，1为出现）.

图1

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图1 wdbc数据库划分为12个时间粒的空间演化图

Fig.1 The spatial evolution of wdbc database divided into 12 time grains

通过在Matlab设计移动平均和卷积算法，在当前粒度划分得到12个时间粒的条件下，传统移动平均方法得到预测属性为 $A 10, A 12$ ，而卷积方法得到的预测属性为 $A 8, A 9, A 10, A 11, A 12$ .

UCI数据集中的常用标准数据集audit_risk，数据类型为数值型，样本数为776，条件属性为26，类别为2.每53条记录作为一个时间粒，进行粒度划分，获得各个时间粒的约简规则.数据集中有26个条件属性，分别用 $B 1, B 2, B 3, \dots, B 26$ 来表示，决策属性用F表示，得到表5.表中数字0表示对应的条件属性被约简，而1则表示对应的条件属性未被约简.

表5 经过预处理的audit_risk数据集中各属性的约简情况

Table 5 Reduction of attributes in the preprocessed audit_risk database

时间粒	B1	B2	B3	B4	B5	B6	…	B26
g₁	0	1	1	1	0	0	…	0
g₂	0	1	0	1	0	0	…	0
g₃	1	0	0	0	0	0	…	0
︙	︙	︙	︙	︙	︙	︙	…	︙
g₁₅	0	0	0	0	0	0	…	0

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图2为表5在空间的表现.其中，x轴为26个条件属性，y轴为15个时间粒，z轴为某属性在当前时间粒的出现情况（0为未出现，1为出现）.

图2

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图2 audit_risk数据库划分为15个时间粒的空间演化图

Fig.2 The spatial evolution of audit_risk database divided into 15 time grains

通过在Matlab设计移动平均和卷积算法，在当前粒度划分得到15个时间粒的条件下，传统移动平均方法得到预测属性为 $B 13$ ，而卷积方法得到的预测属性为 $B 1, B 2, B 12, B 13$ .在两个实验数据集属性预测覆盖度上的实验证明，卷积方法优于传统移动平均方法.

4 结论

胡玉文等^［7］提出决策演化集的概念，指出决策信息系统S在时间点t_i₊₁得到实际规则 $D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ 时，同时也会得到一个在时间点t_i对时间点t_i₊₁的预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ .作为实际规则 $D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ 的一个伴生关系的预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ ，它的存在必然对实际规则产生影响.通常情况下，实际规则 $D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ 与预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ 无外乎存在相等或不相等两种关系，即 $D e c i s i o n_{r e a l} = D e c i s i o n_{f o r e c a s t}$ 和 $D e c i s i o n_{r e a l} \neq D e c i s i o n_{f o r e c a s t}$ .当 $D e c i s i o n_{r e a l} \neq$

$D e c i s i o n_{f o r e c a s t}$ 时，作为伴生关系的预测规则 $D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}$ 必然会对实际规则 $D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}$ 产生影响.本文构建决策信息系统在时间点t_i下的预测规则和实际规则混合矩阵，并使用卷积方法进行处理，通过处理后的结果对下一个时间点t_i₊₁进行预测.从实验的结果看，通过卷积进行预测和传统的移动平均技术相比，可以涉及更多的属性，准确性较移动平均有所提高.本文提出决策演化集的卷积预测是利用深度学习方法改造的第一步，后续还将对决策演化集进行进一步的深度学习适应性改造，以求更好地揭示决策规则在时间序列的演化规律，提高预测的准确性，更好地为灾难预警、天气预报、医疗诊断、金融分析等领域提供决策支持.

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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2017

... 随着当今社会的快速发展，数据挖掘和人工智能受到越来越多的关注.在众多数据挖掘和人工智能方法中，粗糙集理论是处理复杂系统的有效方法，在信息科学领域非常活跃.同时，粗糙集理论被许多学者用作新的数据挖掘工具来分析时间序列问题.在粗糙集理论与时间序列相结合的理论研究方面，Yu et al^［1］提出两种动态计算粗糙近似的方法，分别对删除或添加某些属性引起的时变信息粒间值有序信息系统进行动态计算，提高了粗糙近似处理动态数据的效率.Cheng and Yang^［2］通过基于粗糙集规则归纳的模糊时间序列模型来对股票价格预测股票指数.然而，基于粗糙集理论的时间序列研究忽略了时间序列在时间序列数据动态演化中的相互关系.因此，有必要运用粗糙集理论，从时间序列的角度研究时间序列决策规则的变化规律，探讨决策信息系统的动态.从复杂性理论出发，在时间序列数据中，隐含了系统演化过程中所有变量的过去、现在和未来信息.即使是非周期性数据放在广义的时间序列下，它也受前一个时间点数据的影响，并影响下一个时间点数据.因此，从数据动态变化的角度出发，研究决策信息系统随时间演化的最终形式及其意义是值得的.Bose and Mali^［3］提出一种基于粗糙模糊方法的新的数据分割技术来克服现有高阶模糊时间序列模型的缺点.Saltos et al^［4］提出动态粗糙模糊支持向量聚类方法来跟踪聚类随着时间的推移可能经历的结构变化.Yang et al^［5］提出一种统一的决策粗糙集动态框架，将其应用于增量式三支概率区域更新.为满足动态建立数据库的需要和克服粗糙集静态约简存在的局限性，胡玉文等^［6］在粒度决策演化方面进行了相关研究.基于粒度决策演化模型，胡玉文等^［7］对演化过程中的属性进行分类，提出决策演化集，建立粒度决策代数描述和粒度决策演化矩阵.文献［8-14］从几个方面研究了粒度决策演化模型和决策演化集，但尚未研究预测规则对实际规则的影响.本文使用卷积方法，把在同一时间点下的预测规则和实际规则组成演化混合矩阵，并通过该矩阵进行预测分析. ...

Fuzzy time?series model based on rough set rule induction for forecasting stock price

2018

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Dynamic rough?fuzzy support vector clustering

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多粒度时间序列下粒度决策的演化模型研究

2011

... 定义1^［6］ ...

... 定义2^［6］ ...

多粒度时间序列下粒度决策的演化模型研究

2011

... 定义1^［6］ ...

... 定义2^［6］ ...

2013

... 定义3^［7］ ...

... 定义4^［7］ ...

... 定义5^［7］ ...

... 定义6^［7］ ...

... 定义7^［7］ ...

... 定义9^［7］ ...

... 定义10^［7］ ...

... 定义11^［7］ ...

... 定义12^［7］ ...

... 定义13^［7］ ...

... 胡玉文等^［7］提出决策演化集的概念，指出决策信息系统S在时间点t_i₊₁得到实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

时，同时也会得到一个在时间点t_i对时间点t_i₊₁的预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

.作为实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

的一个伴生关系的预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

，它的存在必然对实际规则产生影响.通常情况下，实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

与预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

无外乎存在相等或不相等两种关系，即

D e c i s i o n_{r e a l} = D e c i s i o n_{f o r e c a s t}

和

D e c i s i o n_{r e a l} \neq D e c i s i o n_{f o r e c a s t}

.当

D e c i s i o n_{r e a l} \neq

...

2013

... 定义3^［7］ ...

... 定义4^［7］ ...

... 定义5^［7］ ...

... 定义6^［7］ ...

... 定义7^［7］ ...

... 定义9^［7］ ...

... 定义10^［7］ ...

... 定义11^［7］ ...

... 定义12^［7］ ...

... 定义13^［7］ ...

... 胡玉文等^［7］提出决策演化集的概念，指出决策信息系统S在时间点t_i₊₁得到实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

时，同时也会得到一个在时间点t_i对时间点t_i₊₁的预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

.作为实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

的一个伴生关系的预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

，它的存在必然对实际规则产生影响.通常情况下，实际规则

D e c i s i o n_{r e a l} \to f_{i}

与预测规则

D e c i s i o n_{f o r e c a s t} \to f_{i}

无外乎存在相等或不相等两种关系，即

D e c i s i o n_{r e a l} = D e c i s i o n_{f o r e c a s t}

和

D e c i s i o n_{r e a l} \neq D e c i s i o n_{f o r e c a s t}

.当

D e c i s i o n_{r e a l} \neq

...

2010

决策表信息系统演化模型的回归分析预测算法

2010

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2010

粒度决策演化模型的决策稳定性研究

2012

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2012

决策演化集的纵向演化

2015

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2015

决策演化集的膜结构

2017

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2017

决策演化集的垂直膜结构

2017

决策演化集的垂直膜结构

2017

决策演化集的膜结构抑制剂

2018

决策演化集的膜结构抑制剂

2018

2017

... 在通常的形式中，卷积是两个现实世界函数的数学运算.为了给出卷积的定义，引用伊恩等^［15］的方法，从可能使用的函数示例开始. ...

Feature genes selection based on fuzzy neighborhood conditional entropy

2019

... 例2 对数据集的第一步预处理使用Xu et al^［16］的方法，为了确保实验结果的可靠性，数据集都选自公共数据源.UCI数据集中常用的标准数据集wdbc，数据类型为数值型，样本数为569，基因数俄日30，类别为2.每50条数据记录作为一个时间粒进行粒度划分，获得粗糙约简后各个时间粒的约简规则.数据集中有30个基因数作为条件属性，分别用

A 1, A 2, A 3, \dots,

A 30

表示，决策属性用F来表示，得到表4.表中数字0表示对应的条件属性被约简，而1表示对应的条件属性未被约简. ...

〈

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