基于概率语言术语集评价的三支决策方法研究

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.008

基于概率语言术语集评价的三支决策方法研究

顾萍萍¹, 周献中^,¹^,²

1.南京大学工程管理学院，南京，210093

2.南京大学智能装备新技术研究中心，南京，210093

Approaches to three⁃way decisions based on the evaluation of probabilistic linguistic terms sets

Gu Pingping¹, Zhou Xianzhong^,¹^,²

1.School of Management and Engineering，Nanjing University，Nanjing，210093，China

2.Research Center for Novel Technology of Intelligent Equipment，Nanjing University，Nanjing，210093，China

通讯作者: E⁃mail：zhouxz@nju.edu.cn

收稿日期: 2020-06-24 网络出版日期: 2020-08-14

基金资助:

国家自然科学基金. 61876079

Received: 2020-06-24 Online: 2020-08-14

摘要

概率阈值的确定一直是三支决策研究的重点，尤其是在复杂模糊环境下.引入概率语言术语集评价损失函数，提出基于概率语言术评价的三支决策阈值确定以及规则的获取方法.首先依据概率语言术语集的内涵和性质，构建三支决策问题中的概率语言术语集损失函数矩阵；再借助决策粗糙集等价模型，构建等价模型 $α - m o d e l$ 和 $β - m o d e l$ 并找出其最优解，进而确定相应的概率阈值；还提出一种具有概率语言术评价的三支决策方法．

关键词： 三支决策 ; 阈值概率 ; 概率语言术语集 ; 等价模型

Abstract

The method of determining probability thresholds of three⁃way decisions (3WDs) has always been the key of research，especially in the current environment with a large number of data and uncertainties. In the light of these problems，the loss function with Probabilistic Linguistic Terms Sets (PLTSs) is introduced in the paper，and we also propose a PLTS evaluation⁃based approach to achieve the thresholds and 3WDs. According to the definition and characters of PLTSs，the PLTSs loss function matrix is constructed firstly. Then，using the equivalent model of Decision⁃theoretic Rough Sets (DTRSs)，we construct the equivalent model (i.e.，the $α^{o p t} - m o d e l$ and the $β^{o p t} - m o d e l$ ) and try to find the optimal solution to determine the thresholds. Based on that，we propose a novel three⁃way decision approach under PLTSs evaluations. Finally，the validity of the method is verified by an example.

Keywords： three⁃way decisions ; probability thresholds ; Probabilistic Linguistic Terms Sets ; equivalent model

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本文引用格式

顾萍萍, 周献中. 基于概率语言术语集评价的三支决策方法研究. 南京大学学报（自然科学）[J], 2020, 56(4): 505-514 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.008

Gu Pingping, Zhou Xianzhong. Approaches to three⁃way decisions based on the evaluation of probabilistic linguistic terms sets. Journal of nanjing University[J], 2020, 56(4): 505-514 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.008

三支决策由加拿大华人学者Yao and Wong^[1]于20世纪90年代初提出，是一种新的用于处理不精确、不完备信息的决策分析方法.作为传统二支决策的重要推广，它将二支决策拓展为具有正域（接受决策）、负域（拒绝决策）和边界域（延迟决策）的三支决策语义，为解决复杂决策问题提供了一种有效的策略和方法.Yao^[2]在粗糙集理论模型的基础上引入Bayes风险决策方法，对多种决策的风险代价作出分析评估，得出最小风险代价评估决策结果.目前有关三支决策的理论与方法得到国内外学者的广泛关注^[3-7]，并成功应用到属性约简^[8-10]、论文评审^[11]、推荐系统^[12-13]、粒计算^[3,14]、多属性决策^[15]、模糊聚类^[16-17]、概念学习^[18-19]、医疗诊断^[20]和人脸识别^[21]等诸多学科和领域中.

1 相关工作

在三支决策领域中，概率阈值 $α$ 和 $β$ 的确定是一个重要的研究问题.目前国内外众多学者就此问题进行深入研究并取得了丰硕的研究成果^[2,22-24].Yao^[2]根据贝叶斯理论构建决策粗糙集模型直接导出概率阈值的解析解，为概率粗糙集模型的阈值对提供了合理的语义解释.在此基础上，Li and Zhou^[22]在决策过程中引入决策者的风险偏好，提出具有乐观、悲观和中立倾向的三支决策阈值表达式.Jia et al^[25]提出决策风险最小化的属性约简方法，通过研究基本模型中损失风险和阈值参数之间关系，从给定的数据中研究在决策粗糙集模型中使用的损失函数和阈值，建立优化模型并设计出一种自适应求阈值参数的算法.Azam et al^[26]为确定概率粗糙集阈值的最佳值，通过引入博弈论来研究概率阈值和它们对不同区域影响的不确定性水平之间的关系，提出一种实现最佳阈值的配置机制.在这些研究中，基本采用的代价损失函数都是实值状态.但在实际应用中，由于现实环境的复杂性、不确定性和模糊性，决策者或专家往往很难对代价损失函数给出具体的实值评价，而是更容易给出模糊或不确定的评价形式^[27-28]，诸如区间数、三角模糊数、直觉模糊集和勾股模糊集等.因此，近些年许多学者逐渐将传统的决策粗糙集拓展到模糊环境中，提出了新的决策粗糙集模型.

值得注意的是，针对项目评估、人员考核、医疗诊断等多属性决策与评价问题，依据先验性知识进行逻辑推断仍是当前的趋势.但在客观事物的复杂性和自身知识的局限性下，无法精确刻画客观事物及其属性特征，所以模糊的语言评价逐渐成为决策者新的选择.基于模糊集理论的蓬勃发展，大量学者先后提出语言术语集^[29，30]、犹豫模糊集^[31,32]、犹豫模糊语言集^[33,34]、概率语言术语集^[35]、犹豫⁃直觉模糊语言集^[36]等一系列概念及其相关理论.其中，Pang et al^[35]提出的概率语言术语集，通过多属性评价，不仅全面地刻画出决策者的评价偏好，还量了化其中的偏好程度，使决策结果更可靠且实用.目前，概率语言术语集应用于决策问题仍处于初步阶段，但也取得了一定的研究成果.因此，如何在概率语言术语集评价下确定其阈值概率 $α$ 和 $β$ 也是一个重要的研究问题.

为了解决这一问题，本文结合概率语言术语集和决策粗糙集理论构建出概率语言术语集损失函数矩阵，再引用Liu et al^[37]提出的决策粗糙集等价模型来确定概率阈值，直接获取三支决策规则.

2 预备知识

下面简要介绍概率语言术语集和决策粗糙集的一些基本知识.

2.1　概率语言术语集及其性质

定义1 设 $S$ 为一个由奇数个元素组成的集合，则该语言术语集可定义为：

S = \{s_{α} |α = 0,1, \dots, τ\}

(1)

其中， $τ$ 为正整数， $s_{α}$ 为语言术语， $s_{τ}$ 和 $s_{0}$ 分别为语言术评价的上下界，且集合 $S$ 有以下两个特性：

(1)有序性：若 $i > j$ ，则 $s_{i} > s_{j}$ .

(2)互补性：若 $α + β = τ$ ，则 $n e g (s_{α}) = s_{β}$ .

定义2 设 $s_{α}$ 和 $s_{β}$ 是两个语言术语，且 $s_{α}, s_{β} \in S$ , $λ, λ_{1}, λ_{2} \in [0,1]$ ，其运算准则如下：

s_{α} \oplus s_{β} = s_{β} \oplus s_{α} = s_{α + β}

(2)

(λ_{1} + λ_{2}) s_{α} \in λ_{1} s_{α} \oplus λ_{2} s_{α}

(3)

λ (s_{α} \oplus s_{β}) = λ s_{α} \oplus λ s_{β}

(4)

λ s_{α} = s_{λ α}

(5)

由于语言术语集通常只能得出一个等级范围，而无法准确获取一个评价等级，决策者在面对多个决策选择时都会产生犹豫，因此Rodriguez et al^[33]提出了犹豫模糊语言术语集.

定义3 设 $X$ 为给定的评价对象集， $C$ 为评价对象的属性集合， $S = \{s_{α} |α = 0,1, \dots, τ\}$ 为一个语言术语集.若对于某个 $x \in X$ 关于某个属性 $c \in C$ 的评价是 $S$ 上的一个具有 $τ_{x} + 1$ 个语言术语的有序且连续的有限子集，记为 $H (x |c)$ ，则定义：

H (x |c) = \{s_{i_{x}}, s_{i_{x} + 1}, \dots, s_{i_{x} + τ_{x}}\} \subseteq S

(6)

为 $x$ 关于属性 $c$ 的一个犹豫模糊语言术语集.

定义4 若存在 $H_{α} = \{s_{α}^{l} |l = 1,2, \dots, # H_{α}\}$ 和 $H_{β} = \{s_{β}^{l} |l = 1,2, \dots, # H_{β}\}$ 两个犹豫模糊语言术语集且 $# H_{α} = # H_{β}$ ， $λ \geq 0$ ，则有如下运算法则：

H_{α} \oplus H_{β} = \cup_{s_{α}^{l} \in H_{α}, s_{β}^{l} \in H_{β}} \{s_{α}^{l} \oplus s_{β}^{l}\}

(7)

λ H_{α} = \cup_{s_{α}^{l} \in H_{α}} \{λ s_{α}^{l}\}

(8)

其中， $s_{α}^{l}$ 和 $s_{α}^{l}$ 分别为 $H_{α}$ 和 $H_{β}$ 中的第 $l$ 个语言术语， $# H_{α}$ 和 $# H_{β}$ 分别为 $H_{α}$ 和 $H_{β}$ 的语言术语个数.

Pang et al^[35]在此基础上针对 $H (x |c)$ 中语言术语 $S_{i_{x}}$ 的不确定性以及决策者偏好，在 $S_{i_{x}}$ 中引入概率，进而提出概率语言术语集的概念.

定义5 设 $X$ 为给定的评价对象集， $C$ 为评价对象的属性集合， $S = \{s_{α} |α = 0,1, \dots, τ\}$ 是一个语言术语集，则称：

\begin{array}{l} L (p) = \{L^{(k)} (p^{(k)}) |L^{(k)} \in S, p^{(k)} \geq 0, \\ k = 1,2, \dots, # L (p), \sum_{k = 1}^{# L (p)} p^{(k)} \leq 1\} \end{array}

(9)

为 $x$ 关于属性 $c$ 的一个概率语言术语集.其中 $L^{(k)} (p^{(k)})$ 为 $x$ 关于属性 $c$ 的语言术语 $L^{(k)}$ 及其相应的概率 $p^{(k)}$ ， $# L (p)$ 为 $L (p)$ 中概率语言术语的个数.特别地，若 $\sum_{k = 1}^{# L (p)} p^{(k)} = 1$ 表示概率语言术语集 $L (p)$ 具有完备的语言术语概率分布，此时称 $L (p)$ 为正规概率语言术语集，否则称其为瑕疵概率语言术语集.若出现瑕疵概率语言术语集时，则需对其进行标准化处理.

定义6 设概率语言术语集 $L (p)$ 中 $\sum_{k = 1}^{# L (p)} p^{(k)} < 1$ ，则称：

\dot{L} (p) = \{L^{(k)} ({\dot{p}}^{(k)}) |k = 1,2, \dots, # L (p)\}

(10)

为标准概率语言术语集.其中，

{\dot{p}}^{(k)} = p^{(k)} / \sum_{k = 1}^{# L (p)} p^{(k)}, k = 1,2, \dots, # L (p)

定义7 设 $L_{1} (p)$ 和 $L_{2} (p)$ 为任意的两个概率语言术语集，若存在 $# L_{1} (p) > # L_{2} (p)$ 的情况，则可在 $L_{2} (p)$ 中增加 $# L_{1} (p) - # L_{2} (p)$ 个语言术，使 $L_{1} (p)$ 和 $L_{2} (p)$ 的语言术数量相同.在 $L_{2} (p)$ 中增加的语言术都是其中最小的语言术，且其概率均为0.

现给出：

L_{1} (p) = \{L_{1}^{(k)} (p_{1}^{(k)})| k = 1,2, . . ., # L_{1} (p)\}

和

L_{2} (p) = \{L_{2}^{(k)} (p_{2}^{(k)})| k = 1,2, . . ., # L_{2} (p)\}

其标准化处理为：

(1)若 $\sum_{k = 1}^{# L (p)} p_{i}^{^{(k)}} < 1$ ，则根据定义6得出 ${\dot{L}}_{i} (p),$

i = 1,2 .

(2)若 $# L_{1} (p) \neq # L_{2} (p)$ ,则依据定义7在元素较少的概率语言术语集添加一定的语言术语.

在定义5、定义6和定义7的基础上，Pang et al^[35]给出了概率语言术语集的基本运算法则.

定义8 设：

L_{1} (p) = \{L_{1}^{(k)} (p_{1}^{(k)})| k = 1,2, \dots, # L_{1} (p)\}

和

L_{2} (p) = \{L_{2}^{(k)} (p_{2}^{(k)})| k = 1,2, \dots, # L_{2} (p)\}

为两个概率语言术语集，且 $# L_{1} (p) = # L_{2} (p)$ ，则：

\begin{array}{l} L_{1} (p) \oplus L_{2} (p) = \\ ⋃_{L_{1}^{(k)} \in L_{1} (p), L_{2}^{(k)} \in L_{2} (p)} \{p_{1}^{(k)} L_{1}^{(k)} \oplus p_{2}^{(k)} L_{2}^{(k)}\} \end{array}

(11)

同时还存在有如下的运算准则：

λ L (p) = ⋃_{L_{}^{(k)} \in L (p)} λ p_{}^{(k)} L_{}^{(k)}

(12)

2.2　决策粗糙集

对于一个子集 $C \subseteq U$ ，在决策粗糙集模型中可以假设一个状态集合 $S = \{C,$

$\neg C\} ≜ \{P, N\}$ ，分别表示对象属于 $C$ 或属于 $C$ 补集的两种状态^[1,2,38].同时，对应于粗糙集中的正域、边界域和负域，构造决策动作集 $Α = \{a_{P}, a_{B}, a_{N}\}$ 分别表示将对象分类到正域、边界域和负域的三种决策行动.实际决策过程中，不同的决策活动可能导致不同的分类结果，可能的六种价损失函数详见表1.其中， $λ_{P P}, λ_{B P} 和 λ_{N P}$ 表示对象属于状态 $C$ 时，分别采取 $a_{P}, a_{B} 和 a_{N}$ 行动的代价损失函数.类似地， $λ_{P N}, λ_{B N} 和 λ_{N N}$ 表示对象不属于状态 $C$ 时，分别采取相应三种决策行动的代价损失函数^[2].

表1 决策代价损失函数

Table 1 Decision cost loss function

	$C (P)$	$\neg C (N)$
$a_{P}$	$λ_{P P} = λ (a_{P} \|C)$	$λ_{P N} = λ (a_{P} \|\neg C)$
$a_{B}$	$λ_{B P} = λ (a_{B} \|C)$	$λ_{B N} = λ (a_{B} \|\neg C)$
$a_{N}$	$λ_{N P} = λ (a_{N} \|C)$	$λ_{N N} = λ (a_{N} \|\neg C)$

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设 $P r (C |[o])$ 和 $P r (\neg C |[o])$ 分别表示任意对象 $o$ 是否隶属于状态 $C$ 的条件概率，则：

P r (C |[o]) + P r (\neg C |[o]) = 1

因此每一对象 $o$ 在三种行动 $a_{•} (• = P, B, N)$ 下的决策代价损失函数表示如下：

R (a_{•} |[o]) = λ_{• P} P r (C |[o]) + λ_{• N} P r (\neg C |[o])

(13)

由式(13)，依据贝叶斯决策论依据最小风险原则给出了如下决策规则：

(P)若 $R (a_{P} |[o]) \leq R (a_{B} |[o])$ 且 $R (a_{P} |[o]) \leq R (a_{N} |[o])$ ，则 $o \in P O S (C)$ ；

(B)若 $R (a_{B} |[o]) \leq R (a_{P} |[o])$ 且 $R (a_{B} |[o]) \leq R (a_{N} |[o])$ ，则 $o \in B N D (C)$ ；

(N)若 $R (a_{N} |[o]) \leq R (a_{P} |[o])$ 且 $R (a_{N} |[o]) \leq R (a_{B} |[o])$ ，则 $o \in N E G (C)$ .

上述三种规则(P)⁃(N)称三支决策，即接受决策、延迟决策和拒绝决策，相应的域分别为正域、边界域和负域^[2,39].考虑决策代价损失函数的一种合理情形，将一个属于 $C$ 的对象 $o$ 划分到正域的损耗应小于或等于将其划分到边界域的损耗，且这两种损耗都应小于将该对象划分到负域的损耗，即 $λ_{P P} \leq λ_{B P} < λ_{N P}$ 且 $λ_{N N} \leq λ_{B N} < λ_{P N}$ ^[2]，则决策规则(P)⁃(N)可进一步简化为(P1)⁃(N1)如下：

(P1)若 $P r (C |[o]) \geq α$ 且 $P r (C |[o]) \geq γ$ ，则 $o \in P O S (C)$ ；

(B1)若 $P r (C |[o]) \leq α$ 且 $P r (C |[o]) \geq β$ ，则 $o \in B N D (C)$ ；

(N1)若 $P r (C |[o]) \leq β$ 且 $P r (C |[o]) \leq γ$ ，则 $o \in N E G (C)$ .

其中：

\begin{array}{l} α = \frac{λ_{P N} - λ_{B N}}{(λ_{P N} - λ_{B N}) + (λ_{B P} - λ_{P P})} \\ β = \frac{λ_{B N} - λ_{N N}}{(λ_{B N} - λ_{N N}) + (λ_{N P} - λ_{B P})} \\ γ = \frac{λ_{P N} - λ_{N N}}{(λ_{P N} - λ_{N N}) + (λ_{N P} - λ_{P P})} \end{array}

(14)

针对上述规则(B1)，在计算中可能出现边界域不存在的情形. 假设决策边界域存在即 $α > β$ ，则：

(λ_{B P} - λ_{P P}) (λ_{B N} - λ_{N N}) < (λ_{P N} - λ_{B N}) (λ_{N P} - λ_{B P})

故 $β < γ < α$ 成立.因此，在该假设下不再需要阈值 $γ$ ，上述决策规则(P1)⁃(N1)可转化为(P2)⁃(N2)：

(P2)若 $P r (C |[o]) \geq α$ ，则 $o \in P O S (C)$ ；

(B2)若 $β < P r (C |[o]) < α$ ，则 $o \in B N D (C)$ ；

(N2)若 $P r (C |[o]) \leq β$ ，则 $o \in N E G (C)$ .

倘若进一步假设决策边界域不存在，即 $α \leq γ \leq β$ ，则规则(P1)⁃(N1)简化为(P3)⁃(N3)：

(P3)若 $P r (C |[o]) \geq γ$ ，则 $o \in P O S (C)$ ；

(N3)若 $P r (C |[o]) < γ$ ，则 $o \in N E G (C)$ .

在上述研究的基础上，Liu et al^[37]进一步探索提出了决策粗糙集等价模型，用于确定概率阈值 $α$ 和 $β$ .将对象 $o$ 隶属于状态 $C$ 和状态 $\neg C$ 的条件概率分别记为 $g = P r (C |[o])$ 和 $h = P r (\neg C |[o])$ ，则 $g + h = 1$ ，其等价模型如下：

\begin{array}{l} α^{o p t} - m o d e l : \\ α^{o p t} = m i n g \\ s . t . \{\begin{array}{l} g λ_{P P} + h λ_{P N} \leq g λ_{B P} + h λ_{B N} \\ g λ_{P P} + h λ_{P N} \leq g λ_{N P} + h λ_{N N} \\ g + h = 1, g, h \geq 0 \end{array} \end{array}

(15)

\begin{array}{l} β^{o p t} - m o d e l : \\ β^{o p t} = m a x g \\ s . t . \{\begin{array}{l} g λ_{N P} + h λ_{N N} \leq g λ_{P P} + h λ_{P N} \\ g λ_{N P} + h λ_{N N} \leq g λ_{B P} + h λ_{B N} \\ g + h = 1, g, h \geq 0 \end{array} \end{array}

(16)

式(15)表明：根据规则(P)和(P2)，在满足约束条件

R (a_{P} |[o]) \leq R (a_{B} |[o])

R (a_{P} |[o]) \leq R (a_{N} |[o])

的所有条件概率 $g$ 中，下确界 $g$ 即为阈值 $α$ .式(16)表明：根据规则(N)和(N2)，在满足约束条件

R (a_{N} |[o]) \leq R (a_{P} |[o])

，

R (a_{N} |[o]) \leq R (a_{B} |[o])

的所有条件概率 $g$ 中，上确界 $g$ 即为阈值 $β$ .Liu et al^[38]证明决策粗糙集模型与该模型在数学上等价，验证了该等价模型研究思路的可行性和正确性.本文将决策粗糙集等价模型拓展到概率语言术评价，得出其中的概率阈值及三支决策规则.

3 基于概率语言术语集评价的三支决策问题描述

针对概率语言术语集评价的三支决策问题，设其由两个状态 $S = \{C, \neg C\} ≜ \{P, N\}$ 和三种决策行动 $Α = \{a_{P}, a_{B}, a_{N}\}$ 构成，不同状态下采取不同行动的决策代价损失函数以概率语言术语集形式表示.现有 $O = \{o_{1}, o_{2}, \dots, o_{m}\}$ 个对象，在不同代价损失函数下的评价值均由专家根据经验知识采取概率语言术语集主观给出（表2）.基于表2，如何确定每一个对象 $o_{i} (i = 1,2, \dots, m)$ 的三支决策阈值 $\tilde{α}$ 和 $\tilde{β}$ 以及三支决策规则？

表2 具有多对象的概率语言术语集损失函数矩阵

Table 2 The loss function matrix of PLT with multiple objects

	$λ_{P P}$	$λ_{P N}$	$λ_{B P}$	$λ_{B N}$	$λ_{N P}$	$λ_{N N}$
$o_{1}$	$λ_{P P}^{1} = L_{P P}^{1} (P)$	$λ_{P N}^{1} = L_{P N}^{1} (P)$	$λ_{B P}^{1} = L_{B P}^{1} (P)$	$λ_{B N}^{1} = L_{B N}^{1} (P)$	$λ_{N P}^{1} = L_{N P}^{1} (P)$	$λ_{N N}^{1} = L_{N N}^{1} (P)$
$o_{2}$	$λ_{P P}^{2} = L_{P P}^{2} (P)$	$λ_{P N}^{2} = L_{P N}^{2} (P)$	$λ_{B P}^{2} = L_{B P}^{2} (P)$	$λ_{B N}^{2} = L_{B N}^{2} (P)$	$λ_{N P}^{2} = L_{N P}^{2} (P)$	$λ_{N N}^{2} = L_{N N}^{2} (P)$
…	…	…	…	…	…	…
$o_{i}$	$λ_{P P}^{i} = {L^{i}}_{P P} (P)$	$λ_{P N}^{i} = {L^{i}}_{P N} (P)$	$λ_{B P}^{i} = {L^{i}}_{B P} (P)$	$λ_{B N}^{i} = L_{B N}^{i} (P)$	$λ_{N P}^{i} = L_{N P}^{i} (P)$	$λ_{N N}^{i} = L_{N N}^{i} (P)$
…	…	…	…	…	…	…
$o_{m}$	$λ_{P P}^{m} = L_{P P}^{m} (P)$	$λ_{P N}^{m} = L_{P N}^{m} (P)$	$λ_{B P}^{m} = {L^{m}}_{B P} (P)$	$λ_{B N}^{m} = L_{B N}^{m} (P)$	$λ_{N P}^{m} = L_{N P}^{m} (P)$	$λ_{N N}^{m} = L_{N N}^{m} (P)$

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在表2中，对于任一对象 $o_{i} (1 \leq i \leq m)$ ，考虑代价损失函数的一种合理情形：

L_{P P}^{i} ≺ L_{B P}^{i} ≺ L_{N P}^{i}, L_{N N}^{i} ≺ L_{B N}^{i} ≺ L_{P N}^{i}

(17)

基于表2的概率语言术语集损失函数矩阵可构建出一个决策粗糙集模型，其中的关键点是对概率语言术语集的排序.针对该问题，Pang et al^[35]给出了概率语言术语集的得分函数和偏差度函数的定义，并在此基础上给出了概率语言术语集的排序规则.

定义9 设：

L (p) = \{L^{(k)} (p^{(k)}) |L^{(k)} \in S, k = 1,2, \dots, # L (p)\}

为 $x$ 为关于属性 $c$ 的一个概率语言术语集， $r_{k}$ 为语言术语 $L^{(k)}$ 的下标，则称：

E (L (p)) = s_{\bar{α}}

(18)

为 $L (p)$ 的得分函数，其中，

\bar{α} = \frac{\sum_{k = 1}^{# L (P)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# L (P)} p^{(k)}}

定义10 设：

L (p) = \{L^{(k)} (p^{(k)}) |L^{(k)} \in S, k = 1,2, \dots, # L (p)\}

为 $x$ 关于属性 $c$ 的一个概率语言术语集， $r_{k}$ 为语言术语 $L^{(k)}$ 的下标， $E (L (p))$ 为 $L (p)$ 的得分函数，则称：

σ (L (p)) = \frac{{(\sum_{k = 1}^{# L (P)} {(p^{(k)} (r^{(k)} - \bar{α}))}^{2})}^{1 / 2}}{\sum_{k = 1}^{# L (P)} p^{(k)}}

(19)

为 $L (p)$ 的偏差度函数.

定义11 设 $L_{1} (p)$ 和 $L_{2} (p)$ 是两个随机的概率语言术语集， $E (L_{1} (p)), σ (L_{1} (p))$ 和 $E (L_{2} (p))$ ，

$σ (L_{2} (p))$ 分别为其得分函数与偏差度函数，则两者的排序规则为：

(1)如果 $E (L_{1} (p)) > E (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) > L_{2} (p)$ ;

(2)如果 $E (L_{1} (p)) < E (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) < L_{2} (p)$ ;

(3)如果 $E (L_{1} (p)) = E (L_{2} (p))$ ，那么：

①如果 $σ (L_{1} (p)) > σ (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) < L_{2} (p)$ ;

②如果 $σ (L_{1} (p)) = σ (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) \approx L_{2} (p)$ ;

③如果 $σ (L_{1} (p)) < σ (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) > L_{2} (p)$ .

定义11表明得分函数 $E (L (p))$ 越大，相应的概率语言术语集 $L (p)$ 越优；若得分函数 $E (L (p))$ 相同，偏差度函数 $σ (L (p))$ 越小，则相应的概率语言术语集 $L (p)$ 越优.为简化排序问题的复杂度，将排序规则的第三条进行简化，提出了如下的新排序规则：

①*如果 $E (L_{1} (p)) > E (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) > L_{2} (p)$ ;

②*如果 $E (L_{1} (p)) < E (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) < L_{2} (p)$ ;

③*如果 $E (L_{1} (p)) = E (L_{2} (p))$ ，那么 $L_{1} (p) \approx L_{2} (p)$ .

在新排序准则中，若要比较两个概率语言术语集的大小，只需直接比较其得分函数的大小即可.

根据表2的语言术语概率损失函数矩阵以及概率语言术语集的运算法则，对任一对象 $o_{i}$ ，它在行动 $a_{P}, a_{B}$ 和 $a_{N}$ 下的代价损失函数分别记为 $\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}]), \tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])$ 和 $\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])$ ，则：

\begin{array}{l} \tilde{R} (a_{•} |[o_{i}]) = g_{i} λ_{• P}^{i} \oplus h_{i} λ_{• N}^{i} = \\ g_{i} L_{• P}^{i} (p) \oplus h_{i} L_{• N}^{i} (p) = \cup_{L_{• P}^{i (k)} (p^{(k)}) \in L_{• P}^{i} (p), L_{• N}^{i (k)} (p^{(k)}) \in L_{• N}^{i} (p)} \{g_{i} L_{• P}^{i (k)} (p^{(k)}) \oplus h_{i} L_{• N}^{i (k)} \{p^{(k)}\}\} (• = P, B, N) \end{array}

(20)

显然代价损失函数 $\tilde{R} (a_{•} |[o_{i}]) (• = P, B, N)$ 仍为概率语言术语集，为了后续描述的方便，将其记为：

\begin{array}{l} {Q_{•}}^{i} (p) = {Q_{•}^{^{i (k)}} (p^{(k)}) |Q_{•}^{^{i (k)}} (p^{(k)}) = g_{i} L_{• P}^{i (k)} (p^{(k)}) \oplus h_{i} L_{• N}^{i (k)} (p^{(k)}) L_{• P}^{i (k)} (p^{(k)}) \in L_{• P}^{i} (p), \\ L_{• N}^{i (k)} (p^{(k)}) \in L_{• N}^{i} (p) k = 1,2, \dots, # Q_{•}^{i} (p)} \end{array}

(21)

根据贝叶斯最小风险原则，获得如下规则：

(P6)如果 $\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}]) \underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])$ 且 $\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}])$ $\underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])$ ，那么 $o_{i} \in P O S (C)$ ；

(B6)如果 $\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}]) \underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{P} |[o_{i}])$ 且 $\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])$ $\underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])$ ，那么 $o_{i} \in B N D (C)$ ；

(N6)如果 $\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}]) \underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{P} |[o_{i}])$ 且 $\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])$ $\underset{̲}{≺} \tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])$ ，那么 $o_{i} \in N E G (C)$ .

依据规则(P6)⁃(N6)及定义9可得如下命题.

命题1 设 $\tilde{R} (a_{•} |[o_{i}]) (• = P, B, N)$ 为任一对象 $o_{i}$ 在决策行动 $a_{•}$ 下的决策代价损失函数，则其得分函数为 $E (\tilde{R} (a_{•} |[o_{i}]))$ ：

E (\tilde{R} (a_{•} |[o_{i}])) = E ({Q_{•}}^{i} (P)) = s_{\bar{α}}^{i}

(22)

其中，

\bar{α} = \frac{\sum_{k = 1}^{# {Q_{•}}^{i} (P)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# {Q_{•}}^{i} (P)} p^{(k)}}

基于命题1及定义11的排序法，决策规则(P6)⁃(N6)可进一步转化为：

(P7)如果 $E (\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}]))$ 且 $E (\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}]))$ ，那么 $o_{i} \in P O S (C)$ ；

(B7)如果 $E (\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}]))$ 且 $E (\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}]))$ ，那么 $o_{i} \in B N D (C)$ ；

(N7)如果 $E (\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{P} |[o_{i}]))$ 且 $E (\tilde{R} (a_{N} |[o_{i}])) \leq E (\tilde{R} (a_{B} |[o_{i}]))$ ，那么 $o_{i} \in N E G (C)$ .

结合规则(P7)⁃(N7)，采用决策粗糙集等价模型构建出基于概率语言术语集评价的三支决策概率阈值确定模型，从而构建出如下的线性规则模型：

\begin{array}{l} {\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l \\ {\tilde{α}}_{i}^{o p t} = m i n g_{i} \\ s . t . \{\begin{array}{l} g_{i} + h_{i} = 1, h_{i} \geq 0 \\ \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} p^{(k)}} \leq \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{B}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{B}^{i} (p)} p^{(k)}} \\ \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} p^{(k)}} \leq \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} p^{(k)}} \end{array} \end{array}

(23)

\begin{array}{l} {\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l \\ {\tilde{β}}_{i}^{o p t} = m a x g_{i} \\ s . t . \{\begin{array}{l} g_{i} + h_{i} = 1, h_{i} \geq 0 \\ \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} p^{(k)}} \leq \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{P}^{i} (p)} p^{(k)}} \\ \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{N}^{i} (p)} p^{(k)}} \leq \frac{\sum_{k = 1}^{# Q_{B}^{i} (p)} r^{(k)} p^{(k)}}{\sum_{k = 1}^{# Q_{B}^{i} (p)} p^{(k)}} \end{array} \end{array}

(24)

对于线性规划模型 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ ，可以直接通MATLAB中的Linprog函数寻找它们的最优解^[40].首先给出如下定理以保证模型最优解的存在性和唯一性.

定理1 若表2中的代价损失函数满足式(5)的条件，则 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l (i = 1,2, \dots,$

$m)$ 的最优解均存在并且是唯一的.

证明显然 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 的可行域 $D \subseteq$

$\{(g_{i}, h_{i}) |0 \leq g_{i}, h_{i} \leq 1, g_{i} + h_{i} = 1\}$ 且 $(1,0) \in D$ .因此，可行域 $D$ 是一个非空有界闭集.在线性规划问题中，当可行域为封闭的有界区域或非封闭的无界区域，一定存在最优解.再根据单纯形法，通过多次迭代运算得出其最优形式，对其中任意非基变量的检验数均为负数，则可判别出该线性规划问题具有唯一的最优解.同理， ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 也存在唯一的最优解.

4 基于概率语言术语集评价的三支决策阈值确定以及规则获取方法

针对表2中的勾股模糊评价数据，提出一种基于 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l (i = 1,2, \dots, m)$ 确定三支决策阈值的优化方法，进而直接提取三支决策规则.

步骤1：基于表2给出的具有多对象代价损失函数矩阵，构建 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ .

步骤2：通过计算得出 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 最优解，假设其最优解分别为 $α_{i}^{o p t}$ 和 $β_{i}^{o p t}$ .

(1)若 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} > {\tilde{β}}_{i}^{o p t}$ 则决策者采用三支决策模式，即

(P8)如果 $P r (C |[o_{i}]) \geq {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ ，那么 $o_{i} \in P O S (C)$ ；

(B8)如果 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} < P r (C |[o_{i}]) < {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ ，那么 $o_{i} \in B N D (C)$ ；

(N8)如果 $P r (C |[o_{i}]) \leq {\tilde{β}}_{i}^{o p t}$ ，那么 $o_{i} \in N E G (C)$ .

(2)若 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} = {\tilde{β}}_{i}^{o p t}$ ，则决策者采用二支决策，即

(P9)如果 $P r (C |[o_{i}]) \geq {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ ，那么 $o_{i} \in P O S (C)$ ；

(N9)如果 $P r (C |[o_{i}]) < {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ ，那么 $o_{i} \in N E G (C)$ .

基于上述决策步骤，给出具体的基于概率语言术语集评价的三支决策规则获取算法.

输入：表2中每个对象 $o_{i}$ 的条件概率 $P r (C |[o_{i}])$ 及其概率语言术语集损失函数值 $λ_{• \circ}^{i}$ ，其中 $i = 1,2, \dots, m; • = P, B, N; \circ = P, N .$

输出：对象 $o_{i} (i = 1,2, \dots, m)$ 的三支决策规则.

for $i = 1$ to $m$ do

根据式(23)和(24)构建 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ ，分别求出其最优解 $α_{i}^{o p t}$ 和 $β_{i}^{o p t}$ .

if ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} > {\tilde{β}}_{i}^{o p t}$ then

对象 $o_{i}$ 采用三支决策模式.

if $P r (C |[o_{i}]) \geq {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ then

决策： $o_{i} \in P O S (C)$ ；

else if $P r (C |[o_{i}]) \leq {\tilde{β}}_{i}^{o p t}$ then

决策： $o_{i} \in N E G (C)$ ；

else

决策： $o_{i} \in B N D (C)$ .

end

else

对象 $o_{i}$ 采用二支决策模式.

if $P r (C |[o_{i}]) > {\tilde{α}}_{i}^{o p t}$ then

决策： $o_{i} \in P O S (C)$ ；

else

决策： $o_{i} \in N E G (C)$ .

end

5 算例分析

为验证本文提出方法的有效性，假设有三家竞标企业同时参与某项目招标.这些企业根据以往项目承包经验可分为好企业和差企业两种；招标单位就竞标企业可以选择接受、进一步考虑和放弃三种决策；但对于不同种类的竞标企业采取三种决策所带来的代价损失函数各不相同.例如，招标单位选择接受一个好竞标企业可能带来良好的经济收益，反之则能可能导致巨大的经济损失和时间浪费.因此招标单位在筹备初期就聘请了相关领域专家对招标项目进行综合评估，以便后期作出科学合理的决策.拟对上述两种类型的竞标企业选择接受、进一步考虑或放弃决策的代价损失函数由专家根据先验知识以概率语言术的形式给出，具体详见表3.同时为简化问题，提前假设出条件概率 $P r (C| [o_{1}]) = 0.7035,$

表3 三家企业的概率语言术损失函数矩阵

Table 3 The PLTSs loss function matrix of three companies

	$o_{1}$	$o_{2}$	$o_{3}$
$λ_{P P}$	$\{s_{1} (0.40), s_{2} (0.45), s_{3} (0.15)\}$	$\{s_{1} (0.80), s_{2} (0.10), s_{3} (0.10)\}$	$\{s_{1} (0.15), s_{2} (0.25), s_{3} (0.60)\}$
$λ_{P N}$	$\{s_{1} (0.25), s_{2} (0.25), s_{3} (0.50)\}$	$\{s_{1} (0.05), s_{2} (0.20), s_{3} (0.75)\}$	$\{s_{1} (0.70), s_{2} (0.15), s_{3} (0.15)\}$
$λ_{B P}$	$\{s_{1} (0.30), s_{2} (0.55), s_{3} (0.15)\}$	$\{s_{1} (0.70), s_{2} (0.10), s_{3} (0.15)\}$	$\{s_{1} (0.15), s_{2} (0.20), s_{3} (0.65)\}$
$λ_{B N}$	$\{s_{1} (0.25), s_{2} (0.35), s_{3} (0.40)\}$	$\{s_{1} (0.10), s_{2} (0.25), s_{3} (0.65)\}$	$\{s_{1} (0.75), s_{2} (0.15), s_{3} (0.10)\}$
$λ_{N P}$	$\{s_{1} (0.25), s_{2} (0.50), s_{3} (0.25)\}$	$\{s_{1} (0.65), s_{2} (0.10), s_{3} (0.25)\}$	$\{s_{1} (0.15), s_{2} (0.15), s_{3} (0.70)\}$
$λ_{N N}$	$\{s_{1} (0.35), s_{2} (0.25), s_{3} (0.40)\}$	$\{s_{1} (0.10), s_{2} (0.35), s_{3} (0.55)\}$	$\{s_{1} (0.80), s_{2} (0.15), s_{3} (0.05)\}$

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$P r (C| [o_{2}]) = 0.6535, P r (C| [o_{3}]) = 0.3545$ .在上述信息已知的情况下，招标公司就三家竞标企业该如何进行决策？

步骤1：基于表3提供的决策代价损失函数和等价模型 ${\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l (i = 1,2, 3)$ ，以软件 $o_{1}$ 为例构建模型 ${\tilde{α}}_{1}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{1}^{o p t} - m o d e l$ ，其余类似^[37].

\begin{array}{l} {\tilde{α}}_{1}^{o p t} - m o d e l : \\ {\tilde{α}}_{1}^{o p t} = m i n g_{1} \\ \{\begin{array}{l} \frac{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.45 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}) \times 3}{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.45 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}} \leq \frac{0.3 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.55 g_{1} + 0.35 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.4 h_{1}) \times 3}{0.3 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.55 g_{1} + 0.35 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.4 h_{1}} \\ \frac{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.45 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}) \times 3}{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.45 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}} \leq \frac{0.25 g_{1} + 0.35 h_{1} + (0.5 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.25 g_{1} + 0.4 h_{1}) \times 3}{0.25 g_{1} + 0.35 h_{1} + 0.5 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.25 g_{1} + 0.4 h_{1}} \\ g_{1} + h_{1} = 1, h_{1} \geq 0 \end{array} \end{array}

\begin{array}{l} {\tilde{β}}_{1}^{o p t} - m o d e l : \\ {\tilde{β}}_{1}^{o p t} = m a x g_{1} \\ \{\begin{array}{l} \frac{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.45 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}) \times 3}{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.45 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}} \leq \frac{0.3 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.55 g_{1} + 0.35 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.4 h_{1}) \times 3}{0.3 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.55 g_{1} + 0.35 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.4 h_{1}} \\ \frac{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + (0.45 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}) \times 3}{0.4 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.45 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.15 g_{1} + 0.5 h_{1}} \leq \frac{0.25 g_{1} + 0.35 h_{1} + (0.5 g_{1} + 0.25 h_{1}) \times 2 + (0.25 g_{1} + 0.4 h_{1}) \times 3}{0.25 g_{1} + 0.35 h_{1} + 0.5 g_{1} + 0.25 h_{1} + 0.25 g_{1} + 0.4 h_{1}} \\ g_{1} + h_{1} = 1, h_{1} \geq 0 \end{array} \end{array}

步骤2：求解出 ${\tilde{α}}_{1}^{o p t} - m o d e l$ 和 ${\tilde{β}}_{1}^{o p t} - m o d e l$ 的最优解，其解 $α_{i}^{o p t}$ 和 $β_{i}^{o p t}$ 及三支决策规则如表4所示.

表4 采用提出方法获得的三家企业三支决策概率阈值及三支决策规则

Table 4 The probability thresholds and three⁃way decisions of three companies using the proposed method

$O$	$o_{1}$	$o_{2}$	$o_{3}$
$P r (C \|[o_{i}])$	0.7035	0.6535	0.3545
${\tilde{α}}_{i}^{o p t}$	0.5	0.75	0.6667
${\tilde{β}}_{i}^{o p t}$	0.4	0.2857	0.6667
决策模式	三支决策	三支决策	二支决策
决策规则	$P O S (C)$	$B N D (C)$	$N E G (C)$

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从表4可得到，三家竞标企业的三支决策概率阈值分别为 ${\tilde{α}}_{1}^{o p t} = 0.5$ ， ${\tilde{β}}_{1}^{o p t} = 0.4$ ， ${\tilde{α}}_{2}^{o p t} = 0.75$ ， ${\tilde{β}}_{2}^{o p t} = 0.2857,$ ${\tilde{α}}_{3}^{o p t} = {\tilde{β}}_{3}^{o p t} = 0.6667$ .因此，在表4给出的条件概率前提下，能确定纳入竞标范围的企业为 $o_{1}$ ，不予竞标的企业为 $o_{3}$ ，有待考虑是否赞同竞标的企业为 $o_{2}$ .

从分析结果看来，本文提出的方法能够推广到损失函数为犹豫模糊语言术和概率语言术等语言术语集形式的问题中，确定三支决策中的概率阈值并据此获取相关决策规则.

6 结论

为了解决现有方法在一些实际情形下仍难以确定三支决策概率阈值的问题，以概率语言术语集评价形式的损失函数为例提出一种基于优化模型的三支决策阈值确定新方法.引用决策粗糙集等价模型的思想，构建具有概率语言术语集损失函数的三支决策阈值确定优化模型. 算例分析结果表明了本文提出的方法能有效解决现有方法难以确定模糊语言评价三支决策概率阈值的不足. 该方法的推广有助于模糊集理论在实际决策环境中的应用，也为模糊语言评价提供了后续研究的新思路.

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[本文引用: 1]

A decision?theoretic rough set model

1990

... 三支决策由加拿大华人学者Yao and Wong^[1]于20世纪90年代初提出，是一种新的用于处理不精确、不完备信息的决策分析方法.作为传统二支决策的重要推广，它将二支决策拓展为具有正域（接受决策）、负域（拒绝决策）和边界域（延迟决策）的三支决策语义，为解决复杂决策问题提供了一种有效的策略和方法.Yao^[2]在粗糙集理论模型的基础上引入Bayes风险决策方法，对多种决策的风险代价作出分析评估，得出最小风险代价评估决策结果.目前有关三支决策的理论与方法得到国内外学者的广泛关注^[3-7]，并成功应用到属性约简^[8-10]、论文评审^[11]、推荐系统^[12-13]、粒计算^[3,14]、多属性决策^[15]、模糊聚类^[16-17]、概念学习^[18-19]、医疗诊断^[20]和人脸识别^[21]等诸多学科和领域中. ...

...

\neg C\} ≜ \{P, N\}

，分别表示对象属于

C

或属于

C

补集的两种状态^[1,2,38].同时，对应于粗糙集中的正域、边界域和负域，构造决策动作集

Α = \{a_{P}, a_{B}, a_{N}\}

分别表示将对象分类到正域、边界域和负域的三种决策行动.实际决策过程中，不同的决策活动可能导致不同的分类结果，可能的六种价损失函数详见表1.其中，

λ_{P P}, λ_{B P} 和 λ_{N P}

表示对象属于状态

C

时，分别采取

a_{P}, a_{B} 和 a_{N}

行动的代价损失函数.类似地，

λ_{P N}, λ_{B N} 和 λ_{N N}

表示对象不属于状态

C

时，分别采取相应三种决策行动的代价损失函数^[2]. ...

Three?way decisions with probabilistic rough sets

2010

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

的确定是一个重要的研究问题.目前国内外众多学者就此问题进行深入研究并取得了丰硕的研究成果^[2,22-24].Yao^[2]根据贝叶斯理论构建决策粗糙集模型直接导出概率阈值的解析解，为概率粗糙集模型的阈值对提供了合理的语义解释.在此基础上，Li and Zhou^[22]在决策过程中引入决策者的风险偏好，提出具有乐观、悲观和中立倾向的三支决策阈值表达式.Jia et al^[25]提出决策风险最小化的属性约简方法，通过研究基本模型中损失风险和阈值参数之间关系，从给定的数据中研究在决策粗糙集模型中使用的损失函数和阈值，建立优化模型并设计出一种自适应求阈值参数的算法.Azam et al^[26]为确定概率粗糙集阈值的最佳值，通过引入博弈论来研究概率阈值和它们对不同区域影响的不确定性水平之间的关系，提出一种实现最佳阈值的配置机制.在这些研究中，基本采用的代价损失函数都是实值状态.但在实际应用中，由于现实环境的复杂性、不确定性和模糊性，决策者或专家往往很难对代价损失函数给出具体的实值评价，而是更容易给出模糊或不确定的评价形式^[27-28]，诸如区间数、三角模糊数、直觉模糊集和勾股模糊集等.因此，近些年许多学者逐渐将传统的决策粗糙集拓展到模糊环境中，提出了新的决策粗糙集模型. ...

... [2]根据贝叶斯理论构建决策粗糙集模型直接导出概率阈值的解析解，为概率粗糙集模型的阈值对提供了合理的语义解释.在此基础上，Li and Zhou^[22]在决策过程中引入决策者的风险偏好，提出具有乐观、悲观和中立倾向的三支决策阈值表达式.Jia et al^[25]提出决策风险最小化的属性约简方法，通过研究基本模型中损失风险和阈值参数之间关系，从给定的数据中研究在决策粗糙集模型中使用的损失函数和阈值，建立优化模型并设计出一种自适应求阈值参数的算法.Azam et al^[26]为确定概率粗糙集阈值的最佳值，通过引入博弈论来研究概率阈值和它们对不同区域影响的不确定性水平之间的关系，提出一种实现最佳阈值的配置机制.在这些研究中，基本采用的代价损失函数都是实值状态.但在实际应用中，由于现实环境的复杂性、不确定性和模糊性，决策者或专家往往很难对代价损失函数给出具体的实值评价，而是更容易给出模糊或不确定的评价形式^[27-28]，诸如区间数、三角模糊数、直觉模糊集和勾股模糊集等.因此，近些年许多学者逐渐将传统的决策粗糙集拓展到模糊环境中，提出了新的决策粗糙集模型. ...

...

\neg C\} ≜ \{P, N\}

，分别表示对象属于

C

或属于

C

补集的两种状态^[1,2,38].同时，对应于粗糙集中的正域、边界域和负域，构造决策动作集

Α = \{a_{P}, a_{B}, a_{N}\}

λ_{P P}, λ_{B P} 和 λ_{N P}

表示对象属于状态

C

时，分别采取

a_{P}, a_{B} 和 a_{N}

行动的代价损失函数.类似地，

λ_{P N}, λ_{B N} 和 λ_{N N}

表示对象不属于状态

C

时，分别采取相应三种决策行动的代价损失函数^[2]. ...

... [2]. ...

... 上述三种规则(P)⁃(N)称三支决策，即接受决策、延迟决策和拒绝决策，相应的域分别为正域、边界域和负域^[2,39].考虑决策代价损失函数的一种合理情形，将一个属于

C

的对象

o

划分到正域的损耗应小于或等于将其划分到边界域的损耗，且这两种损耗都应小于将该对象划分到负域的损耗，即

λ_{P P} \leq λ_{B P} < λ_{N P}

且

λ_{N N} \leq λ_{B N} < λ_{P N}

^[2]，则决策规则(P)⁃(N)可进一步简化为(P1)⁃(N1)如下： ...

... [2]，则决策规则(P)⁃(N)可进一步简化为(P1)⁃(N1)如下： ...

Three?way granular computing，rough sets，and formal concept analysis

2020

... [3,14]、多属性决策^[15]、模糊聚类^[16-17]、概念学习^[18-19]、医疗诊断^[20]和人脸识别^[21]等诸多学科和领域中. ...

On two novel types of three?way decisions in three?way decision spaces

2017

Three?way fuzzy matroids and granular computing

2019

A novel three?way decision model based on incomplete information system

2016

A temporal?spatial composite sequential approach of three?way granular computing

2019

Cost?sensitive approximate attribute reduction with three?way decisions

2019

Three?way attribute reducts

2017

Three?way class?specific attribute reducts from the information viewpoint

2020

2001

Regression?based three?way recommendation

2017

Three?way recommender systems based on random forests

2016

Three?layer granular structures and three?way informational measures of a decision table

2017

Three?way decisions approach to multiple attribute group decision making with linguistic information?based decision?theoretic rough fuzzy set

2018

A three?way clustering approach for handling missing data using GTRS

2018

CE3：a three?way clustering method based on mathematical morphology

2018

Three?way cognitive concept learning via multi?granularity

2017

NIS?Apriori?based rule generation with three?way decisions and its application system in SQL

2020

A novel interval three?way concept lattice model with its application in medical diagnosis

2019

Sequential three?way decision and granulation for cost?sensitive face recognition

2015

Risk decision making based on decision?theoretic rough set：a three?way view decision model

2011

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

... [22]在决策过程中引入决策者的风险偏好，提出具有乐观、悲观和中立倾向的三支决策阈值表达式.Jia et al^[25]提出决策风险最小化的属性约简方法，通过研究基本模型中损失风险和阈值参数之间关系，从给定的数据中研究在决策粗糙集模型中使用的损失函数和阈值，建立优化模型并设计出一种自适应求阈值参数的算法.Azam et al^[26]为确定概率粗糙集阈值的最佳值，通过引入博弈论来研究概率阈值和它们对不同区域影响的不确定性水平之间的关系，提出一种实现最佳阈值的配置机制.在这些研究中，基本采用的代价损失函数都是实值状态.但在实际应用中，由于现实环境的复杂性、不确定性和模糊性，决策者或专家往往很难对代价损失函数给出具体的实值评价，而是更容易给出模糊或不确定的评价形式^[27-28]，诸如区间数、三角模糊数、直觉模糊集和勾股模糊集等.因此，近些年许多学者逐渐将传统的决策粗糙集拓展到模糊环境中，提出了新的决策粗糙集模型. ...

Deriving three?way decisions from intuitionistic fuzzy decision?theoretic rough sets

2015

Systematic studies on three?way decisions with interval?valued decision?theoretic rough sets

2014

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

On an optimization representation of decision?theoretic rough set model

2014

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

Evaluation functions and decision conditions of three?way decisions with game?theoretic rough sets

2017

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

Combining similarity and divergence measures for intuitionistic fuzzy information clustering

2019

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

基于优化模型的直觉模糊三支群决策方法

2018

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

基于优化模型的直觉模糊三支群决策方法

2018

... 在三支决策领域中，概率阈值

α

和

β

The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning?Ⅱ

1975

... 值得注意的是，针对项目评估、人员考核、医疗诊断等多属性决策与评价问题，依据先验性知识进行逻辑推断仍是当前的趋势.但在客观事物的复杂性和自身知识的局限性下，无法精确刻画客观事物及其属性特征，所以模糊的语言评价逐渐成为决策者新的选择.基于模糊集理论的蓬勃发展，大量学者先后提出语言术语集^[29，30]、犹豫模糊集^[31,32]、犹豫模糊语言集^[33,34]、概率语言术语集^[35]、犹豫⁃直觉模糊语言集^[36]等一系列概念及其相关理论.其中，Pang et al^[35]提出的概率语言术语集，通过多属性评价，不仅全面地刻画出决策者的评价偏好，还量了化其中的偏好程度，使决策结果更可靠且实用.目前，概率语言术语集应用于决策问题仍处于初步阶段，但也取得了一定的研究成果.因此，如何在概率语言术语集评价下确定其阈值概率

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

Linguistic decision?making models

1992

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

Hesitant fuzzy sets

2010

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

A group decision making model dealing with comparative linguistic expressions based on hesitant fuzzy linguistic term sets

2013

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

Hesitant fuzzy linguistic term sets for decision making

2012

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

... 由于语言术语集通常只能得出一个等级范围，而无法准确获取一个评价等级，决策者在面对多个决策选择时都会产生犹豫，因此Rodriguez et al^[33]提出了犹豫模糊语言术语集. ...

Consistency measures for hesitant fuzzy linguistic preference relations

2014

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

Probabilistic linguistic term sets in multi?attribute group decision making

2016

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

... [35]提出的概率语言术语集，通过多属性评价，不仅全面地刻画出决策者的评价偏好，还量了化其中的偏好程度，使决策结果更可靠且实用.目前，概率语言术语集应用于决策问题仍处于初步阶段，但也取得了一定的研究成果.因此，如何在概率语言术语集评价下确定其阈值概率

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

... Pang et al^[35]在此基础上针对

H (x |c)

中语言术语

S_{i_{x}}

的不确定性以及决策者偏好，在

S_{i_{x}}

中引入概率，进而提出概率语言术语集的概念. ...

... 在定义5、定义6和定义7的基础上，Pang et al^[35]给出了概率语言术语集的基本运算法则. ...

... 基于表2的概率语言术语集损失函数矩阵可构建出一个决策粗糙集模型，其中的关键点是对概率语言术语集的排序.针对该问题，Pang et al^[35]给出了概率语言术语集的得分函数和偏差度函数的定义，并在此基础上给出了概率语言术语集的排序规则. ...

Interval?valued probabilistic linguistic term sets in multi?criteria group decision making

2018

α

和

β

也是一个重要的研究问题. ...

An optimization?based formulation for three?way decisions

2019

... 为了解决这一问题，本文结合概率语言术语集和决策粗糙集理论构建出概率语言术语集损失函数矩阵，再引用Liu et al^[37]提出的决策粗糙集等价模型来确定概率阈值，直接获取三支决策规则. ...

... 在上述研究的基础上，Liu et al^[37]进一步探索提出了决策粗糙集等价模型，用于确定概率阈值

α

和

β

.将对象

o

隶属于状态

C

和状态

\neg C

的条件概率分别记为

g = P r (C |[o])

和

h = P r (\neg C |[o])

，则

g + h = 1

，其等价模型如下： ...

... 步骤1：基于表3提供的决策代价损失函数和等价模型

{\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l

和

{\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l (i = 1,2, 3)

，以软件

o_{1}

为例构建模型

{\tilde{α}}_{1}^{o p t} - m o d e l

和

{\tilde{β}}_{1}^{o p t} - m o d e l

，其余类似^[37]. ...

Decision?theoretic rough sets under dynamic granulation

2016

...

\neg C\} ≜ \{P, N\}

，分别表示对象属于

C

或属于

C

补集的两种状态^[1,2,38].同时，对应于粗糙集中的正域、边界域和负域，构造决策动作集

Α = \{a_{P}, a_{B}, a_{N}\}

λ_{P P}, λ_{B P} 和 λ_{N P}

表示对象属于状态

C

时，分别采取

a_{P}, a_{B} 和 a_{N}

行动的代价损失函数.类似地，

λ_{P N}, λ_{B N} 和 λ_{N N}

表示对象不属于状态

C

时，分别采取相应三种决策行动的代价损失函数^[2]. ...

... 的所有条件概率

g

中，上确界

g

即为阈值

β

.Liu et al^[38]证明决策粗糙集模型与该模型在数学上等价，验证了该等价模型研究思路的可行性和正确性.本文将决策粗糙集等价模型拓展到概率语言术评价，得出其中的概率阈值及三支决策规则. ...

Three?way decision and granular computing

2018

C

的对象

o

划分到正域的损耗应小于或等于将其划分到边界域的损耗，且这两种损耗都应小于将该对象划分到负域的损耗，即

λ_{P P} \leq λ_{B P} < λ_{N P}

且

λ_{N N} \leq λ_{B N} < λ_{P N}

^[2]，则决策规则(P)⁃(N)可进一步简化为(P1)⁃(N1)如下： ...

Application of MATLAB in mechanical optimal design

2014

... 对于线性规划模型

{\tilde{α}}_{i}^{o p t} - m o d e l

和

{\tilde{β}}_{i}^{o p t} - m o d e l

，可以直接通MATLAB中的Linprog函数寻找它们的最优解^[40].首先给出如下定理以保证模型最优解的存在性和唯一性. ...

〈

〉

	$C (P)$	$\neg C (N)$
$a_{P}$	$λ_{P P} = λ (a_{P} \|C)$	$λ_{P N} = λ (a_{P} \|\neg C)$
$a_{B}$	$λ_{B P} = λ (a_{B} \|C)$	$λ_{B N} = λ (a_{B} \|\neg C)$
$a_{N}$	$λ_{N P} = λ (a_{N} \|C)$	$λ_{N N} = λ (a_{N} \|\neg C)$