变精度区间集概念格

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.001

变精度区间集概念格

高云樵, 马建敏^,

长安大学理学院，西安，710064

Variable threshold interval⁃set concept lattices

Gao Yunqiao, Ma Jianmin^,

School of Science，Chang'an University，Xi'an，710064，China

通讯作者: E⁃mail: cjm⁃zm@126.com

收稿日期: 2020-06-24 网络出版日期: 2020-08-14

基金资助:

国家自然科学基金. 61772019. 61603278. 71701021

Received: 2020-06-24 Online: 2020-08-14

摘要

变精度概念格是利用蕴含算子和一个阈值定义的模糊形式背景下的概念格.为刻画部分已知的变精度概念格,将区间集引入到模糊形式背景上,定义外延与内涵均为区间集的变精度区间集概念格,研究它们的性质.在此基础上进一步研究变精度概念格与变精度区间集概念格之间的关系.根据变精度区间集概念的结构特点,将变精度区间集概念格分解成与变精度概念格同构的几个子格,由此给出了构造变精度区间集概念格的方法.

关键词： 模糊形式背景 ; 区间集 ; 变精度概念格 ; 变精度区间集概念格

Abstract

Variable threshold concept lattice is obtained by using an implication operator and a threshold value on a fuzzy formal context. In order to depict a partially⁃known variable threshold concept，the interval set is introduced into the fuzzy formal context. A variable threshold interval⁃set concept lattice is defined with whose extension and intension are both interval sets，and the related properties are also discussed. Based on these，the relationships between the variable threshold concept lattice and variable threshold interval⁃set concept lattice are studied. According to the structural characteristics of variable threshold interval⁃set concepts，a variable threshold interval⁃set concept lattice is divided into several sublattices which are isomorphic to the variable threshold concept lattice. Then the method of constructing the variable threshold interval⁃set concept lattice is given.

Keywords： fuzzy formal context ; interval set ; variable threshold concept lattice ; variable threshold interval⁃set concept lattice

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本文引用格式

高云樵, 马建敏. 变精度区间集概念格. 南京大学学报（自然科学）[J], 2020, 56(4): 437-444 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.001

Gao Yunqiao, Ma Jianmin. Variable threshold interval⁃set concept lattices. Journal of nanjing University[J], 2020, 56(4): 437-444 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2020.04.001

形式概念分析^[1-2]（也称概念格理论）由德国数学家Wille教授于1982年提出,是数据分析的一种有效工具,已被广泛应用于数据挖掘、人工智能、知识发现等诸多领域^[3].在形式概念分析中,形式背景中的二元关系是确定的,但除了这种确定的二元关系外,对象与属性之间还可能具有不确定的二元关系,模糊形式背景^[4]可以描述这种不确定性二元关系.

Burusco and Fuentes⁃Gonzalez^[5]将模糊集引入形式背景,研究了L⁃模糊概念格.Belohl􀆦vek^[6]基于Galois连接研究了模糊环境下的概念格.Zhang et al^[7]利用蕴含算子和阈值定义了模糊形式背景下的变精度概念格.仇国芳和朱朝晖^[8]在变精度概念格中基于包含度构建了决策规则及其推理算法.Lai and Zhang^[9]基于粗糙集理论证明了在一定条件下完备的模糊概念格可以表示为模糊形式背景的概念格.Li and Zhang^[10]讨论了T蕴含算子与阈值下变精度概念格的属性约简.

概念包含外延和内涵.外延是论域中组成概念的对象的集合,内涵是该概念中对象的内在特征.由于信息的缺失、不完备等原因,可以对部分对象判断是否属于该概念的外延，但很难判断所有对象是否属于该概念的外延,从而使得概念的外延部分已知.为了更清楚、明确地描述部分已知的概念，Yao^[11]在1993年利用粗糙集及推广粗糙集中上、下近似的思想提出了有限域上的一种新的集合概念：区间集.区间集是一种通过已知概念作为上界和下界对概念外延进行描述的一种不确定性方法,给出了部分已知概念的外延和内涵的可能范围.由于概念的外延与内涵是相互唯一确定的,为了更准确地刻画部分已知概念,马建敏等^[12]将区间集与概念格理论结合,提出了区间集概念格,刻画了部分已知概念的外延及内涵的范围.Ma et al^[13]提出面向对象的区间集概念格,讨论了区间集概念格、面向对象区间集概念格和面向属性区间集概念格之间的关系,建立了一种面向对象区间集概念格的构造方法.王振和魏玲^[14]研究了不完备形式背景下单边区间集概念格的属性约简.张恩胜^[15]研究了区间集概念格中区间集属性约简的组成与结构.然而,对于刻画对象和属性之间模糊关系的模糊形式背景,仍然存在外延或内涵部分已知的概念.基于此,本文在模糊形式背景中引入区间集刻画部分已知概念外延和内涵的范围,基于蕴含算子和任意给定阈值,探讨变精度区间集概念格.

本文将区间集引入模糊形式背景,基于蕴含算子和阈值定义变精度区间集概念格,讨论它们的性质.研究变精度概念格与变精度区间集概念格之间的关系.接着将变精度区间集概念格分为四个部分,其中三个部分为变精度区间集概念格的子格且与变精度区间集概念格同构,利用此结构关系给出变精度区间集概念格的构造方法.

1 变精度概念格

定义1^[16] 称 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景,其中 $U = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 为非空有限对象集,称为论域； $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}\}$ 为非空有限属性集, $\tilde{I}$ 为 $U$ 和 $A$ 之间的模糊二元关系,且对任意的 $x_{i} \in U, a_{j} \in A$ ,有 $\tilde{I} (x_{i}, a_{j}) \in [0,1]$ .分别用 $P (U)$ 和 $P (A)$ 表示 $U$ 和 $A$ 上的幂集.

设 $(U, A, \tilde{I})$ 是模糊形式背景.对任意 $X \in$

$P (U), B \in P (A)$ ,且 $0 < δ \leq 1$ ,定义两个算子^[7]如下：

X^{*_{δ}} = \{a \in A |\underset{x \in X}{\land} (X (x) \to \tilde{I} (x, a)) \geq δ\}

B^{*_{δ}} = \{x \in U |\underset{a \in B}{\land} (B (a) \to \tilde{I} (x, a)) \geq δ\}

定义2^[7] 设 $(U, A, \tilde{I})$ 是模糊形式背景.对任意 $X \in P (U), B \in P (A)$ ,且 $0 < δ \leq 1$ ,若 $X^{*_{δ}} = B, B^{*_{δ}} = X$ ,称序对 $(X, B)$ 为模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$ 的变精度形式概念（简称变精度概念）.

用 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 表示模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$ 上所有变精度概念构成的集合.

例1表1给出模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$ ,其中 $U = \{1,2, 3,4\}$ , $A = \{a, b, c, d\}$ .

表1 模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$

Table1 A fuzzy formal context $(U, A, \tilde{I})$

	$a$	$b$	$c$	$d$
1	0.5	1.0	0.7	0.4
2	0.6	0.7	1.0	0.5
3	1.0	0.9	1.0	0.1
4	1.0	0.9	0.9	0.1

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图1给出了当 $δ = 1, δ = 0.8, δ = 0.7$ 时对应的变精度概念格.

图1

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图1 不同精度下的变精度概念格

Fig.1 Variable threshold concept lattices with different threshold

2 变精度区间集概念格

一个对象是否隶属于一个概念的外延只有两种可能,即是或非.但由于信息缺失、不完备等原因,很难对所有的对象判断其是否属于哪一个概念的外延,对于内涵也是如此.这就使得概念是部分已知的.为了描述这种部分已知的概念外延（或内涵）的范围,Yao^[11]提出了区间集,通过有限域上的一对集合作为下界和上界给出部分已知概念的外延（或内涵）的范围.设 $U$ 为有限论域, $P (U)$ 为 $U$ 的幂集, $U$ 上的区间集定义^[17]为：

\begin{array}{l} 𝒳 = [X_{l}, X_{u}] = \\ \{X \in P (U) |X_{l} \subseteq X \subseteq X_{u}, X_{l}, X_{u} \subseteq U\} \end{array}

用 $I P (U)$ 表示 $U$ 上区间集的全体,则：

I P (U) = \{𝒳 = [X_{l}, X_{u}] |X_{l} \subseteq X_{u} \subseteq U\}

称为论域 $U$ 的区间集幂集.

对任意 $𝒳 = [X_{l}, X_{u}], 𝒴 = [Y_{l}, Y_{u}] \in I P (U)$ ,

区间集的交、并、差、补运算^[15]定义为：

𝒳 ⊓ 𝒴 = [X_{l} ⋂ Y_{l}, X_{u} ⋂ Y_{u}]

𝒳 ⊔ 𝒴 = [X_{l} ⋃ Y_{l}, X_{u} ⋃ Y_{u}]

𝒳 - 𝒴 = [X_{l} - Y_{u}, X_{u} - Y_{l}]

\neg 𝒳 = [U, U] - [X_{l}, X_{u}] = [X_{u}^{c}, X_{l}^{c}]

当 $X_{l} = X_{u} = X$ 时,区间集 $[X_{l}, X_{u}] = \{X\}$ ,记为 $\hat{X} = [X, X]$ ,称其为退化区间集或单点区间集.显然有：

\neg \hat{\emptyset} = \hat{U}, \neg \hat{U} = \hat{\emptyset}, \neg \hat{X} = \hat{U} - \hat{X}

区间集幂集 $I P (U)$ 上的序关系“ $⊑$ ”定义为: $𝒳 ⊑ 𝒴 \Leftrightarrow X_{l} \subseteq Y_{l}, X_{u} \subseteq Y_{u}$ .于是

𝒳 ⊑ 𝒴 \Leftrightarrow 𝒳 ⊓ 𝒴 = 𝒳 \Leftrightarrow 𝒳 ⊔ 𝒴 = 𝒴

为了给出变精度区间集概念的定义,首先定义区间集上的变精度算子.

定义3 设 $(U, A, \tilde{I})$ 是模糊形式背景,对任意区间集 $𝒳 = [X_{l}, X_{u}] \in I P (U)$ , $ℬ = [B_{l}, B_{u}] \in$

$I P (A), 0 < δ \leq 1$ ,定义区间集上的变精度算子如下：

f^{δ} (𝒳) = f^{δ} ([X_{l}, X_{u}]) = [X_{u}^{*_{δ}}, X_{l}^{*_{δ}}]

g^{δ} (ℬ) = g^{δ} ([B_{l}, B_{u}]) = [B_{u}^{*_{δ}}, B_{l}^{*_{δ}}]

其中, $f^{δ} (𝒳)$ 表示 $I P (A)$ 中介于 $X_{u}^{*_{δ}}$ 与 $X_{l}^{*_{δ}}$ 之间的属性子集全体, $g^{δ} (ℬ)$ 表示 $I P (U)$ 中介于 $B_{u}^{*_{δ}}$ 与 $B_{l}^{*_{δ}}$ 之间的对象子集全体.

定义4 设 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景.对任意区间集 $𝒳 \in I P (U), ℬ \in I P (A)$ ,且 $0 < δ \leq 1$ ,如果 $f^{δ} (𝒳) = ℬ$ 且 $g^{δ} (ℬ) = 𝒳$ ,则称 $(𝒳, ℬ)$ 为变精度区间集概念, $𝒳$ 称为变精度区间集概念 $(𝒳, ℬ)$ 的外延, $ℬ$ 称为变精度区间集概念 $(𝒳, ℬ)$ 的内涵.

性质1 设 $(U, A, \tilde{I})$ 是模糊形式背景.对任意区间集 $𝒳, 𝒳_{1}, 𝒳_{2} \in I P (U)$ , $ℬ, ℬ_{1}, ℬ_{2} \in I P (A)$ ,且 $0 < δ \leq 1$ ,下述性质成立：

（1） $\begin{array}{l} 𝒳_{1} ⊑ 𝒳_{2} \Rightarrow f^{δ} (𝒳_{2}) ⊑ f^{δ} (𝒳_{1}) \\ ℬ_{1} ⊑ ℬ_{2} \Rightarrow g^{δ} (ℬ_{2}) ⊑ g^{δ} (ℬ_{1}) \end{array}$ ;

（2） $𝒳 ⊑ g^{δ} f^{δ} (𝒳), ℬ ⊑ f^{δ} g^{δ} (ℬ)$ ;

（3） $\begin{array}{l} f^{δ} (𝒳_{1} ⊔ 𝒳_{2}) = f^{δ} (𝒳_{1}) ⊓ f^{δ} (𝒳_{2}) \\ g^{δ} (ℬ_{1} ⊔ ℬ_{2}) = g^{δ} (ℬ_{1}) ⊓ g^{δ} (ℬ_{2}) \end{array}$ ;

（4） $f^{δ} g^{δ} f^{δ} (𝒳) = f^{δ} (𝒳), g^{δ} f^{δ} g^{δ} (ℬ) = g^{δ} (ℬ)$ ;

（5） $ℬ ⊑ f^{δ} (𝒳) \Leftrightarrow 𝒳 ⊑ g^{δ} (ℬ)$ ;

（6） $\begin{array}{l} f^{δ} (𝒳_{1}) ⊔ f^{δ} (𝒳_{2}) ⊑ f^{δ} (𝒳_{1} ⊓ 𝒳_{2}) \\ g^{δ} (ℬ_{1}) ⊔ g^{δ} (ℬ_{2}) ⊑ g^{δ} (ℬ_{1} ⊓ ℬ_{2}) \end{array}$ ;

（7） $(g^{δ} f^{δ} (𝒳), f^{δ} (𝒳))$ 与 $(g^{δ} (ℬ), f^{δ} g^{δ} (ℬ))$ 均为变精度区间集概念.

用 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 表示模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$ 上所有变精度区间集概念全体.对任意 $(𝒳_{1}, ℬ_{1}), (𝒳_{2}, ℬ_{2}) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,定义二元关系“ $\leq_{δ}$ ”为：

(𝒳_{1}, ℬ_{1}) \leq_{δ} (𝒳_{2}, ℬ_{2}) \Leftrightarrow 𝒳_{1} ⊑ 𝒳_{2} \Leftrightarrow ℬ_{2} ⊑ ℬ_{1}

则“ $\leq_{δ}$ ”为 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 的偏序关系.偏序集 $(I L_{δ} (U, A, \tilde{I}), \leq_{δ})$ 构成一个完备格,称为变精度区间集概念格,其上确界与下确界分别定义为：

(𝒳_{1}, ℬ_{1}) \lor (𝒳_{2}, ℬ_{2}) = (g^{δ} f^{δ} (𝒳_{1} ⊔ 𝒳_{2}), ℬ_{1} ⊓ ℬ_{2})

(𝒳_{1}, ℬ_{1}) \land (𝒳_{2}, ℬ_{2}) = (𝒳_{1} ⊓ 𝒳_{2}, f^{δ} g^{δ} (ℬ_{1} ⊔ ℬ_{2}))

例2（续例1）考虑例1给出的模糊形式背景 $(U, A, \tilde{I})$ .

图2至图4给出了 $δ$ 取不同值时的变精度区间集概念格.

图2

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图2 $δ = 1$ 时的变精度区间概念格

Fig.2 Variable threshold interval⁃set concept lattice for $δ = 1$

图3

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图3 $δ = 0.8$ 时的变精度区间概念格

Fig.3 Variable threshold interval⁃set concept lattice for $δ = 0.8$

图4

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图4 $δ = 0.7$ 时的变精度区间集概念格

Fig.4 Variable threshold interval⁃set concept lattice for $δ = 0.7$

3 变精度区间集概念格的构造方法

为给出变精度区间集概念格的构造方法,下面首先讨论变精度概念与变精度区间集概念,变精度概念格与变精度区间集概念格之间的关系.

定理1 设 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景.若 $(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,则 $(\hat{X}, \hat{B}) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ .

证明设 $(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,则：

X^{*_{δ}} = B, B^{*_{δ}} = X

f^{δ} ([X, X]) = [X^{*_{δ}}, X^{*_{δ}}] = [B, B]

g^{δ} ([B, B]) = [B^{*_{δ}}, B^{*_{δ}}] = [X, X]

由定义4可知：

([X, X], [B, B]) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})

即 $(\hat{X}, \hat{B}) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ .

定理2 设 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景.则：

(X_{1}, B_{1}), (X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})

且

X_{1} \subseteq X_{2} \Leftrightarrow ([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})

证明必要性.设 $(X_{1}, B_{1}), (X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U,$

$A, \tilde{I})$ 则有 $X_{1}^{*_{δ}} = B_{1}, X_{2}^{*_{δ}} = B_{2},$ $B_{1}^{*_{δ}} = X_{1}, B_{2}^{*_{δ}} = X_{2}$ .由 $X_{1} \subseteq X_{2}$ 可知 $B_{2} \subseteq B_{1}$ 且 $[X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]$ 为区间集,于是：

f^{δ} ([X_{1}, X_{2}]) = [X_{2}^{*_{δ}}, X_{1}^{*_{δ}}] = [B_{2}, B_{1}]

g^{δ} ([B_{2}, B_{1}]) = [B_{1}^{*_{δ}}, B_{2}^{*_{δ}}] = [X_{1}, X_{2}]

故有：

([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})

充分性.对任意

([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})

由定义3可知：

f^{δ} ([X_{1}, X_{2}]) = [X_{2}^{*_{δ}}, X_{1}^{*_{δ}}] = [B_{2}, B_{1}]

g^{δ} ([B_{2}, B_{1}]) = [B_{1}^{*_{δ}}, B_{2}^{*_{δ}}] = [X_{1}, X_{2}]

所以有 $X_{1}^{*_{δ}} = B_{1}, X_{2}^{*_{δ}} = B_{2}, B_{1}^{*_{δ}} = X_{1}, B_{2}^{*_{δ}} = X_{2}$ ,由定义2可知 $(X_{1}, B_{1}), (X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 且 $X_{1} \subseteq X_{2}$ .

定理3 设 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景.记：

I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) = \{([\emptyset, X], [B, A])| (X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})\}

I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) = \{(\hat{X}, \hat{B}) |(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})\}

I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) = \{([X, U], [\emptyset, B])| (X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})\}

\begin{array}{l} I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I}) = \\ \{([X, Y], [C, B]) |(X, B), (Y, C) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I}), \\ X \subseteq Y, X \neq \emptyset, Y \neq U, X \neq Y\} \end{array}

则有：

\begin{array}{l} I L_{δ} (U, A, \tilde{I}) = I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋃ \\ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

证明任取 $(𝒳, ℬ) \in I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,且 $𝒳 = [X_{1}, X_{2}], ℬ = [B_{2}, B_{1}]$ .根据定理2可知 $(X_{1}, B_{1}),$

$(X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 且 $\emptyset \subseteq X_{1} \subseteq X_{2} \subseteq U$ , $\emptyset \subseteq$

B_{2} \subseteq B_{1} \subseteq A

(1)若 $X_{1} = \emptyset$ ,由 $(X_{1}, B_{1}) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 可得 $B_{1} = A$ ,则：

\begin{array}{l} (𝒳, ℬ) = ([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) = \\ ([\emptyset, X_{2}], [B_{2}, A]) \in I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

(2)若 $X_{1} = X_{2}$ ,有 $(X_{1}, B_{1}) = (X_{2}, B_{2})$ ,则：

(𝒳, ℬ) = ({\hat{X}}_{1}, {\hat{B}}_{1}) \in I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})

(3)若 $X_{2} = U$ ,由 $(X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 可得 $B_{2} = \emptyset$ ,则：

\begin{array}{l} (𝒳, ℬ) = ([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) = \\ ([[X_{1}, U], [\emptyset, B_{1}]) \in I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

(4)若 $X_{1} \neq \emptyset, X_{1} \neq U$ 且 $X_{1} \neq X_{2}$ 则有 $(X_{1}, B_{1}) \neq (X_{2}, B_{2})$ ,由 $(X_{1}, B_{1}), (X_{2}, B_{2}) \in L_{δ} (U,$

$A, \tilde{I})$ 可得：

(𝒳, ℬ) = ([X_{1}, X_{2}], [B_{2}, B_{1}]) \in I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})

由以上(1)~(4)可知：

\begin{array}{l} I L_{δ} (U, A, \tilde{I}) \subseteq I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋃ \\ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

另一方面,由 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 的定义可得：

\begin{array}{l} I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) ⋃ \\ I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I}) \subseteq I L_{δ} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

故而：

\begin{array}{l} I L_{δ} (U, A, \tilde{I}) = I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋃ \\ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) ⋃ I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

由定理3可知 $I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 的交集均为空集. $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 两两之间的交集为：

I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋂ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) = (\hat{U}, \hat{\emptyset})

I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ⋂ I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) = (\hat{\emptyset}, \hat{A})

I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ⋂ I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) = ([\emptyset, U], [\emptyset, A])

定理4 设 $(U, A, \tilde{I})$ 为模糊形式背景.则：

(1) $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 均为 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 的子格;

(2) $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ≅ L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ;

(3) $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I}) ≅ L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ;

(4) $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I}) ≅ L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ .

证明 (1)由定理3可知 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 非空.

\forall ([\emptyset, X], [B, A]), ([\emptyset, Y], [C, A]) \in I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})

有

(X, B), (Y, C) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})

于是：

\begin{array}{l} ([\emptyset, X], [B, A]) \lor ([\emptyset, Y], [C, A]) = \\ (g^{δ} f^{δ} ([\emptyset, X] ⊔ [\emptyset, Y]), [B, A] ⊓ [C, A]) = \\ (g^{δ} f^{δ} [\emptyset, X ⋃ Y], [B ⋂ C, A]) = \\ ([\emptyset^{*_{δ} *_{δ}}, {(X ⋃ Y)}^{*_{δ} *_{δ}}], [B ⋂ C, A]) = \\ ([\emptyset, {(X ⋃ Y)}^{*_{δ} *_{δ}}], [B ⋂ C, A]) \in I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

类似地,可以得到：

\begin{array}{l} ([\emptyset, X], [B, A]) \land ([\emptyset, Y], [C, A]) = \\ ([\emptyset, X] ⋂ [\emptyset, Y], f^{δ} g^{δ} ([B, A] ⋃ [C, A])) = \\ ([\emptyset, X ⋂ Y], f^{δ} g^{δ} ([B ⋃ C, A])) = \\ ([\emptyset, X ⋂ Y], [{(B ⋃ C)}^{*_{δ} *_{δ}^{}}, A^{*_{δ} *_{δ}^{}}]) = \\ ([\emptyset, X ⋂ Y], [{(B ⋃ C)}^{*_{δ} *_{δ}^{}}, A]) \in I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) \end{array}

综上可知 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 为 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 的子格.

类似可证 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 也为 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 的子格.

(2)定义一个映射 $φ : L_{δ} (U, A, \tilde{I}) \to I L_{δ}^{l} (U,$

$A, \tilde{I})$ ,满足对任意 $(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ , $φ ((X, B)) = ([\emptyset, X], [B, A])$ .显然 $φ$ 是一个双射,且对任意 $(X, B), (Y, C) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ，

\begin{array}{l} φ ((X, B) \land (Y, C)) = \\ φ ((X ⋂ Y), f^{δ} g^{δ} (B ⋃ C)) = \\ φ ((X ⋂ Y), {(B ⋃ C)}^{*_{δ} *_{δ}}) = \\ ([\emptyset, X ⋂ Y], [{(B ⋃ C)}^{*_{δ} *_{δ}}, A]) \end{array}

\begin{array}{l} φ ((X, B)) \land φ ((Y, C)) = \\ ([\emptyset, X], [B, A]) \land ([\emptyset, Y], [C, A]) = \\ ([\emptyset, X] ⊓ [\emptyset, Y], f^{δ} g^{δ} ([B, A] ⊔ [C, A])) = \\ ([\emptyset, X ⋂ Y], [{(B ⋃ C)}^{*_{δ} *_{δ}}, A]) \end{array}

于是，

φ ((X, B) \land (Y, C)) = φ ((X, B)) \land φ ((Y, C))

类似可证：

φ ((X, B) \lor (Y, C)) = φ ((X, B)) \lor φ ((Y, C))

因此 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 是同构的,即 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I}) ≅ L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ .

类似可证(3)和(4)成立.

根据以上定理,可以给出变精度区间集概念格的构造方法.

步骤1 利用单点区间集 $\hat{X}$ 与 $\hat{B}$ 代替变精度概念 $(X, B)$ 的外延与内涵,构造 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ .

由定理4知 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ 与 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 同构.故将变精度概念的外延与内涵改为单点区间集,即可得同构的变精度区间集概念格的外延与内涵.根据例1中 $δ = 0.8$ 时的变精度概念格,图5给出了相应的变精度区间集概念格 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ （为方便起见,在变精度区间集概念格的图中只列出变精度区间集概念的外延）.

图5

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图5 $δ = 0.8$ 时 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$

Fig.5 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ and $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ for $δ = 0.8$

步骤2 分别用区间集 $[\emptyset, X]$ 与 $[B, A]$ 代替变精度区间集概念的外延 $X$ 与内涵 $B$ ,即得 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ .

由定理4知 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 与 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 同构.对任意 $(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,区间集概念 $([\emptyset, X],$

$[B, A]) \in I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ .图6给出例1中 $δ = 0.8$ 时的 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ (绿色)和 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ (黑色).

图6

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图6 $δ = 0.8$ 时 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$

Fig.6 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ and $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ for $δ = 0.8$

步骤3 分别用区间集 $[X, U]$ 与 $[\emptyset, B]$ 代替变精度区间集概念的外延 $X$ 与内涵 $B$ ,生成 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ .

由定理4知 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 与 $L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ 同构.对任意 $(X, B) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ ,区间集概念 $([X, U], [\emptyset, B]) \in I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ .图7给出了例1中 $δ = 0.8$ 时的 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ (蓝色), $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ (绿色)和 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ (黑色).

图7

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图7 $δ = 0.8$ 时 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$

Fig.7 $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ and $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ for $δ = 0.8$

步骤4 对任意

\begin{array}{l} (X, B), (Y, C) \in L_{δ} (U, A, \tilde{I}), \\ X \subseteq Y, X \neq \emptyset, Y \neq U \end{array}

分别用区间集 $[X, Y]$ 与 $[C, B]$ 作为变精度区间集概念的外延与内涵,生成 $I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})$ .

图8给出例1中 $δ = 0.8$ 时的 $I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})$ (红色), $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ (蓝色), $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ (绿色)和 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ (黑色).

图8

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图8 $δ = 0.8$ 时 $I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$

Fig.8 $I L_{δ}^{p} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ ， $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ and $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ for $δ = 0.8$

步骤5 删去重复出现的 $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{u} (U,$

$A, \tilde{I})$ 的交集 $(\hat{U}, \hat{\emptyset})$ , $I L_{δ}^{s} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 的交集 $(\hat{\emptyset}, \hat{A})$ , $I L_{δ}^{u} (U, A, \tilde{I})$ 与 $I L_{δ}^{l} (U, A, \tilde{I})$ 的交集 $([\emptyset, U], [\emptyset, A])$ ,在偏序关系 $\leq_{δ}$ 下重新排列图8中所有变精度区间集概念,即得例1中 $δ = 0.8$ 时的变精度区间集概念格,如图9所示.

图9

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图9 $δ = 0.8$ 时 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$

Fig.9 $I L_{δ} (U, A, \tilde{I})$ for $δ = 0.8$

类似地,可以给出当 $δ$ 取不同值时,由变精度概念格构造的变精度区间集概念格.

4 结论

本文将区间集引入到模糊形式背景中,提出了基于蕴含算子和阈值的变精度区间集概念格.通过研究变精度概念格与变精度区间集概念格之间的关系,将变精度区间集概念格分为四个部分,通过研究它们与变精度概念格的关系,给出了变精度区间集概念格的构造方法，为处理模糊、不确定的信息提供了新的思路.基于本文的研究成果,下一步将研究变精度对象区间集概念格与变精度属性区间集概念格的构造、相关性质以及与它们之间的相互关系.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Wille

Restructuring lattice theory：an approach based on hierarchies of concepts

∥Rival I. Ordered sets. Springer Berlin Heidelberg，1982：445-470.