小开口声传输有源控制的次级源和误差传感策略研究

doi:10.13232/j.cnki.jnju.2019.05.010

小开口声传输有源控制的次级源和误差传感策略研究

张聪鑫¹, 邹海山^,¹, 邱小军²

1. 南京大学声学研究所，近代声学教育部重点实验室，南京，210093

2. 悉尼科技大学工程与信息技术学院，声与振动中心，悉尼，2007，澳大利亚

Secondary source and error sensing strategies for active control ofsound transmission via a small opening

Zhang Congxin¹, Zou Haishan^,¹, Qiu Xiaojun²

1. Key Laboratory of Modern Acoustics，Ministry of Education，Institute of Acoustics of Nanjing University，Nanjing，210093，China

2. Center for Audio，Acoustics and Vibration，Faculty of Engineering and Information Technology，University of Technology Sydney，Sydney，2007，Australia

通讯作者: E⁃mail：hszou@nju.edu.cn

收稿日期: 2019-04-16 网络出版日期: 2019-09-22

基金资助:

国家自然科学基金. 11874218. 11874219

Received: 2019-04-16 Online: 2019-09-22

摘要

为建筑物提供自然通风和采光功能设置的开口有时成为整个结构隔声的薄弱部分.开口的有源控制一般用于低频降噪，针对4000 Hz以下频段噪声，研究无限大障板上小开口有源控制及其次级源和误差传感策略.基于模态展开法建立了无限大障板上矩形开口声传输的数值模型，通过仿真比较不同初级声场条件下，不同次级源和误差传感策略对有源控制系统性能的影响.结果表明，有源控制系统的控制频率上限由开口模态对应的特征频率决定，使用合理的次级源和误差传感策略可提升有源控制的频率上限.对于厚度为31.8 cm的墙上边长为6 cm的方形开口，实验结果表明单通道控制系统和4通道控制系统分别在2750 Hz和3900 Hz以下获得10 dB以上降噪量.这一系统可应用于同时有通风和降噪要求的场合.

关键词： 小开口 ; 有源控制 ; 声传输 ; 组合声源

Abstract

The openings of an enclosure provide natural ventilation and light but also act as weak parts for noise insulation of the whole structure. Active control systems have been applied in openings in the low frequency range. In this paper，secondary source and error sensing strategies for active control of the sound transmission through a small opening in an infinitely large baffle is investigated to improve the control range to up to 4000 Hz. Based on the modal expansion method，the sound transmission model of rectangular opening with point source incidence is established，and the effects of different secondary source and the error sensor strategies are compared numerically. The simulation results show the upper limit frequency of effective control is determined by the eigen frequency of the acoustic modes of the opening and can be improved to the middle and high frequency range with proper secondary source and error sensing strategies. The experimental results with an opening of 6 cm by 6 cm on a 31.8 cm thick wall demonstrate that the upper limit frequency of effective control is 2750 Hz for a single⁃channel system and 3900 Hz for a 4⁃channel system with the noise reduction more than 10 dB. Implementing active control in small openings can be applied to many noise control scenarios which have both noise reduction and ventilation requirements in the middle to high frequency range.

Keywords： small opening ; active noise control ; sound transmission ; compound source

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本文引用格式

张聪鑫, 邹海山, 邱小军. 小开口声传输有源控制的次级源和误差传感策略研究. 南京大学学报（自然科学版）[J], 2019, 55(5): 781-790 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2019.05.010

Zhang Congxin, Zou Haishan, Qiu Xiaojun. Secondary source and error sensing strategies for active control ofsound transmission via a small opening. Journal of nanjing University[J], 2019, 55(5): 781-790 doi:10.13232/j.cnki.jnju.2019.05.010

窗户、门和通风管道等建筑物开口提供自然通风和采光功能，同时也成为整个结构隔声的薄弱部分，因此开口噪声控制的研究受到了关注.通常采用传统的被动噪声控制方法降低通过建筑物开口传播的噪声.Field and Fricke^[1]在开口内设计1/4波长管，在以1.25 kHz和3.15 kHz为中心频率的三分之一倍频程获得6~7 dB的降噪量.Kang and Brocklesby^[2]在交错开口窗户的通风路径上使用透明微穿孔板消声，在800~8000 Hz获得5.8 dB的总降噪量.被动控制方法可有效降低中高频噪声，但对于低频噪声，因材料体积和重量限制，降噪效果较差；另一方面，阻性材料引起压力损失降低了通风效果.

有源控制系统在低频降噪效果好，可提升通过开口传播的低频噪声控制效果.为降低传入房间的噪声，Kwon and Park^[3]将八个次级声源等间距安装在面积为0.09 m²的窗户的边框，开窗情况下在400~1000 Hz频段获得约10 dB的降噪量.Lam et al^[4]则将16个次级声源均匀布放在面积为0.279 m²的窗口平面上，在2000 Hz以下频段总降噪量达5 dB.Huang et al^[5]在交错开口的通风窗中设计有源控制系统，单通道系统和2通道系统分别在390 Hz和420 Hz以下获得10 dB以上的降噪量.Elliot et al^[6]研究开口大小对控制性能的影响，发现当开口尺寸与波长可比拟时，少量次级源即可获得良好的控制效果，当开口尺寸大于波长时，需要使用较多次级声源才可实现较好的控制效果.

现有研究采用被动控制方法降低通过开口传播的高频噪声，有源控制系统则主要针对大型开口的低频噪声进行设计.在一些实际应用场合，需要将有源控制系统的控制频率范围扩展到中高频，如4000 Hz，使开口更好地同时满足通风和隔声需求.研究表明优化的次级源策略与误差传感策略可提高有源降噪系统的控制效果，扩展降噪频段^[7,8]，为此本文提出一种适用于小开口的有源控制系统，基于模态展开法建立数值模型，通过数值仿真分析次级源和误差传感策略对控制效果的影响，设计优化的策略扩展系统的噪声控制频段，最后在消声室中进行实验对数值模型和仿真进行验证.

1 数值模型

早期研究用平面波正入射下无限大障板上的圆形开口模型来分析墙上开口的传声特性.Bouwkamp^[9]利用积分方程建立边界条件，将开口的透射系数表示为ka的函数（k为波数，a为开口半径），指出低频时透射系数与ka无关，高频时透射系数趋于1.Wilson and Soroka^[10]结合活塞辐射理论与开口内平面波假设，得到任意厚度障板上开口传输损失的近似解，在ka<8时该近似解与实验结果的平均误差小于2 dB.对于类似边界条件的矩形开口，Sauter and Soroka^[11]的研究表明方形开口的传声特性与圆形开口相似.

数值模型常用于研究复杂声场下的开口传声特性.Sgard et al^[12]提出基于模态展开法的数值模型预测平面波不同角度入射下开口的传输损失，有限元软件仿真和实验均验证了该模型的准确性^[12,13].对于点声源入射的情况，Horner and Peat^[14]提出了一种近似模型求解圆形开口的传输损失，由于忽略了高阶模态的耦合，因此当点声源靠近开口时该模型失效.Poblet⁃Puig and Rodríguez⁃Ferran^[15]研究连通两个房间的开口的传输损失，由于考虑房间与开口的相互作用，需要计算两个房间的本征模式，因此该方法计算量很大.

本文基于模态展开法建立无限大障板上点源入射下的矩形开口的声传输模型，无限大障板上矩形开口的侧视图如图1所示，开口尺寸为L_x×L_y×t.初级源位于开口外，次级源位于开口内，均设为点声源.图中直角坐标系原点位于初级源入射侧开口端面的中心.

图1

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图1 厚度为t的无限大障板上的开口

Fig.1 An opening in an infinitely large wall with a thickness of t

1.1　初级声场

如图1所示，开口入射侧的声压为入射声压p_i、反射声压p_r和散射声压p_s之和^[12]：

p_{1} (r) = p_{i} (r) + p_{r} (r) + p_{s} (r)

(1)

式中r=(x，y，z)为入射侧空间任意一点.入射声压、反射声压和散射声压分别表示为：

p_{i} (r) = \frac{j ω ρ q_{p}}{4 π |r - r_{p}|} e^{- j k |r - r_{p}|}

(2)

p_{r} (r) = \frac{j ω ρ q_{p}}{4 π |r - {r^{'}}_{p}|} e^{- j k |r - {r^{'}}_{p}|}

(3)

p_{s} (r) = - \int_{S_{1}} G (r, r_{1}) \frac{\partial p_{s} (r_{1})}{\partial z} d s

(4)

式中j为虚数单位，波数k=ω/c，ω为角频率，声速c=340 m·s^-1，空气密度ρ=1.225 kg·m^-3，

q_p为初级源源强.r_p=(x_p，y_p，z_p)和r′_p=(x_p，y_p，-z_p)分别为初级源及其关于障板入射侧的镜像点的坐标.S₁为开口的入射侧端面，r₁=(x₁，y₁，0)为S₁上任意一点.G(r，r₁)为半无限大空间的格林函数：

G (r, r_{1}) = \frac{e^{- j k |r - r_{1}|}}{2 π |r - r_{1}|}

(5)

开口内声场采用模态展开可表示为^[12]

p_{o} (r) = \overset{\infty}{\sum_{m = 0}} [A_{m} e^{- j k_{m} z} + B_{m} e^{j k_{m} z}] ϕ_{m} (x, y)

(6)

式中，ϕ_m(x，y)为截面尺寸为L_x×L_y的无限长刚性矩形管道第(m_x，m_y)阶模态的特征函数：

\begin{array}{l} ϕ_{m} (x, y) = \\ c o s [\frac{m_{x} π}{L_{x}} (x + \frac{L_{x}}{2})] c o s [\frac{m_{y} π}{L_{y}} (y + \frac{L_{y}}{2})] \end{array}

(7)

A_m和B_m分别为沿z轴正半轴和负半轴传播的模态的幅值.k_m和k满足关系：

k_{m} = \sqrt[]{k^{2} - {(\frac{m_{x} π}{L_{x}})}^{2} - {(\frac{m_{y} π}{L_{y}})}^{2}}

(8)

透射侧声压可表示为：

p_{2} (r) = \int_{S_{2}} G (r, r_{2}) \frac{\partial p_{2} (r_{2})}{\partial z} d s

(9)

式中S₂为开口的透射侧端面，r₂=(x₂，y₂，t)为S₂上任意一点.

开口两端边界条件为^[12]：

{p_{1} (r)|}_{z = 0} = {p_{o} (r)|}_{z = 0}

(10a)

{\frac{\partial p_{1} (r)}{\partial z}|}_{z = 0} = {\frac{\partial p_{o} (r)}{\partial z}|}_{z = 0}

(10b)

{p_{2} (r)|}_{z = t} = {p_{o} (r)|}_{z = t}

(11a)

{\frac{\partial p_{2} (r)}{\partial z}|}_{z = t} = {\frac{\partial p_{o} (r)}{\partial z}|}_{z = t}

(11b)

将式(1)、式(6)和式(9)代入式(10)和式(11)，等式两端同乘ϕ_n(x，y)，并对开口两端积分可得：

\begin{array}{l} \frac{L_{x} L_{y}}{ω ρ} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} k_{n} (- A_{n} + B_{n}) Z_{m n} = \\ (A_{m} + B_{m}) N_{m}^{2} - F_{m} \end{array}

(12)

- \frac{L_{x} L_{y}}{ω ρ} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} k_{n} (- A_{n} e^{- j k_{n} t} + B_{n} e^{j k_{n} t}) Z_{m n} = (A_{m} e^{- j k_{n} t} + B_{m} e^{j k_{n} t}) N_{m}^{2}

(13)

式中， $N_{m}^{2} = ε_{m_{x}} ε_{m_{y}} L_{x} L_{y} / 4$ ， $ε_{0} = 2$ , $ε_{m_{x}} = 1$ (m_x≠0), $ε_{m_{y}} = 1$ (m_y≠0)，且

F_{m} = j ω ρ q_{p} \int_{- \frac{L_{x}}{2}}^{\frac{L_{x}}{2}} \int_{- \frac{L_{y}}{2}}^{\frac{L_{y}}{2}} \frac{e^{- j k |r_{1} - r_{p}|}}{2 π |r_{1} - r_{p}|} ϕ_{m} (x_{1}, y_{1}) d x_{1} d y_{1}

(14)

\begin{matrix} Z_{m n} = \frac{j ω ρ}{L_{x} L_{y}} \int_{- \frac{L_{x}}{2}}^{\frac{L_{x}}{2}} \int_{- \frac{L_{y}}{2}}^{\frac{L_{y}}{2}} \int_{- \frac{L_{x}}{2}}^{\frac{L_{x}}{2}} \int_{- \frac{L_{y}}{2}}^{\frac{L_{y}}{2}} \frac{e^{- j k_{0} |r_{0} - r_{1}|}}{2 π |r_{0} - r_{1}|} \\ ϕ_{m} (x_{1}, y_{1}) ϕ_{n} (x_{0}, y_{0}) d x_{1} d y_{1} d x_{0} d y_{0} \end{matrix}

(15)

式中，r₀=(x₀，y₀，0)，r₁=(x₁，y₁，0)均位于S₁上，Z_mn为第(m_x，m_y)阶模态和第(n_x，n_y)阶模态的互辐射阻抗^[16].式(14)和式(15)的积分可由数值方法求解.

A_m和B_m可通过式(12)和式(13)计算得到，将式(11b)代入式(9)可计算位于S₂上任意一点r₂的声压，进而得出r₂的质点速度.根据上述声压和质点速度可求解初级源到该点的声压传递函数Z_pr(r₂，r_p)和z方向质点速度传递函数 Y_pr(r₂，r_p).

当初级源由K个位于r_p,₁，r_p_,2，…，r_p_,_K的点声源组成时，位于S₂上任意一点r₂的声压和z方向质点速度表示为：

p_{o} (r_{2}) = Z_{p r}^{T} (r_{2}) q_{p}^{}

(16)

v_{o, z}^{} (r_{2}) = Y_{p r}^{T} (r_{2}) q_{p}

(17)

式中，q_p=[q_p_,1，q_p_,2，…，q_p_,_K]^T为初级源源强矢量，Z_pr(r₂)=[Z_pr(r₂，r_p,₁)，Z_pr(r₂，r_p_,2)，…，Z_pr(r₂，r_p_,_K)]^T和Y_pr(r₂)=[Y_pr(r₂，r_p,₁)，Y_pr(r₂，r_p_,2)，…，Y_pr(r₂，r_p,K)]^T为初级源到r₂点的声压传递函数矢量和z方向质点速度传递函数矢量.在r₂点z方向的声强为：

I_{p z} (r_{2}) = \frac{1}{2} R e \{p_{o} (r_{2}) v_{o, z}^{*} (r_{2})\}

(18)

将式(16)和式(17)代入式(18)可得：

\begin{array}{l} I_{p z} (r_{2}) = \frac{1}{4} q_{p}^{H} (Y_{p r}^{*} (r_{2}) Z_{p r}^{T} (r_{2}) + \\ Z_{p r}^{*} (r_{2}) Y_{p r}^{T} (r_{2})) q_{p} \end{array}

(19)

初级源的透射声功率为开口透射侧端面声强的z方向分量的积分，即：

W_{p} = \int_{S_{2}} I_{p z} (r_{2}) d s

(20)

上式可用模态振幅表示为：

W_{p} = \frac{1}{2 ρ ω} R e \{\overset{K}{\sum_{k = 1}} \begin{array}{l} \overset{\infty}{\sum_{m = 0}} [A_{m} (r_{p, k}) + B_{m} (r_{p, k})] \\ {[A_{m} (r_{p, k}) - B_{m} (r_{p, k})]}^{*} k_{m}^{*} N_{m}^{2} \end{array}\}

(21)

1.2　次级声场

次级源布放在开口内，此时开口入射侧没有入射声和反射声，仅有散射声，其声压为：

p_{1} (r) = - \int_{S_{1}} G (r, r_{1}) \frac{\partial p_{s} (r_{1})}{\partial z} d s

(22)

开口内由次级源产生的声场表示为^[17]：

p_{o} (r) = \overset{\infty}{\sum_{m = 0}} [U_{m} e^{- j k_{m} z} + V_{m} e^{j k_{m} z}] ϕ_{m} (x, y) + \int_{V} j ω ρ q_{s} G_{A} (r, r_{s}) d V

(23)

式中，U_m和V_m分别为沿z轴正半轴和负半轴传播的第m阶模态的幅值，q_s为次级源源强，r_s为次级源位置.G_A(r，r_s)为两端开口的刚性管道的格林函数^[18]：

G_{A} (r, r_{s}) = \frac{- j}{2} \overset{\infty}{\sum_{m = 0}} \frac{ϕ_{m} (x, y) ϕ_{m} (x_{s}, y_{s})}{N_{m}^{2} k_{m}} e^{- j k_{m} |z - z_{s}|}

(24)

与初级声场推导过程类似，根据式(22)、式(23)、式(9)、式(10)和式(11)可以得到

F_{1} = U_{m} N_{m}^{2} + \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} j k_{n} U_{n} Z_{m n} + V_{m} N_{m}^{2} - \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} j k_{n} V_{n} Z_{m n}

(25)

F_{2} = U_{m} e^{- j k_{m} t} N_{m}^{2} + V_{m} e^{j k_{m} t} N_{n}^{2} - \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} j k_{n} U_{n} e^{- j k_{n} t} Z_{m n} + \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} j k_{n} V_{n} e^{j k_{n} t} Z_{m n}

(26)

式中，

F_{1} = - \frac{ω ρ q_{s}}{2} \cdot \frac{e^{- j k_{m} z_{s}} ϕ_{m} (x_{s}, y_{s})}{k_{m}} - \frac{ω ρ q_{s}}{2} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{j e^{- j k_{n} z_{s}}}{N_{n}^{2}} ϕ_{n} (x_{s}, y_{s}) Z_{m n}

(27)

F_{2} = - \frac{ω ρ q_{s}}{2} \cdot \frac{e^{- j k_{m} (t - z_{s})} ϕ_{m} (x_{s}, y_{s})}{k_{m}} - \frac{ω ρ q_{s}}{2} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{j e^{- j k_{n} (t - z_{s})}}{N_{n}^{2}} ϕ_{n} (x_{s}, y_{s}) Z_{m n}

(28)

U_m和V_m可由式(25)和式(26)解得，将式(11b)代入式(9)可计算开口透射侧任意一点的声压.

1.3　代价函数

讨论两种不同的代价函数，即误差点处的声压平方和与总透射声功率.代价函数为误差点声压平方和可定义为^[17]：

J_{p} = \overset{L}{\sum_{i = 1}} {|p_{e, i}|}^{2} + β q_{s}^{H} q_{s}

(29)

式中L为误差点个数，p_e,i为第i个误差点处的声压，q_s为次级源源强.β为约束次级源源强的正则化因子，为模拟实际情况，设置参数β使有源控制系统降噪量低于50 dB，降噪量大于50 dB的系统性能可认为并无差别.令∂J_p/∂q_s=0可计算出M个次级源的最优源强为

q_{s, o p t} = - {(Ζ_{s e}^{H} Ζ_{s e} + β I)}^{- 1} Ζ_{s e}^{H} Ζ_{p e} q_{p}

(30)

式中，I为单位矩阵，Z_se为从M个次级源到L个误差点的声压传递函数矩阵，Z_pe为初级源到L个误差点的传递函数矩阵.初级声场和次级声场在开口内的声压可由式(6)和式(23)求得，Z_pe和Z_se可由初级声场和次级声场在开口内的声压分别除以q_p和q_s求得.

代价函数为总透射声功率可定义为：

J_{w} = \int_{S_{2}} I_{t z} (r_{2}) d s + β q_{s}^{H} q_{s}

(31)

式中I_tz(r₂)为r₂处声强的z方向分量^[8]，可表示为：

\begin{array}{l} I_{t z} (r_{2}) = \\ q_{s}^{H} \{\frac{1}{4} [Y_{s r}^{*} (r_{2}) Z_{s r}^{T} (r_{2}) + Z_{s r}^{*} (r_{2}) Y_{s r}^{T} (r_{2})]\} q_{s} + \\ q_{s}^{H} \{\frac{1}{4} [q_{p}^{H} Z_{p r}^{*} (r_{2}) Y_{s r}^{T} (r_{2}) + Y_{p r}^{H} (r_{2}) q_{p}^{*} Z_{s r}^{T} (r_{2})]\} + \\ {\{\frac{1}{4} [q_{p}^{H} Z_{p r}^{*} (r_{2}) Y_{s r}^{T} (r_{2}) + Y_{p r}^{H} (r_{2}) q_{p}^{*} Z_{s r}^{T} (r_{2})]\}}^{H} q_{s} + \\ I_{p z} (r_{2}) \end{array}

(32)

式中，Z_sr(r₂)和Y_sr(r₂)为M个次级源到r₂的声压传递函数和z方向质点速度传递函数.I_pz(r₂)为初级源在r₂处声强的z方向分量，表达式如式(19)所示.

将式(32)代入式(31)可得：

J_{w} = q_{s}^{H} (A_{w} + β I) q_{s} + q_{s}^{H} b_{w} + b_{w}^{H} q_{s} + c_{w}

(33)

式中，

A_{w} = \int_{S_{2}} \frac{1}{4} [Y_{s r}^{*} (r_{2}) Z_{s r}^{T} (r_{2}) + Z_{s r}^{*} (r_{2}) Y_{s r}^{T} (r_{2})] d s

(34a)

b_{w} = \int_{S_{2}} \frac{1}{4} [q_{p}^{H} Z_{p r}^{*} (r_{2}) Y_{s r}^{T} (r_{2}) + Y_{p r}^{H} (r_{2}) q_{p}^{*} Z_{s r}^{T} (r_{2})] d s

(34b)

c_{w} = W_{p}

(34c)

令∂J_w/∂q_s=0可计算出M个次级源的最优源强：

q_{s, o p t} = - {(A_{w} + β I)}^{- 1} b_{w}

(35)

将式(30)或式(35)代入式(32)可得I_tz(r₂)，将I_tz(rr₂)代入式(20)替换I_pz(r₂)可得降噪后开口透射声功率：

W_{t, o p t} = q_{s, o p t}^{H} A_{w} q_{s, o p t} + q_{s, o p t}^{H} b_{w} + b_{w}^{H} q_{s, o p t} + c_{w}

(36)

有源控制系统的降噪量定义为控制前后开口透射声功率的衰减量：

N R = 10 l g \frac{W_{p}}{W_{t, o p t}}

(37)

2 仿真

2.1　模型验证

使用商用有限元软件LMS Virtual Lab 12对数值模型进行验证.数值模型计算时考虑从第(0，0)阶至第(7，7)阶共64阶模态，进一步增加模态数有源控制系统降噪量的变化小于0.1 dB，即模型已足够准确.矩形开口L_x=6 cm，L_y=6 cm，t=30 cm，因此开口截止频率为2833 Hz^[19]，其中开口边长为6 cm，既能保证良好的通风性能又能使用通道数较少的有源控制系统对4000 Hz以下噪声进行控制.初级源与次级源幅值均设为10^-4 kg·s^-2，分别位于(-0.04，-0.03，-0.1) m和(0.03，0，0.15) m，开口透射侧位于(-0.1，0.08，0.42) m的测点声压级的有限元仿真和数值模型计算结果如图2所示，可见二者吻合良好，误差小于1 dB.

图2

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图2 数值模型与有限元仿真测量点声压级的比较

Fig. 2 Comparison of sound pressure level at the measurement point between analytical model and commercial software

2.2　次级源策略对有源控制系统性能的影响

比较三种次级声源策略，分别为单次级源(ANC 1C⁃1S⁃W)、由四个次级源构成的单通道组合声源(ANC 1C⁃4S⁃W)和4通道系统(ANC 4C⁃4S⁃W)，其中同样包含四个次级声源，单通道组合声源的四个次级源使用同一信号驱动（在模型中为次级源源强相同），可使用单通道控制器，而4通道系统使用4通道控制器（在模型中为次级源源强各异）.括号内的缩写词中ANC表示有源控制系统，nC表示使用n个通道的控制器，nS表示使用n个次级源，W表示代价函数为总透射声功率.次级源的布放位置如图3所示，1至4号扬声器的位置分别为(0，0.03，0.15) m，(0，-0.03，0.15) m，(0.03，0，0.15) m和(-0.03，0，0.15) m.单次级源系统使用1号扬声器作为次级源，四个次级源的系统使用1至4号扬声器作为次级源.

图3

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图3 次级源与误差点位于开口侧壁的开口示意图

Fig. 3 The scheme of the opening with the secondary sources and the error sensors on the side wall of the opening

首先比较单通道系统的性能.不同初级声场入射条件下单次级源(ANC 1C⁃1S⁃W)和组合次级源(ANC 1C⁃4S⁃W)的有源控制系统降噪量如图4所示.图4a中初级源正入射，距离坐标原点1 m；图4b中初级源从(30°，30°)方向入射，距离坐标原点1 m；图4c中13个初级源均匀分布在半径为4 m且球心位于坐标原点的半球上以模拟随机入射的初级声场.仿真表明初级源不同角度斜入射时有源控制系统降噪量曲线特征类似，本文仅选取初级源从(30°，30°)方向入射的情形进行显示.

图4

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图4 次级源个数对有源控制系统降噪量的影响

Fig.4 Effects of the number of secondary sources on the noise reduction of the ANC system

(a) primary source normal incidence，(b) primary source oblique incidence，(c) primary source random incidence

由图4可见，在开口截止频率以下不同次级源个数的有源控制系统降噪量很接近，此时开口中为平面波声场，单个次级源即可产生抵消初级噪声的平面波.在截止频率以上ANC 1C⁃1S⁃W几乎没有降噪效果，是因为此时初级源和次级源在开口中均会产生高次波，无论何种初级源入射方式，次级声场和初级声场均难以匹配.ANC 1C⁃4S⁃W的降噪量始终大于ANC 1C⁃1S⁃W的降噪量，即增加次级源个数可以提高有源控制系统在截止频率以上的降噪量.进一步比较图4a至图4c中ANC 1C⁃4S⁃W的降噪量曲线，可见在截止频率以上初级源正入射降噪量最大，初级源随机入射降噪量次之，初级源斜入射降噪量最低.这是由于ANC 1C⁃4S⁃W中次级源对称布放使次级声场关于x轴和y轴对称，初级源正入射下初级声场对称而初级源从(30°，30°)方向入射初级声场不对称，因而四个次级源的有源控制系统在初级声源正入射时与次级声场较初级源从(30°，30°)方向入射时更匹配.初级源随机入射时初级声场对称性在初级声源正入射和从(30°，30°)方向入射之间，因此降噪量也在两者之间.

其次比较不同通道数的控制系统性能.初级源从(30°，30°)方向入射时单通道组合次级源系统(ANC 1C⁃4S⁃W)和4通道系统(ANC 4C⁃4S⁃W)的降噪量如图5所示.虽然都包含四个次级声源，ANC 1C⁃4S⁃W在截止频率以上降噪量低于10 dB，而ANC 4C⁃4S⁃W在4000 Hz以下降噪量基本大于30 dB，即通道数从一个增加至4个可以使开口内有源控制系统的控制频率上限由2833 Hz提升至4000 Hz以上，这是由于多通道系统可以控制开口中传播的高次模态.边长为0.06 m的方形开口的(0，1)模态和(1，0)模态对应的模态频率相同，均为4007 Hz.ANC 4C⁃4S⁃W可同时控制开口中的(0，1)模态和(1，0)模态，因此可以将控制范围上限扩展到4000 Hz以上.

图5

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图5 初级源从(30°，30°)方向入射4个次级源的单通道系统和4通道系统的降噪量

Fig.5 Noise reductions of different channels with 4 secondary sources for the primary sound field with oblique incidence from (30°，30°) direction

2.3　误差传感策略对有源控制性能的影响

实际应用中很难测量并计算开口的透射声功率，通常采用多个误差传声器的声压平方和作为代价函数^[3,4,17].使用单次级源有源控制系统来比较3种代价函数，即单个误差传声器处的声压(ANC 1C⁃1S⁃1E)、四个误差传声器处的声压平方和(ANC 1C⁃1S⁃4E)以及总透射声功率(ANC 1C⁃1S⁃W)对系统性能的影响，其中缩写词中nE表示代价函数为n个误差传声器处的声压平方和.为便于实际安装，误差传声器位于开口内z=0.24 m的四周壁面的中点，如图6所示.对于使用单误差传声器的有源控制系统，误差传声器位于次级源的同一侧壁面.

图6

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图6 位于z = 0.24 m截面的误差传声器的位置

Fig.6 The locations of the error sensors at z = 0.24 m

初级源从(30°，30°)方向入射时单次级源的有源控制系统使用不同代价函数的降噪性能如图7所示.代价函数为单个误差传声器的声压平方时在2000 Hz以上降噪量低于20 dB，这是因为开口深度较浅且次级源与误差点距离较短，截止频率以下开口中的高次模态未完全衰减，ANC 1C⁃1S⁃1E无法控制开口中的高次模态导致在2000 Hz以上的降噪量降低.误差传声器个数从一个增加到四个，有源控制系统降噪量上升并接近以透射声功率作为代价函数的系统.

图7

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图7 单次级源的有源控制系统使用不同代价函数的降噪量

Fig.7 The noise reduction of 1 secondary source system with different cost functions

3 实验

实验在南京大学全消声室中进行.实验环境如图8所示，消声箱五面由2 mm厚的铁板制成，长120 cm，宽110 cm，深110 cm，另外一面用一层中密度纤维板密封.矩形开口的一端位于纤维板的中心，开口的另一端位于两块长110 cm、宽100 cm、总厚度3.6 cm的中密度纤维板组成的障板上.开口的长度、宽度和深度分别为6 cm、6 cm和31.8 cm.消声箱的四壁填充100 mm厚的玻璃棉，底部固定尖劈长度为400 mm的吸声尖劈，可近似为开口透射侧的半无限大空间.纤维板的厚度为1.8 cm，面密度约为30 kg·m^-2.消声室作为开口入射侧，初级源位于(0.25，0，-0.482)m，初级源信号由B&K Pulse 3160 LAN⁃Xi产生.四个作为次级源使用的扬声器位于开口侧壁(0.03，0，0.168) m，(-0.03，0，0.168) m，(0，0.03，0.168) m和(0，-0.03，0.168) m处，当次级源为单个扬声器时，使用位于(0.03，0，0.168) m处的扬声器作为次级源.误差传声器位于(0.03，0，0.258) m，(-0.03，0，0.258) m，(0，0.03，0.258) m，(0，-0.03，0.258) m处，当代价函数为单个误差点声压平方时，使用位于(0.03，0，0.258) m处的误差点的声压平方作为代价函数.实验中采用嵌入多通道FxLMS算法的商用控制器(Tigeranc II Lite，Antysound)，采样频率为16 kHz，驱动初级源的电信号输入控制器作为完美参考信号.测点位于消声箱内(0，0.02，0.688) m处.

图8

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图8 实验环境

Fig.8 Experimental setup

(a) schematic of the opening and the anechoic box

(b) photo of the anechoic chamber，the opening and the anechoic box

初级源信号频率取值范围为200~4000 Hz，间距50 Hz，测点控制前后声压级随频率的变化如图9所示，红色圆圈曲线是测点在自由场中声压级，蓝色十字曲线为测点控制前声压级，红色圆圈曲线和蓝色十字曲线的差值为开口的被动隔声量.黑色三角形曲线表明，单个次级源、单个误差传声器的单通道系统(ANC 1C⁃1S⁃1E)在1200 Hz以下的多数频率降噪量超过10 dB.绿色方形曲线表明，单个次级源、4个误差传声器的单通道系统(ANC 1C⁃1S⁃4E)在2750 Hz以下的多数频率降噪量超过10 dB.仿真显示单通道系统控制上限频率为开口截止频率，因此实验中单通道系统的测量频率上限均为2800 Hz.四个误差传声器的有源控制系统性能优于一个误差传声器的系统，与仿真结果一致.黄色五角星形曲线表明，四个次级源、四个误差传声器的4通道有源控制系统(ANC 4C⁃4S⁃4E)在4000 Hz以下的多数频率降噪量超过10 dB，其中4000 Hz无法降噪系商用控制器内置截止频率3900 Hz低通抗混叠滤波器所致.实验表明单通道系统和四通道系统的控制频率上限分别为2750 Hz和4000 Hz，与仿真结果一致.紫色菱形曲线为开口用4 cm厚的木块密封后测点处的声压级，蓝色十字曲线和紫色菱形曲线的差值为障板的被动隔声量.黑色三角形曲线、绿色方形曲线、黄色五角星形曲线和紫色菱形曲线的对比表明，除1100 Hz附近的频率，1950 Hz以下开口中的有源控制系统的降噪量受障板的被动隔声量限制.

图9

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图9 测点处声压级

Fig.9 Sound pressure level at the measurement point

4 结论

本文研究小开口声传输的有源控制中次级源和误差传感策略的问题.首先使用模态展开法建立无限大障板上矩形开口声传输的数值模型并用商用有限元软件对数值模型进行验证，然后对不同类型的初级声场研究不同次级源和误差传感策略对有源控制系统性能的影响.仿真和实验结果均表明在小开口中使用合理的次级源和误差传感策略实施有源控制可将有源控制系统的控制频率上限提升至4000 Hz.对于许多同时有降噪和通风要求的实际噪声控制场景，设计大型开口并应用有源控制系统仅能处理低频噪声，对于中高频噪声所需通道数过多导致系统复杂和昂贵，可在墙上设计一系列小开口提供通风功能并获得宽带噪声控制.后续工作包括为系统实现带有参考传声器的时域算法、研究多个开口相互作用对有源控制系统性能的影响以及针对薄型结构的有源降噪设计.

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... 有源控制系统在低频降噪效果好，可提升通过开口传播的低频噪声控制效果.为降低传入房间的噪声，Kwon and Park^[3]将八个次级声源等间距安装在面积为0.09 m²的窗户的边框，开窗情况下在400~1000 Hz频段获得约10 dB的降噪量.Lam et al^[4]则将16个次级声源均匀布放在面积为0.279 m²的窗口平面上，在2000 Hz以下频段总降噪量达5 dB.Huang et al^[5]在交错开口的通风窗中设计有源控制系统，单通道系统和2通道系统分别在390 Hz和420 Hz以下获得10 dB以上的降噪量.Elliot et al^[6]研究开口大小对控制性能的影响，发现当开口尺寸与波长可比拟时，少量次级源即可获得良好的控制效果，当开口尺寸大于波长时，需要使用较多次级声源才可实现较好的控制效果. ...

... 实际应用中很难测量并计算开口的透射声功率，通常采用多个误差传声器的声压平方和作为代价函数^[3,4,17].使用单次级源有源控制系统来比较3种代价函数，即单个误差传声器处的声压(ANC 1C⁃1S⁃1E)、四个误差传声器处的声压平方和(ANC 1C⁃1S⁃4E)以及总透射声功率(ANC 1C⁃1S⁃W)对系统性能的影响，其中缩写词中nE表示代价函数为n个误差传声器处的声压平方和.为便于实际安装，误差传声器位于开口内z=0.24 m的四周壁面的中点，如图6所示.对于使用单误差传声器的有源控制系统，误差传声器位于次级源的同一侧壁面. ...

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... [12,13].对于点声源入射的情况，Horner and Peat^[14]提出了一种近似模型求解圆形开口的传输损失，由于忽略了高阶模态的耦合，因此当点声源靠近开口时该模型失效.Poblet⁃Puig and Rodríguez⁃Ferran^[15]研究连通两个房间的开口的传输损失，由于考虑房间与开口的相互作用，需要计算两个房间的本征模式，因此该方法计算量很大. ...

... 如图1所示，开口入射侧的声压为入射声压p_i、反射声压p_r和散射声压p_s之和^[12]： ...

... 开口内声场采用模态展开可表示为^[12] ...

... 开口两端边界条件为^[12]： ...

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... 讨论两种不同的代价函数，即误差点处的声压平方和与总透射声功率.代价函数为误差点声压平方和可定义为^[17]： ...

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... 式中，U_m和V_m分别为沿z轴正半轴和负半轴传播的第m阶模态的幅值，q_s为次级源源强，r_s为次级源位置.G_A(r，r_s)为两端开口的刚性管道的格林函数^[18]： ...

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